Ricci áramlás

A Ricci-áramlás parciális differenciálegyenlet -rendszer , amely leírja egy Riemann-metrika alakváltozását egy sokaságon .

Ez a rendszer a hőegyenlet nemlineáris analógja .

A Ricci-görbület analógiájával nevezték el , Ricci-Curbastro olasz matematikus tiszteletére .

Egyenlet

A Ricci áramlási egyenlet a következőképpen alakul:

\partial _{t}g_{t}=-2\cdot \mathrm {Rc} _{t}.

ahol a Riemann-metrikák egyparaméteres családját jelöli egy teljes sokaságon ( valós paramétertől függően ), és a Ricci-tenzor . ${\displaystyle g_{t))$ $t$ ${\displaystyle \mathrm {Rc} _{t))$

Tulajdonságok

Formálisan a Ricci-folyam által adott egyenletrendszer nem parabola egyenlet . Létezik azonban egy Deturk által javasolt parabolikus egyenletrendszer , amely szerint ha egy Riemann-metrika egy kompakt sokaságon és , az és rendszerek megoldásai , akkor izometrikus mindenre . $R$ $R'$ $g_{0}$ $M$ ${\displaystyle g_{t))$ ${\displaystyle g'_{t))$ $R$ $R'$ $(M,\;g_{t})$ $(M,\;g_{t}')$ $t$
- Ez a konstrukció jelentősen leegyszerűsítette a megoldás létezésének bizonyítását, ezt nevezik "Deturk trükkjének".
A hőegyenlethez (és a többi parabola egyenlethez ) hasonlóan tetszőleges kezdeti feltételeket állítva be -ben csak egy irányban kaphatunk megoldást , mégpedig . $t=0$ $t$ $t\geqslant 0$
A hőegyenlet megoldásaival ellentétben a Ricci-áramlás általában nem folytatódik a végtelenségig -nál . A megoldás a maximális intervallumig folytatódik . Ha természetesen közeledve a sokaság görbülete a végtelenbe megy, és a megoldásban szingularitás jön létre . Thurston sejtésének bizonyítása a szingularitások tanulmányozásán alapult, amelyekkel szemben Ricci megnyugszik. $t\to \infty$ $[0,\;T)$ $T$ $T$
Pszeudolokalitás - ha egy pont valamely környéke a kezdeti pillanatban majdnem úgy néz ki, mint egy darab euklideszi tér, akkor ez a tulajdonság egy bizonyos ideig a Ricci-folyamban marad egy kisebb környéken.

A geometriai jellemzők megváltoztatása

A metrika térfogatára az összefüggés igaz ${\displaystyle \mathrm {vol} _{t))$ ${\displaystyle g_{t))$ ${\tfrac {\partial }{\partial t))(\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t})=-\mathrm {R} _{t}\cdot (\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t}).$
A metrika skaláris görbületére a reláció ${\displaystyle \mathrm {R} _{t))$ ${\displaystyle g_{t))$ ${\tfrac {\partial }{\partial t))\mathrm {R} _{t}=\triangle _{t}\mathrm {R} _{t}+|\mathrm {Rc} _{ t}|^{2}$

ahol egy pontban ortonormális keretként van definiálva .

|\mathrm {Rc} _{t}|^{2}

{\displaystyle \sum _{i,j}(\mathrm {Rc} (e_{i},e_{j))^{2))

\{e_{i}\}

Különösen a maximum elv szerint a Ricci-áramlás megőrzi a skaláris görbület pozitívságát.
Ráadásul a skaláris görbület infimuma nem csökken.

Minden -ortonormális kerethez egy pontban van egy úgynevezett kísérő -ortonormális keret . Az ezen az alapon írt görbületi tenzorra az összefüggés igaz $g_{0}$ $\{e^{i}\}$ $x\-ben M$ ${\displaystyle g_{t))$ $\{e_{t}^{i}\}$ ${\displaystyle \mathrm {Rm} _{t))$ ${\tfrac {\partial }{\partial t))\mathrm {Rm} _{t}=\háromszög _{t}\mathrm {Rm} _{t}+Q(\mathrm {Rm} _ {t},\mathrm {Rm} _{t}),$

ahol a görbületi tenzorok terén és a bennük lévő értékekkel egy határozott bilineáris másodfokú forma.

K

A bilineáris másodfokú forma egy vektormezőt határoz meg a görbületi tenzorok vektorterében – minden görbületi tenzorhoz más- más görbületi tenzor tartozik . ODE megoldások $K$ $x$ $v_{x}=Q(x,x)$

{\pont {x}}=v_{x}

fontos szerepet játszanak a Ricci áramláselméletben.

A görbületi tenzorok terében lévő konvex halmazokat , amelyek invariánsak az elforgatások során, és ha a redukált ODE -ben , akkor esetén , invariánsnak nevezzük a Ricci-folyam számára. Ha egy Riemann-metrika görbülete zárt sokaságon minden pontban ilyenhez tartozik , akkor ez a Ricci-folyamattal kapott metrikákra is igaz. Az ilyen érvelést a Ricci-áramlás „maximális elvének” nevezik. $K$ $x(0)\in K$ $x(t)\in K$ $t\geq 0$ $K$

Az invariáns halmazok

Pozitív skaláris görbületű görbületi tenzorok
Görbülettenzorok pozitív görbületi operátorral
Háromdimenziós esetben pozitív Ricci görbületű görbületi tenzorok

3. dimenzió

Abban az esetben, ha a tér mérete egyenlő 3-mal, mindegyikhez választhat egy keretet , amelyben az alapban átlózik , , mondjuk, $x$ $t$ $\{e_{t}^{i}\}$ ${\displaystyle \mathrm {Rm} _{t))$ $e_{1}\wedge e_{2}$ ${\displaystyle e_{2}\wedge e_{3))$ ${\displaystyle e_{3}\wedge e_{1))$

\mathrm {Rm} ={\begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&\mu &0\\0&0&\nu \end{pmatrix)).

Akkor

Q(\mathrm {Rm} ,\mathrm {Rm} )={\begin{pmatrix}\lambda ^{2}+\mu \cdot \nu &0&0\\0&\mu ^{2}+\nu \cdot \lambda &0\\0&0&\nu ^{2}+\lambda \cdot \mu \end{pmatrix}}.

Történelem

A Ricci-áramlás kutatását Hamilton kezdeményezte az 1980-as évek elején. Számos sima gömb tételt bizonyítottak be Ricci - folyamok segítségével .

A 2002 és 2003 között publikált cikkeiben [1] Ricci-folyamatok felhasználásával Perelmannak sikerült bizonyítania a Thurston-sejtést , ezzel elvégezve a kompakt háromdimenziós sokaságok teljes osztályozását , és bebizonyította a Poincaré-sejtést . [2]

Jegyzetek

↑ Lásd Grigory Perelman cikkeit az irodalomjegyzékben.
↑ http://arxiv.org/pdf/math/0607607.pdf Archiválva 2021. január 21-én a Wayback Machine -nél "Ezt a sejtést Henri Poincaré [58] fogalmazta meg 1904-ben, és Perelman legutóbbi munkájáig nyitott maradt. … Perelman érvei azon az alapon nyugszanak, amelyet Richard Hamilton a Riemann-féle metrikák Ricci-áramlási egyenletének tanulmányozásával épített fel.

Irodalom

Hamilton, RS Három elosztócső pozitív Ricci görbülettel // J. Diff. Geom. 17, 255-306, 1982.
Hamilton, RS Négy elosztócső pozitív görbületű operátorral // J. Diff. Geom. 24, 153-179, 1986.
Perelman, Grisha (2002. november 11.), A Ricci-folyam entrópiaképlete és geometriai alkalmazásai, arΧiv : math.DG/0211159 [math.DG].
Perelman, Grisha (2003. március 10.), Ricci-áramlás műtéttel három-elosztócsővel, arΧiv : math.DG/0303109 [math.DG].
Perelman, Grisha (2003. július 17.), A Ricci-folyam megoldásainak véges kioltási ideje bizonyos háromsokaságokon, arΧiv : math.DG/0307245 [math.DG].
Bruce Kleiner, John Lott: Jegyzetek és kommentárok Perelman Ricci-folyamataihoz (PDF; 1,5 MB), 2008.
J. Rubinstein, R. Sinclair: Ricci Flow vizualizálása a forradalom sokaságán (PDF; 2,7 MB), 2004.
Chow, Bennett, Peng Lu és Lei Ni. Hamilton Ricci-folyamata. – American Mathematical Soc., 2006.