Gömbtétel (differenciálgeometria)

A gömbtétel  az olyan tételek általános neve, amelyek elegendő feltételt adnak a Riemann-metrikán annak biztosítására, hogy egy sokaság homeomorf vagy diffeomorf a standard gömbhöz képest .

Formulációk

Legyen egy zárt , egyszerűen összekapcsolt , n - dimenziós Riemann-sokaság valamilyen görbületi feltétellel (lásd megjegyzések), akkor homeomorf / diffeomorf egy n - dimenziós gömbhöz .

Jegyzetek

• A homeomorfizmussal és diffeomorfizmussal rendelkező megfogalmazásokat topológiai gömb -tételnek , illetve sima gömb-tételnek nevezzük .

• A legismertebb görbületi feltétel az úgynevezett görbületi negyedcsapolás, ami azt jelenti, hogy az egyes pontok metszeti irányaiban a metszeti görbület ben van .
  • A negyedtűzési feltétel optimális, a tétel érvényét veszti, ha a metszetgörbület zárt intervallumban tud értékeket felvenni . A standard ellenpélda egy komplex projektív tér kanonikus metrikával; a metrika metszeti görbülete 1 és 4 közötti értékeket vesz fel, beleértve a végpontokat is. Más ellenpéldákat is találhatunk az 1. rangú szimmetrikus terek között.
  • Általánosabb feltétel a pontirányú negyedrögzítés. Ez azt jelenti, hogy a metszeti görbület pozitív, és minden fix pontra a metszetgörbületek maximumának és minimumának aránya minden metszetirányban nem haladja meg a 4-et.

• A görbület másik jól ismert feltétele a görbületi operátor pozitivitása .
  • Általánosabb feltétel a görbületi operátor úgynevezett 2-pozitivitása, vagyis a görbületi operátor két legkisebb sajátértéke összegének pozitivitása.

Történelem

Topológiai tétel

• Az első gömbtételt Rauch bizonyította 1951-ben. Megmutatta, hogy a [3/4,1] intervallumban metszeti görbülettel rendelkező egyszerűen összekapcsolt sokaságok homeomorfok egy gömbhöz.

• 1960-ban Marcel Berger és Wilhelm Klingenberg bebizonyította a gömbtétel topológiai változatát egy negyed raszterre.

• 1988-ban Micalef és Moore bebizonyította a zárt elosztók topológiai változatát, amelyek izotróp irányú pozitív komplexitott görbülettel rendelkeznek.
  • Ez konkrétan magában foglalja a topológiai szféra tételt egy pozitív görbületi operátorra.
    • Bochner képletéből könnyen következik , hogy a pozitív görbületi operátorral rendelkező zárt sokaságok racionális homológ gömbök .
  • Bizonyításuk a Sing-lemmának kétdimenziós analógját használja .

Sima tétel

A klasszikus módszerek csak nagyon merev becsípődés esetén tették lehetővé a sima gömb tétel bizonyítását, az optimális becsípést a Ricci-áramlással sikerült elérni

• 1982-ben Richard Hamilton bebizonyította a sima gömb tételt 3 dimenziós esetben pozitív Ricci-görbülettel .
  • Ez volt a Ricci-folyam első alkalmazása, a sima tétel többi bizonyítása ugyanezt a sémát követte, de komoly technikai fejlesztéseket igényelt.

• 1985-ben Gerhard Huysken a Ricci-áramlást használta a sima gömb tételének minden dimenzióban való bizonyítására.
  • Az általa javasolt prepozíciós görbületi feltétel bizonyos értelemben optimális volt. Különösen a kör és a gömb szorzatának görbületi tenzora fekszik a görbületi feltétel határán.

• 2008-ban Burchard Wilking és Christoph Böhm bebizonyították a görbületi operátor kettős pozitivitására vonatkozó sima gömb tételt. Különösen a sima gömb tétel igaz, ha a görbületi operátor pozitív.

• 2009-ben Simon Brende és Richard Schoen bebizonyította a sima gömb tételt negyedfelosztással. Bizonyításukban jelentős mértékben felhasználták Wilking és Boehm gondolatait.

Irodalom

• Rauch, H.E., Hozzájárulás a differenciálgeometriához a nagy, Ann. a Math. 54 (1951), 38-55
• Klingenberg, W., Hozzájárulások a riemann geometriához a nagy, Ann. a Math. 69 (1959), 654-666.
• Berger, M., Les variétes Riemannienes (1/4)-pincées, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Ser. III, 14 (1960), 161-170.
• Micallef, M., Moore, JD, Minimális kétgömbök és pozitív görbületű sokaságok topológiája teljesen izotróp kétsíkon. Ann. a Math. (2) 127 (1988), 199-227.
• Huisken, G., Ricci deformáció a metrikán egy Riemann-féle sokaságon. J. Differenciálgeom. 21, 47-62 (1985).
• B. Wilking, C. Böhm: A pozitív görbületi operátorokkal rendelkező elosztók térformák. Ann. a Math. (2) 167 (2008), 1. sz. 3, 1079-1097.
• Simon Brandle és Richard Schoen. Az 1/4-es görbületű elosztók térformák  //  Journal of the American Mathematical Society : folyóirat. - 2009. - 1. évf. 22 , sz. 1 . - P. 287-307 . - doi : 10.1090/s0894-0347-08-00613-9 .