Részleges differenciálegyenlet

A parciális differenciálegyenlet (a speciális eseteket matematikai fizika egyenletekként is ismerik , UMF ) egy differenciálegyenlet , amely több változó és parciális deriváltjainak ismeretlen függvényeit tartalmazza .

Bevezetés

Tekintsünk egy viszonylag egyszerű parciális differenciálegyenletet:

{\frac {\partial }{\partial y}}u(x,y)=0\,.

Ebből az összefüggésből következik , hogy a függvény értéke nem függ attól . Egyenlőre állíthatjuk egy tetszőleges függvényével . Ezért az egyenlet általános megoldása a következő: $u(x,y)$ $y$ $x$

u(x,y)=f(x),

ahol a változó tetszőleges függvénye . Egy hasonló közönséges differenciálegyenlet alakja: $f(x)$ $x$

{\frac {dv(x)}{dx}}=0

és a döntése

v(x)=c,

ahol c tetszőleges állandó (független -től ). Ez a két példa azt mutatja, hogy egy közönséges differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges állandókat tartalmaz, de a parciális differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges függvényeket tartalmaz. A parciális differenciálegyenlet megoldása általában véve nem egyedi. Általános esetben további feltételeket határoznak meg a vizsgált régió határán. Például a fenti egyenlet megoldása (függvény ) egyedileg definiált, ha a sorban van definiálva . $x$ $f(x)$ $u$ $y=0$

Történelem

A történészek felfedezték az első parciális differenciálegyenletet Euler felületelméletről szóló , 1734-1735-ig nyúló tanulmányaiban (1740-ben). Modern jelöléssel így nézett ki:

{\frac {\partial z}{\partial x}}=f(x,y)

1743-tól kezdődően d'Alembert csatlakozott Euler munkájához , és általános megoldást talált a húr rezgésének hullámegyenletére . A következő években Euler és d'Alembert számos módszert és technikát publikált bizonyos parciális differenciálegyenletek vizsgálatára és megoldására. Ezek a munkák még nem alkottak teljes elméletet.

E téma fejlődésének második szakasza 1770-1830-ra tehető. Lagrange , Cauchy és Jacobi mélyreható tanulmányai ehhez az időszakhoz tartoznak . A parciális differenciálegyenletek első szisztematikus vizsgálatát Fourier kezdte . Új módszert alkalmazott a karakterláncegyenlet megoldására - a változók szétválasztásának módszerét , amely később a nevét kapta.

A téma új általános megközelítését , amely a folyamatos transzformációs csoportok elméletén alapul , Sophus Lie javasolta az 1870-es években .

A 19. század végén a parciális differenciálegyenlet fogalmát ismeretlen változók végtelen halmazának esetére általánosították ( parciális funkcionális differenciálegyenlet ).

A nemlineáris parciális differenciálegyenletrendszerek létezésének bizonyítási és megoldási problémáit a sima sokaságok elmélete , a differenciálgeometria , a kommutatív és a homológ algebra [1] segítségével oldjuk meg . Ezeket a módszereket a fizikában a Lagrange- és Hamilton-formalizmus, a magasabb szimmetriák és a megmaradási törvények tanulmányozása során alkalmazzák [1] .

Osztályozás

Méret

Egyenlő a független változók számával . Legalább 2-nek kell lennie (1-nél közönséges differenciálegyenletet kapunk ).

Linearitás

Léteznek lineáris és nemlineáris egyenletek. Egy lineáris egyenlet ábrázolható ismeretlen függvények deriváltjainak lineáris kombinációjaként. Az együtthatók ebben az esetben lehetnek állandó vagy ismert függvények.

A lineáris egyenleteket alaposan kutatták, és több millió díjat osztottak ki bizonyos típusú nemlineáris egyenletek ( millennium problem ) megoldásáért.

Homogenitás

Egy egyenlet nem homogén, ha van olyan tag, amely nem függ ismeretlen függvényektől.

Rendelés

Az egyenlet sorrendjét a derivált maximális sorrendje határozza meg. A sorrend minden változóban számít.

Másodrendű lineáris egyenletek osztályozása

A parciális deriváltokban lévő másodrendű lineáris egyenleteket parabolikusra , elliptikusra és hiperbolikusra osztják .

Két független változó

A két független változót tartalmazó másodrendű lineáris egyenlet a következőképpen alakul:

A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y))+C{\ frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+...=0,

ahol a és változóktól függő együtthatók , az ellipszis pedig a és elsőrendű parciális deriváltoktól függő kifejezéseket jelenti: és . Ez az egyenlet hasonló a kúpos metszet egyenletéhez : $ABC$ $x$ $y$ $x,\;y,\;u$ ${\partial u}/{\partial x}$ ${\partial u}/{\partial y}$

Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.

Ahogy a kúpszeleteket ellipszisekre , parabolákra és hiperbolákra osztjuk, a diszkrimináns előjelétől függően, az adott pontban lévő másodrendű egyenletek is osztályozhatók: $D=B^{2}-AC$

$D=B^{2}-AC\,>0$ - hiperbolikus egyenlet ,
$D=B^{2}-AC\,<0$ - elliptikus egyenlet ,
$D=B^{2}-AC\,=0$ — Parabola egyenlet (itt feltételezzük, hogy egy adott pontban az együtthatók nem egyszerre tűnnek el). $ABC$

Abban az esetben, ha minden együttható állandó, akkor az egyenlet a változók síkjának minden pontjában azonos típusú és . Ha az együtthatók folyamatosan függenek a és -től , akkor azon pontok halmaza, amelyekben az adott egyenlet hiperbolikus (elliptikus) típusú, egy nyitott területet képez a síkon, amelyet hiperbolikusnak (elliptikusnak) nevezünk, és azon pontok halmaza, amelyekben az egyenlet parabolikus. típus zárva van. Egy egyenletet kevertnek nevezünk , ha a sík egyes pontjain hiperbolikus, egyes pontjain pedig elliptikus. Ebben az esetben a parabolapontok egy vonalat alkotnak, amelyet típusváltási vonalnak vagy degenerációs vonalnak neveznek . $ABC$ $x$ $y$ $ABC$ $x$ $y$

Kettőnél több független változó

Általános esetben, amikor a másodrendű egyenlet sok független változótól függ:

\sum _{{i=1}}^{{n}}\sum _{{j=1}}^{{n}}a_{{ij}}(x_{1},\cdots ,x_{n }){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j))}+F\left(x_{1},\cdots ,x_{n},u,{ \frac {\partial u}{\partial x_{1))},\cdots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n))}\right)=0,

osztályozható [2] egy adott pontban a megfelelő másodfokú alakkal analógiával : $M_{0}(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})$

\sum _{{i=1}}^{{n}}\sum _{{j=1}}^{{n}}a_{{ij}}(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})t_{i}t_{j}.

Nem degenerált lineáris transzformáció

s_{i}=\sum _{{j=1}}^{{n}}A_{{ij}}t_{j},i=1,2\cdots n,\det \left\|A_{{ ij}}\right\|\neq 0

a másodfokú forma mindig visszavezethető kanonikus formára:

\sum _{{i=1}}^{{n}}\lambda _{i}s_{i}^{2}.

Ráadásul a tehetetlenségi tétel szerint a pozitív, negatív és nulla együtthatók száma egy másodfokú alak kanonikus alakjában invariáns, és nem függ lineáris transzformációtól. Ez alapján történik a vizsgált egyenlet osztályozása (a pontban): $\lambda_i$ $M_{0}$

Ha egy ponton a kanonikus alak másodfokú alakjának minden együtthatója azonos előjelű, akkor az ezen a ponton lévő egyenletet elliptikus típusú egyenletnek nevezzük . $M_{0}$
Ha a kanonikus alak másodfokú alakjának különböző előjelű együtthatói vannak, de mindegyik különbözik a -tól , akkor az ezen a ponton lévő egyenletet hiperbolikus típusú egyenletnek nevezzük . $M_{0}$ $0$
Ha egy kanonikus formában lévő másodfokú alaknak legalább egy együtthatója van egy ponttal, akkor az ebben a pontban lévő egyenletet parabola típusú egyenletnek nevezzük . $M_{0}$ $0$

Sok független változó esetén részletesebb osztályozás is elvégezhető (két független változó esetén nem merül fel az igény):

A hiperbolikus típust további csoportokba sorolhatjuk:
1. Normál hiperbolikus típus , ha az egyik együtthatónak egy előjele van, a többinek pedig másik.
2. Ultrahiperbolikus típus , ha az egyik és a másik előjel együtthatója több mint egy.
A parabolikus típust további csoportokba sorolhatjuk:
1. Elliptikus-parabolikus típus , ha csak az egyik együttható nulla, a többi pedig azonos előjelű.
2. Hiperbolikus-parabolikus típus , ha csak az egyik együttható nulla, és a többi eltérő előjelű. A hiperbolikus típushoz hasonlóan a következőkre osztható:
  1. Normál hiperbolikus-parabolikus típus
  2. Ultrahiperbolikus-parabolikus típus
3. Ultraparabolikus típus , ha egynél több együttható nulla. Itt további osztályozás is lehetséges a nullától eltérő együtthatók előjelétől függően.

Megoldás léte és egyedisége

Bár a közönséges differenciálegyenlet megoldásának létezésének és egyediségének kérdésére adott válasz teljesen kimerítő választ ad ( Picard-Lindelöf tétel ), egy parciális differenciálegyenlet esetében nincs egyértelmű válasz erre a kérdésre. Létezik egy általános tétel ( a Cauchy-Kovalevskaya tétel ), amely kimondja, hogy a Cauchy-probléma bármely olyan parciális differenciálegyenletre, amely az ismeretlen függvények és származékaik tekintetében analitikus, egyedi analitikai megoldással rendelkezik [ 3] . Vannak azonban példák olyan lineáris parciális differenciálegyenletekre, amelyek együtthatóinak minden rendű deriváltjai vannak, és nincs megoldásuk ( Lévy [ 1957 ). Még akkor is, ha a megoldás létezik és egyedi, nemkívánatos tulajdonságai lehetnek.

Tekintsük a Cauchy-problémák sorozatát (attól függően ) a Laplace-egyenlethez : $n$

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}=0 ,

kezdeti feltételekkel :

u(x,0)=0,

{\frac {\partial u}{\partial y))(x,0)={\frac {\sin nx}{n)),

hol van egy egész szám. A függvény deriváltja a változóhoz képest egyenletesen növekszik , azonban az egyenlet megoldása $n$ $u$ $y$ $0$ $x$ $n$

u(x,y)={\frac {(\mathrm {sh} \,ny)(\sin nx)}{n^{2))}.

A megoldás a végtelenbe hajlik, ha nem a többszörösére bármely nem nullától eltérő értéknek . A Laplace-egyenlet Cauchy-problémáját rosszul feltettnek vagy inkorrektnek nevezzük , mivel a megoldásnak nincs folyamatos függése a kezdeti adatoktól. $nx$ $\pi$ $y$

A nemlineáris parciális differenciálegyenlet-rendszerek esetében a megoldások létezésének bizonyítása és az összes megoldás sokaságának keresése a sima sokaságok elmélete , a differenciálgeometria , a kommutatív és homológ algebra [1] segítségével történik . Ezeket a módszereket a fizikában a Lagrange- és Hamilton-formalizmus, a magasabb szimmetriák és a megmaradási törvények tanulmányozása során alkalmazzák [1] .

Példák

Egydimenziós hőegyenlet

A hő terjedését egy homogén rúdban leíró egyenlet parabola típusú, és a következő alakú:

{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t))=\alpha ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))))

ahol a hőmérséklet, és a hőterjedés sebességét leíró pozitív állandó. A Cauchy-probléma a következő: $u(t,x)$ $\alpha$

$u(0,x)\,=f(x)$ ,

ahol egy tetszőleges függvény. $f(x)$

Húr vibrációs egyenlet

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

Az egyenlet hiperbolikus típusú. Itt látható a húr egyensúlyi helyzetből való elmozdulása, vagy a csőben lévő túlnyomás, vagy a csőben lévő elektromágneses tér nagysága, és a hullámterjedés sebessége. A Cauchy-probléma megfogalmazásához a kezdeti időpillanatban meg kell adni a húr elmozdulását és sebességét a kezdeti időpillanatban: $u(t,x)$ $c$

u(0,x)=f(x),

{\dfrac {\partial u}{\partial t))(0,x)=g(x),

Kétdimenziós Laplace-egyenlet

A két változóból álló ismeretlen függvény Laplace-egyenlete a következő:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}=0$

Elliptikus típusú egyenlet. Megoldásait harmonikus függvényeknek nevezzük .

Kapcsolat az elemző függvényekkel

Egy komplex változó bármely holomorf függvényének valós és képzetes részei konjugált harmonikus függvények: mindkettő kielégíti a Laplace-egyenletet, és gradienseik merőlegesek. Ha , akkor a Cauchy-Riemann feltételek a következőket mondják: $f$ $z=x+iy$ $f=u+iv$

{\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y)),\quad {\frac {\partial v}{\partial x))= -{\frac {\partial u}{\partial y)),

Az egyenleteket egymásból összeadva és kivonva kapjuk:

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}=0 ,\quad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2))}=0 .

Az is kimutatható, hogy bármely harmonikus függvény valamely analitikus függvény valós része.

Határproblémák

A határproblémákat a következőképpen állítjuk be: keressünk egy függvényt , amely kielégíti a Laplace-egyenletet a régió összes belső pontjában, a régió határán pedig egy bizonyos feltételt. A feltétel típusától függően a következő határérték-problémákat különböztetjük meg: $u$ $S$ $\részleges S$

$u|_{{\partial S}}=\psi (x,y),\quad x,y\in \partial S$ - Dirichlet probléma
${\frac {\partial u}{\partial n)){\big |}_({\partial S))=\psi (x,y),\quad x,y\in \partial S$ — a Neumann-probléma

A matematikai fizika egyenleteinek megoldása

Kétféle módszer létezik az ilyen típusú egyenletek megoldására:

analitikus, amelyben az eredményt különféle matematikai transzformációk vezetik le;
numerikus, amelyben a kapott eredmény adott pontossággal megfelel a valósnak, de amely sok rutinszámítást igényel, ezért csak számítástechnika (számítógép) segítségével végezhető el.

Analitikai megoldás

A matematikai fizika egyenleteinek analitikus megoldásai többféleképpen is előállíthatók. Például:

Green függvény használata ;
A Fourier változós elválasztási módszer alkalmazása;
A potenciálelmélet segítségével ;
A Kirchhoff-képlet segítségével .

Ezeket a módszereket különféle típusú egyenletekre fejlesztették ki, és néhány egyszerű esetben lehetővé teszik, hogy megoldást kapjunk valamilyen képlet vagy konvergens sorozat formájában, például a húr rezgésegyenletére :

\Delta u=a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2))}

u(x,t){\big |}_{{x=0}}=u(x,t){\big |}_{{x=L}}=0

u(x,t){\big |}_{{t=0}}=f(x),\ {\dfrac {\partial u}{\partial t}}(x,t){\big |} _{{t=0}}=g(x)

a Fourier-módszert alkalmazó analitikai megoldás a következőképpen alakul:

u(x,t)\,=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}\left[A_{n}\cos \left({\dfrac {a\pi n}{ L}}t\right)+B_{n}\sin \left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)\right]\sin \left({\dfrac {\pi nx} {L}}\jobbra)

A_{n}={\dfrac {2}{L}}\int \limits _{{0}}^{{L}}f(x)\sin \left({\dfrac {\pi nx}{L }}\right)dx,\quad B_{n}={\dfrac {2}{n\pi a}}\int \limits _{{0}}^{{L}}g(x)\sin \ left({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)dx

Numerikus megoldás

Mivel egy összetett tartományban még egy egyszerű egyenlet analitikus megoldása sem mindig lehetséges, számos módszert fejlesztettek ki a matematikai fizika egyenletek megoldására. Egyesek a differenciáloperátor közelítésén alapulnak bizonyos kifejezésekkel, mások a problémát projekcióra vagy variációsra redukálják és megoldják, néhány gyakran használt numerikus módszer :

Mindegyik módszernek megvannak a maga sajátosságai és saját megoldandó feladatosztályai. Például az oszcillációs egyenlet véges differencia megoldása a következő különbségi séma segítségével érhető el :

u_{i}^{{j+1}}={{\tau ^{2}a^{2} \h^{2}}}\left(u_{{i+1}}^{j} -2u_{i}^{j}+u_{{i-1}}^{j}\jobbra)+2u_{i}^{j}-u_{i}^{{j-1}}

hol van az idő és a térlépés. $\tau$ $h$

Gyenge megoldások

Ha egy parciális differenciálegyenletet _ _ formában ábrázolunk . _ _ _ _ $Lu=f$ $L$ $f$ $u(x)$ $\varphi$ $\int uL^{*}\varphi \,dx=\int f\varphi \,dx$ $L^{*}$

Viszkozitási oldat

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 Pommare, 1983 , p. 5.
↑ Sveshnikov A. G., Bogolyubov A. N., Kravtsov V. V. II. fejezet. Differenciálegyenletek osztályozása másodrendű parciális deriváltokban. // Előadások a matematikai fizikáról. — 2. kiadás, javítva. és további - M . : Moszkvai Állami Egyetem Kiadója; Tudomány, 2004. - S. 49. - 416 p. — ISBN 5-211-04899-7 .
↑ A. M. Nahusev. Cauchy–Kovalevskaya tétel (angol) (html). Springer Online (2001). - A Cauchy-Kovalevskaya tétel. Hozzáférés időpontja: 2010. január 9. Az eredetiből archiválva : 2012. február 12.
↑ L. Behrs, F. John, M. Schechter. Parciális differenciálegyenletek . - M . : Mir, 1966. - S. 146.

Irodalom

Tikhonov A. N., Samarskii A. A. A matematikai fizika egyenletei. - 7. kiadás - M . : Moszkvai Állami Egyetem Kiadója; Nauka, 2004. - 798 p. — ISBN 5-211-04843-1 .
Mizohata S. Parciális differenciálegyenletek elmélete. — M .: Mir, 1977. — 504 p.
Demidov S. S. A parciális deriváltokkal rendelkező differenciálegyenletek elméletének megjelenése // Történelmi és matematikai kutatás . - M . : Nauka , 1975. - 20. sz . - S. 204-220 .
Pommare J. Parciális differenciálegyenletrendszerek és Lie pszeudocsoportok. — M .: Mir, 1983. — 400 p.
Trev J. Előadások állandó együtthatós lineáris parciális differenciálegyenletekről. - M . : Mir, 1965. - 296 p.
Az egyenletek matematikai fizikája / V. S. Vladimirov // Nagy Orosz Enciklopédia : [35 kötetben] / ch. szerk. Yu. S. Osipov . - M . : Nagy orosz enciklopédia, 2004-2017.

Linkek

Szótárak és enciklopédiák

Bibliográfiai katalógusokban
BNF : 11931364s GND : 4044779-0 J9U : 987007552909105171 LCCN : sh85037912 LNB : 000087182 NDL : 00563088 NKC : ph123970

Matematikai fizika

Az egyenletek típusai

Egyenletek típusai

Peremfeltételek

A matematikai fizika egyenletei

Diffúzió és konvekció	Hőegyenlet Diffúziós egyenlet Mason-Weaver egyenlet
Hidrodinamika	Átviteli egyenlet Navier-Stokes egyenletek Euler egyenlet Gromeka-Lamb egyenlet Vortex egyenlet Burger egyenlet Sekély víz egyenletek Korteweg-de Vries egyenlet
Elektromágnesesség	Maxwell-egyenletek Helmholtz egyenlet Landau-Lifshitz egyenlet Szűrt Poisson-egyenlet
Kvantummechanika	Schrödinger egyenlet Heisenberg egyenlet Rarita-Schwinger egyenlet Hartree egyenlet Dirac egyenlet Klein-Gordon egyenlet
Általános modellek	Folytonossági egyenlet hullámegyenlet Fokker-Planck egyenlet Poisson egyenlet

Megoldási módszerek

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek

Egyenletek tanulmányozása

Kapcsolódó témák