Integro-differenciálegyenletek
Az integro-differenciálegyenletek olyan egyenletek osztálya, amelyekben az ismeretlen függvény mind az integrál , mind a differenciál- vagy származékjel alatt található .
![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{b}}K(x,y,{P}_{{m}}[\ varphi (y)])dy=f(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899699df789491968f4d4219273141a6e54426f3)
ahol
külső differenciál operátornak nevezzük, és a belső differenciál operátor az integro-differenciálegyenlet magja![{L}_{{n}}[\varphi (x)]={\frac {{d}^{{n}}\varphi (x)}{{dx}^{{n))))+{ a}_{{1}}(x){\frac {{d}^{{n-1}}\varphi (x)}{{dx}^{{n-1}}}}+... +{a}_{{n}}(x)\varphi (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0081689dacab72f823a1c2a7b11f4047c89638c8)
![{P}_{{m}}[\varphi (y)]={\frac {{d}^{{m}}\varphi (y)}{{dy}^{{m}}}}+{ b}_{{1}}(y){\frac {{d}^{{m-1}}\varphi (y)}{{dy}^{{m-1}}}}+... +{b}_{{m}}(y)\varphi (y)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f26bc52cb5ab78ba6c8fd9a5d3a28ccade779d0)
![K(x,y,{P}_{{m}}[\varphi (y)])](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f365531dab09700aa187c84e9cf8e5aeccf6c009)
Egyes integro-differenciálegyenletek differenciálegyenletekre redukálhatók egy Banach-térben , azonban vannak olyan evolúciós integro-differenciálegyenletek (amelyek a rugalmasságelméletben és a biológiai folyamatok modelljeiben fordulnak elő), amelyek az idő múlásával történő integrációt tartalmaznak, és ez nehezen kivitelezhető.
Integro-differenciálegyenletek osztályozása
Lineáris integrálegyenletek
A lineáris integro-differenciálegyenletek olyan egyenletek, amelyekbe a belső differenciáloperátor lineárisan lép be:
Fredholm-egyenletek![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{b}}K(x,y){P}_{{m}}[\ varphi(y)]dy=f(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/619dba498117392773d3f33ce153f55e9ca888ed)
A lineáris integro-differenciális Fredholm egyenlet egy állandó integrációs határokkal rendelkező egyenlet
1. típusú Fredholm-egyenletekAz 1. típusú integro-differenciális Fredholm-egyenlet a következő alakú egyenlet:
Fredholm 2. típusú egyenletei![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{b}}K(x,y){P}_{{m}}[\ varphi(y)]dy=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3cfdd30bb7ccd0c7751e5715d25ebaa0ad4e66a)
A 2. típusú integro-differenciális Fredholm-egyenlet a következő alakú egyenlet:
Volterra- egyenletekA lineáris integro-differenciális Volterra-egyenlet egy változó integrációs felső határral rendelkező egyenlet.
1. típusú Volterra-egyenletekAz 1. típusú Volterra integro-differenciálegyenlet a következő alakú egyenlet:
Volterra 2. típusú egyenletei![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{x}}K(x,y){P}_{{m}}[\ varphi(y)]dy=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718ddb4933ad61041215d9ff67124c7dfe90fc86)
A 2. típusú Volterra-integro-differenciálegyenlet a következő alakú egyenlet:
![{L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{x}}K(x,y){P}_{{m}}[\ varphi(y)]dy=f(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c42c0e0b2290de836116667d80224c63fdb3be86)
Nemlineáris integrálegyenletek
A nemlineáris Fredholm-egyenlet egy integro-differenciálegyenlet, amelyben a belső differenciáloperátor nemlineárisan lép be:
Integro-differenciálegyenletek megoldási módszerei
Lásd még
Irodalom
- GA Shishkin, Lineáris integro-differenciál Fredholm egyenletek. Tankönyv a speciális tanfolyamhoz és a speciális szemináriumhoz. A Burját Állami Egyetem kiadója 2007.
| Matematikai fizika | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Az egyenletek típusai | |||||||||||
| Egyenletek típusai | |||||||||||
| Peremfeltételek | |||||||||||
| A matematikai fizika egyenletei |
| ||||||||||
| Megoldási módszerek |
| ||||||||||
| Egyenletek tanulmányozása | |||||||||||
| Kapcsolódó témák | |||||||||||