Neumann probléma

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. december 5-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

A Neumann-probléma , a második határérték-probléma - differenciálegyenletekben, adott peremfeltételekkel rendelkező peremérték- probléma a régió határán a kívánt függvény deriválására - a második típusú ún. peremfeltételek . A terület típusa szerint a Neumann-probléma két típusra osztható: belső és külső . Carl Neumann nevéhez fűződik .

A probléma leírása

A Neumann-féle belső probléma a következő: keressen egy függvényt a tartományban , amely kielégíti a következő feltételeket: $\Omega$ $u\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})$

\Delta u = 0

valaminek a területén

\Omega

\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}\Bigg|_{\partial \Omega}=u_1(\mathbf{x}),\ u_1\in C(\partial \Omega),

ahol a Laplace operátor a tartomány határára normális külső egység . $\Delta$ $\mathbf {n}$ $\Omega$

Korlátlan tartományokon ( külső Neumann-probléma ) a probléma megfogalmazásában egy további feltételt adunk a kívánt függvény végtelenségéhez való korlátossághoz . A külső Neumann-probléma megoldása egy dimenziótérben egyedi, ha a függvény a végtelenben van . Kétdimenziós esetben a (*) feltétel teljesülése esetén konstansig találhatunk megoldást. $\Omega$ $u$ $n>2$ $u \jobbra nyíl 0$

Általános esetben a második határérték probléma valamilyen parciális differenciálegyenlet megoldásának problémája a derivált adott viselkedésével a határon.

Megoldhatósági feltétel

A potenciálelméletből ismert, hogy a belső Neumann-probléma megoldhatóságának szükséges feltétele az egyenlőség teljesülése.

$\int \limits _{\;\partial \Omega }u_{1}(\mathbf {x} )dS=0,\qquad \qquad (*)$

ebben az esetben a belső Neumann-probléma megoldását csak egy állandóig találhatjuk meg. [egy]

Fizikai értelmezés

Különböző folyamatok egyenleteinél a második határérték-problémát, az elsőtől eltérően , különböző módon adjuk meg és értelmezzük, például:

A hővezetési egyenletet alakban adjuk meg , amelyet a tartomány határán lévő hőáramként értelmezünk. $\Bigl. -\lambda \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n)) \Bigr|_{\partial \Omega_2} = u_1(\mathbf{x})$
A Maxwell-egyenletekből származtatott egyenletek esetében például a vektor egyenlete a határon lévő mágneses mezőként értelmeződik. Az ilyen feltételeket mágneses peremfeltételeknek nevezzük . A vektort ugyanis elektromos mezőként értelmezzük a határon, és elektromos peremfeltételeknek nevezzük . Skaláris egyenlet esetén a következőképpen adjuk meg: , vektoresetben: [2] . $\mathbf {E}$ $\mathbf {H}$ $\Bigl. -\mu^{-1} \frac{\partial E}{\partial \mathbf{n)) \Bigr|_{\partial \Omega_2} = u_1(\mathbf{x})$ $\Bigl. \left ( \mu^{-1} \nabla \times \mathbf{E} \right ) \times \mathbf{n} \Bigr|_{\partial \Omega_2} = \mathbf{u_1}(\mathbf{x })$

Analitikai megoldás

A Neumann-probléma analitikus megoldása a Green-függvény segítségével fejezhető ki :

{\displaystyle u(\mathbf {y} )=\int _{\partial \Omega }{u_{1}(\mathbf {x} )G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )dx))

hol van a zöld függvénye a tartomány Laplace-operátorához . $G(\mathbf{x},\mathbf{y})$ $\Omega$

Második peremfeltételek a numerikus módszerekben

A probléma különféle numerikus módszerekkel történő megoldása során a második peremfeltételeket különböző módon veszik figyelembe:

A véges differencia módszernél a derivált egy speciális differencia sémával közelítjük, ugyanazon a rácson, és a kapott egyenletet hozzáadjuk az általános rendszerhez. $\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n))$
A végeselemes módszernél a második határértékeket figyelembe veszik a variációs megfogalmazásban, és az egyenlet jobb oldalának kiegészítései : $\mathbf{b}_i = \int_{\Omega}{f(\mathbf{x})\varphi_i(\mathbf{x})dx} + \int_{\partial \Omega_2}{u_1(\mathbf{x} )\varphi_i(\mathbf{x})dx}$ $f(\mathbf{x})$ $\partial \Omega_2$ $\varphi_i(\mathbf{x})$ $én$

Lásd még

Irodalom

V.M. Uroev. A matematikai fizika egyenletei. - M .: IF Yauza, 1998. - ISBN 5-88923-026-3 .

Jegyzetek

↑ M. M. Szmirnov. Másodrendű parciális differenciálegyenletek. - Moszkva: Nauka, 1964.
↑ 1 2 Soloveichik Yu.G. , Royak M.E. , Persova M.G. Végeselem módszer skaláris és vektoros problémákra. - Novoszibirszk: NGTU, 2007. - 896 p. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .

Matematikai fizika

Az egyenletek típusai

Egyenletek típusai

Peremfeltételek

A matematikai fizika egyenletei

Diffúzió és konvekció	Hőegyenlet Diffúziós egyenlet Mason-Weaver egyenlet
Hidrodinamika	Átviteli egyenlet Navier-Stokes egyenletek Euler egyenlet Gromeka-Lamb egyenlet Vortex egyenlet Burger egyenlet Sekély víz egyenletek Korteweg-de Vries egyenlet
Elektromágnesesség	Maxwell-egyenletek Helmholtz egyenlet Landau-Lifshitz egyenlet Szűrt Poisson-egyenlet
Kvantummechanika	Schrödinger egyenlet Heisenberg egyenlet Rarita-Schwinger egyenlet Hartree egyenlet Dirac egyenlet Klein-Gordon egyenlet
Általános modellek	Folytonossági egyenlet hullámegyenlet Fokker-Planck egyenlet Poisson egyenlet

Megoldási módszerek

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek

Egyenletek tanulmányozása

Kapcsolódó témák