Landau-Lifshitz egyenlet (mágnesesség)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. december 31-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Landau-Lifshitz egyenlet egy olyan egyenlet, amely leírja a mágnesezettség mozgását a kontinuummodell közelítésében szilárd testekben . Először L. D. Landau és E. M. Lifshitz mutatta be 1935 -ben .

Megfogalmazás

Nem disszipatív közeg esetén és spin-polarizált áram hiányában a Landau–Lifshitz egyenletet általában a következőképpen írják fel.

\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}],\qquad (1)

ahol a mágneses momentum (mágnesezés) sűrűsége , valamilyen fenomenológiai állandó, az úgynevezett effektív mágneses tér. $\mathbf M\equiv \mathbf M(\mathbf r, t)$ $\gamma$ $\mathbf H^{\mathrm{eff}}\equiv \mathbf H^{\mathrm{eff}}(\mathbf r, t)$

Az egyenletet főleg ferro- és ferrimágnesekre használják . Általános esetben az állandó nem esik egybe a giromágneses aránnyal , és a fenomenológiai elmélet keretei között a kísérletből meghatározott mennyiségnek kell tekinteni. Különbségük a keringési momentumok hozzájárulásából adódik . Ezért feltéve, hogy a mágneses ionok -állapotban vannak (vagyis nincsenek keringési nyomatékok), nagy pontossággal egyenlőnek tekinthető a giromágneses aránnyal [1] . Ez történik a CdCr 2 Se 4 , az ittrium vasgránát Y 3 Fe 5 O 12 , a Fe 20+x Ni 80-x permalloy és a legtöbb egyéb ferro- és ferrimágneses anyag esetében. $\gamma$ $S$ $\gamma$

Az effektív mágneses mező a szabad energia variációs deriváltja a mágneses momentumhoz képest [2]

\mathbf H^{\mathrm{eff))(\mathbf r, t) = -\frac{\delta F}{\delta \mathbf M}.\qquad (2)

Abban az esetben, ha egy mágnes a Curie-hőmérséklettől távol van, vagy nulla hőmérsékletű, akkor a szabad energia egyenlő a belső energiával . $F$ $E$

Az (1) formulában a mágnesezési vektor hossza megmarad. Ez könnyen kimutatható, ha az (1) mindkét oldalát skalárisan megszorozzuk -val , ami megadja $\mathbf {M}$

\frac{\partial \mathbf M^2}{\partial t} = 0.\qquad (3)

Ez a tény alapot ad arra, hogy a mágnesezettség precessziójáról beszéljünk.

A mágnesezettség mozgásegyenletének szigorú levezetése a kontinuum közelítésben lehetetlen [3] , ezért gyakran feltételezik a spin operátor mozgásegyenletéből való formális átmenet lehetőségét. ${\mathbf S}_{n}$

i\hbar\frac{\partial \mathbf S_n}{\partial t} = [\mathcal H, \mathbf S_n],\qquad (4)

az (1) egyenlethez egy Taylor sorozat [4] pontja közelében lévő mágnesezési mező helyettesítésével és kiterjesztésével . Itt van a kommutátor , a Hamilton -féle , az n-edik rácshely spin-operátora, és ennek sugárvektora, a rácsállandó , a Bohr-magneton . $\mathbf S_n\to -\frac{a^3}{2\mu_B}\mathbf M(\mathbf r_n)$ $\mathbf M(\mathbf r_{n+n_0})$ $\mathbf r_n$ $[\bullet,\bullet]$ $\mathcal H$ ${\mathbf S}_{n}$ $\mathbf r_n$ $a$ $\mu _{B}$

Módosítások

A disszipáció, a hőmérséklet vagy a spin-polarizált áramok figyelembevétele az eredeti (1) egyenlet módosítását igényli, ami általában az (1) jobb oldalán további tagok megjelenésére redukálódik. A relaxációs kifejezések különböző méretűek és eltérő számú paraméterrel rendelkezhetnek. De a kis disszipációjú ferromágnesekben zajló folyamatok hozzávetőleges leírásához az alábbi egyenlet bármelyike használható [5] . Mindegyik átalakítható egymásra.

Relaxációs kifejezés Landau-Lifshitz formában

Landau és Lifshitz a következő módosítást javasolta [6] :

\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}] - \frac{|\gamma|\lambda}{M^2}\left[\mathbf M \times [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}]\jobbra],\qquad (5)

hol van a disszipációs paraméter. Néha ezt az értéket veszik disszipációs paraméternek . $\lambda$ $\lambda_1=|\gamma|\lambda$

A Landau-Lifshitz-Hilbert egyenlet

A Hilbert relaxációs kifejezést gyakran használják:

\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}] + \frac{\alpha}{M}\left[\mathbf M \times \frac{\partial \mathbf M}{\partial t} \jobbra],\qquad (6)

hol van a disszipációs paraméter. Az (5) és (6) egyenletek közötti formális átmenet cserével tehető $\alpha$

\gamma\–\frac{\gamma}{1+\alpha^2},\quad \lambda\–\frac{\alpha M}{1+\alpha^2}.\qquad (7)

A giromágneses arány negatív értékével kapcsolatban az (5) és (6) pontban ellentétes előjelű relaxációs paraméterek definíciói vannak [7] .

Bloch-Blomergen egyenlet

A mágnesezési vektor hosszának megváltoztatását lehetővé tevő disszipációs egyenletre példa a módosított Bloch - egyenlet vagy a Bloch- Blomergen egyenlet :

\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = -|\gamma|[\mathbf M\times \mathbf H^{\mathrm{eff))] - \omega_r(\mathbf M - \chi_0 \mathbf H^{\mathrm{eff)))\qquad (8)

ahol az úgynevezett statikus szuszceptibilitás, amely a telítési mágnesezettség és az effektív tér abszolút értékének aránya, és a relaxációs frekvencia. $\chi_0$ $\omega_r$

A spin-polarizált áram hatása

A spin-polarizált áramot általában egy további kifejezéssel írják le a forma (1) jobb oldalán . Meghatározásának egyik megközelítése [8] a vektor kiterjesztése a , és mentén irányított tengelyek mentén . Itt látható az egységvektor a referenciaréteg mágnesezettsége mentén. Feltéve, hogy a mágnesezési vektor hossza nem változik, az első vetület nulla lesz, a másik kettő $|\gamma|\mathbf T$ $|\gamma|\mathbf T$ $\mathbf {M}$ $[\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}]$ $\mathbf M \times [\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref))]$ $\mathbf m_{\mathrm{ref}}$

\mathbf T_{\parallel} = - \frac{|\gamma|a_J}{M_s}\mathbf M \times [\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref))],\quad \mathbf T_{ \perp} = |\gamma|b_J[\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}],\qquad (9)

ahol a és együtthatók arányosak az áramsűrűséggel, a polarizáló szerkezet paramétereitől és a és közötti szögtől függően . $a_J$ $b_J$ $\mathbf {M}$ $\mathbf m_{\mathrm{ref}}$

Az írás egyéb formái

Az analitikai elemzéshez leggyakrabban a Landau-Lifshitz egyenletet a gömbkoordináta-rendszer szögváltozóiba írjuk be és . Ebben az esetben a mágnesezési vektort úgy ábrázolhatjuk $\theta$ $\phi$

M_{x}+iM_{y}=M_{s}\sin \theta e^{i\phi },\quad M_{z}=M_{s}\cos \theta ,

hol van a telítési mágnesezettség. A (6) szögváltozókhoz való átmenethez megszorozzuk az egyenletet a mágnesezettség változásával , kifejezve a szögváltozókban a bal oldal vetületét az alkalmazási tengelyre. Továbbá, az energia és a mágnesezettség változásait a szögváltozatok szerint felírva megkapjuk $Kisasszony$ $\delta \mathbf M$

\sin\theta \frac{\partial \theta}{\partial t} = -\frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \phi},\quad \sin\theta \frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \theta}.\qquad (10)

Hasonló módon történik a további tagokat tartalmazó szögváltozók egyenletek megszerzése is. Tehát a Landau-Lifshitz-Hilbert formában való íráshoz megvan

\sin\theta \frac{\partial \theta}{\partial t} = -\frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \phi} - \alpha\sin^2 \theta \frac{\partial \phi}{\partial t},\quad \sin\theta \frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{ \delta E}{\delta \theta} + \alpha \frac{\partial \theta}{\partial t}.\qquad (11)

Lásd még

Jegyzetek

↑ Gurevich A. G., Melkov G. A. Mágneses oszcillációk és hullámok. M .: Fizmatlit, 1994. - 464 p., - ISBN 5-02-014366-9 , 17. o.
↑ Skrotsky, G. V. Még egyszer a Landau-Lifshitz egyenletről. UFN archiválva : 2011. április 30. a Wayback Machine -nél
↑ Ezt a kérdést részletesebben megvizsgálták például: Akhiezer A.I., Baryakhtar V.G. Peletminsky S.V. Spin waves., M .: Nauka, 1967, - 368 p. a 44. oldalon és Herring C., Kittel C, On the theory of spin waves in ferromágneses közeg. — Phys. Rev., 1951, 81 No. 5, p. 869-880.
↑ Ebben az esetben általában a kicsinység másodrendű tagjaira korlátozódnak, mivel abban az esetben, ha a rács minden csomópontja a szimmetriaközéppontja, akkor a koordinátához képest az első deriváltot tartalmazó tag eltűnik.
↑ Gurevich A. G., Melkov G. A. Mágneses oszcillációk és hullámok. M .: Fizmatlit, 1994. - 464 p., - ISBN 5-02-014366-9 a 27. oldalon.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. A ferromágneses testek mágneses permeabilitásának diszperziójának elméletéről // Landau L. D. Összegyűjtött művek 2 kötetben. Kiad. E. M. Lifshitz. M.: Nauka, 1969. T. 1. S. 128
↑ Hubert, Alex; Rudolf Schafer. Mágneses domének: mágneses mikrostruktúrák elemzése . - Springer, 1998. - P. 557. - ISBN 3540641084 . Archiválva : 2021. augusztus 20. a Wayback Machine -nél , a 151. oldalon.
↑ Zvezdin A.K. és munkatársai: Általánosított Landau-Lifshitz egyenlet és a spin momentum transzfer folyamatai mágneses nanostruktúrákban . [UFN, 178, p. 436–442 (2008) [1] Archiválva : 2010. április 13. a Wayback Machine -nél

Irodalom

Akhiezer, A. I., Baryakhtar, V. G. Peletminsky, S. V. Spin waves., M.: Nauka, 1967, - 368 p.
Gurevich, A. G., Melkov, G. A. Mágneses oszcillációk és hullámok. M.: Fizmatlit, 1994. - 464 p., ISBN 5-02-014366-9 .
Zavislyak, I. V., Tychinsky, A. V., A funkcionális mikroelektronika fizikai alapjai. K .: UMK VO, 1989, - 105. p.
Zvezdin, A. K., Zvezdin, K. A., Khvalkovskiy, A. V. Általánosított Landau-Lifshitz egyenlet és spinmomentum transzfer folyamatai mágneses nanostruktúrákban. UFN, 178 436–442, (2008) https://dx.doi.org/10.3367/UFNr.0178.200804i.0436
Landau, L. D., Lifshitz, E. M. A ferromágneses testek mágneses permeabilitásának diszperziójának elméletéről. Phys. Zs. Sowjet., 1935, 8, 153-169.
Skrotsky, G. V. Még egyszer a Landau-Lifshitz egyenletről. UFN
Gilbert, T. A ferromágneses anyagok csillapításának fenomenológiai elmélete. IEEE Transactions on Magnetics, 2004, 40, pp. 3443-3449. https://dx.doi.org/10.1109/TMAG.2004.836740
Hubert, Alex; Rudolf Schafer. Mágneses domének: mágneses mikrostruktúrák elemzése . - Springer, 1998. - P. 557. - ISBN 3540641084 .

Linkek

OOMMF - Az objektum-orientált mikromágneses keretrendszer egy ingyenes szoftvercsomag mikromágneses modellezéshez C++ és Tcl / Tk nyelven .
ferromágneses domének

Matematikai fizika

Az egyenletek típusai

Egyenletek típusai

Peremfeltételek

A matematikai fizika egyenletei

Diffúzió és konvekció	Hőegyenlet Diffúziós egyenlet Mason-Weaver egyenlet
Hidrodinamika	Átviteli egyenlet Navier-Stokes egyenletek Euler egyenlet Gromeka-Lamb egyenlet Vortex egyenlet Burger egyenlet Sekély víz egyenletek Korteweg-de Vries egyenlet
Elektromágnesesség	Maxwell-egyenletek Helmholtz egyenlet Landau-Lifshitz egyenlet Szűrt Poisson-egyenlet
Kvantummechanika	Schrödinger egyenlet Heisenberg egyenlet Rarita-Schwinger egyenlet Hartree egyenlet Dirac egyenlet Klein-Gordon egyenlet
Általános modellek	Folytonossági egyenlet hullámegyenlet Fokker-Planck egyenlet Poisson egyenlet

Megoldási módszerek

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek

Egyenletek tanulmányozása

Kapcsolódó témák