Matematikai modell

A matematikai modell  a valóság matematikai reprezentációja [1] , a modell mint rendszer egyik változata , amelynek tanulmányozása lehetővé teszi valamely más rendszerről való információszerzést . A matematikai modellnek különösen az a célja, hogy megjósolja egy valós objektum viselkedését, de mindig képviseli az idealizálás egyik vagy másik fokát [B: 1] .

Matematikai modellezésnek nevezzük magát a tevékenységet és a matematikai modellek felépítésére és tanulmányozására elfogadott módszerek és technikák összességét.

Valójában minden természet- és társadalomtudomány , amely a matematikai apparátust használja, matematikai modellezéssel foglalkozik: lecserélik a vizsgálat tárgyát annak matematikai modelljére , majd az utóbbit tanulmányozzák. A matematikai módszerek segítségével általában egy ideális objektumot vagy folyamatot írnak le, amely az értelmes modellezés szakaszában épül fel . A matematikai modell összekapcsolása a valósággal empirikus törvények , hipotézisek , idealizálások és leegyszerűsítések láncolata segítségével valósul meg .

Definíciók

A matematikai modell  a külső világ valamely jelenségcsoportjának hozzávetőleges leírása, matematikai szimbólumokban kifejezve. [B:2]

Ljapunov szerint a matematikai modellezés egy tárgy közvetett gyakorlati vagy elméleti vizsgálata, amelyben nem a számunkra érdekes objektumot vizsgálják közvetlenül, hanem valamilyen mesterséges vagy természetes segédrendszert (modellt), amely valamilyen objektív megfeleltetésben van a tárggyal. ismert, bizonyos tekintetben képes helyettesíteni és tanulmányozása során végső soron magáról a modellezett objektumról információt adni [B: 3] .

Más változatokban a matematikai modellt az eredeti objektum objektum-helyettesítőjeként definiálják, amely lehetővé teszi az eredeti objektum egyes tulajdonságainak tanulmányozását [B: 4] , mint az objektum "egyenértékű" elemét, amely matematikai formában tükrözi legjobban. fontos tulajdonságok - a törvények , amelyeknek engedelmeskedik, az alkotórészeiben rejlő összefüggések" [B: 5] , mint egyenletrendszer, vagy aritmetikai összefüggések, vagy geometriai alakzatok, vagy mindkettő kombinációja, amelynek tanulmányozása a matematikának meg kell válaszolnia a valós világban lévő objektumok egy bizonyos tulajdonsághalmazának tulajdonságairól feltett kérdéseket [B: 6] , mint matematikai összefüggések, egyenletek, egyenlőtlenségek halmazát, amelyek leírják a folyamatban, tárgyban vagy rendszerben rejlő főbb mintákat. tanulmány [B: 7] .

Az automatizált vezérlőrendszerekben matematikai modellt használnak a vezérlő működési algoritmusának meghatározására. Ez az algoritmus határozza meg, hogy a vezérlőműveletet hogyan kell megváltoztatni a master változásától függően a vezérlési cél elérése érdekében. [B:8]

Egyetlen definíció sem képes teljes mértékben lefedni a matematikai modellezés valós tevékenységét . Ennek ellenére a definíciók hasznosak, mivel megpróbálják kiemelni a legfontosabb jellemzőket.

Modellek egyetemessége

A legfontosabb matematikai modelleknek általában van egy fontos egyetemességi tulajdonsága : alapvetően különböző valós jelenségek írhatók le ugyanazzal a matematikai modellel. Például a harmonikus oszcillátor nemcsak a rugót érő terhelés viselkedését írja le, hanem más, gyakran teljesen eltérő jellegű rezgési folyamatokat is: az inga kis rezgéseit, a folyadékszint ingadozását egy alakú edényben, vagy az áramerősség változása egy rezgőkörben. Így egy matematikai modell tanulmányozása során egyszerre tanulmányozzuk az általa leírt jelenségek egész osztályát. A matematikai modellek által a tudományos ismeretek különböző szegmenseiben kifejezett törvények izomorfizmusa vezette Ludwig von Bertalanffyt egy „ általános rendszerelmélet ” megalkotásához.

Ugyanakkor nem szabad megfeledkezni arról, hogy a modell maga egy objektum, és rendelkezhet néhány saját tulajdonsággal, amelyek nem kapcsolódnak a modellezett valós objektumhoz; de vannak olyan publikációk is jó hírű folyóiratokban, ahol az összetett matematikai modelleknek pontosan azokat a tulajdonságait vizsgálják, amelyek nem kapcsolódnak a modellezett objektumhoz. [B:9]

Modellek osztályozása

A modellek formális osztályozása

A modellek formális osztályozása az alkalmazott matematikai eszközök osztályozásán alapul. Gyakran dichotómiák formájában épül fel . Például az egyik népszerű dichotómiakészlet [2] :

stb. Minden megszerkesztett modell lineáris vagy nemlineáris, determinisztikus vagy sztochasztikus, ... Természetesen kevert típusok is lehetségesek: egy vonatkozásban koncentráltak (paraméterek tekintetében), elosztott modellek egy másikban stb.

Osztályozás az objektum megjelenítési módja szerint

A formális osztályozás mellett a modellek különböznek az objektum ábrázolásában:

A strukturális modellek egy objektumot mint rendszert ábrázolnak saját eszközzel és működési mechanizmussal. A funkcionális modellek nem használnak ilyen reprezentációkat, és csak az objektum kívülről észlelt viselkedését (működését) tükrözik. Extrém kifejezésükben „fekete doboz” modelleknek is nevezik őket. [6] Kombinált típusú modellek is lehetségesek, ezeket néha " szürke dobozos " modelleknek is nevezik.

Értelmes és formális modellek

Szinte minden, a matematikai modellezés folyamatát leíró szerző azt jelzi, hogy először egy speciális ideális konstrukció, egy értelmes modell készül [7] . Itt nincs kialakult terminológia, más szerzők ezt az ideális objektumot fogalmi modellnek [8] , spekulatív modellnek [B: 10] [9] vagy előmodellnek [10] nevezik . Ebben az esetben a végső matematikai konstrukciót formális modellnek vagy egyszerűen e tartalmi modell formalizálása (előmodell) eredményeként kapott matematikai modellnek nevezzük. Értelmes modellt kész idealizációk halmazával lehet építeni, mint a mechanikában, ahol ideális rugók, merev testek, ideális ingák, rugalmas közegek stb. kész szerkezeti elemeket adnak az értelmes modellezéshez. Azonban azokon a tudásterületeken, ahol nincsenek teljesen befejezett formalizált elméletek (a fizika , a biológia , a közgazdaságtan , a szociológia , a pszichológia és a legtöbb más terület élvonala), az értelmes modellek létrehozása sokkal bonyolultabbá válik.

A modellek értelmes osztályozása

Peierls [11] a fizikában és tágabb értelemben a természettudományokban használt matematikai modellek osztályozását adja meg . A. N. Gorban és R. G. Khlebopros [12] könyvében ezt a besorolást elemzi és bővíti. Ez az osztályozás elsősorban az értelmes modell felépítésének szakaszára összpontosít.

Hipotézis

Az első típusú modellek - hipotézisek ( "ez lehet" ), "a jelenség próbaleírását jelentik, és a szerző vagy hisz ennek lehetőségében, vagy akár igaznak is tartja." Peierls szerint ezek például a Naprendszer Ptolemaiosz-modellje és a Kopernikuszi modell ( Kepler által továbbfejlesztett ), Rutherford atommodellje és az Ősrobbanás -modell .

A tudományban felállított modell-hipotéziseket nem lehet egyszer s mindenkorra bizonyítani, csak cáfolatukról vagy meg nem cáfolásukról lehet beszélni a kísérlet eredményeként [13] .

Ha az első típusú modellt felépítjük, akkor ez azt jelenti, hogy ideiglenesen igaznak ismeri el, és más problémákra lehet koncentrálni. Ez azonban nem lehet kutatási pont, hanem csak átmeneti szünet: az első típusú modell állapota csak átmeneti lehet.

Fenomenológiai modell

A második típus, a fenomenológiai modell ( „úgy viselkedünk, mintha…” ) a jelenség leírására szolgáló mechanizmust tartalmaz, bár ez a mechanizmus nem elég meggyőző, a rendelkezésre álló adatokkal nem igazolható kellőképpen, vagy rosszul áll összhangban a rendelkezésre álló elméletekkel. és a tárgyról felhalmozott tudást. Ezért a fenomenológiai modellek átmeneti megoldások státusszal rendelkeznek. Úgy gondolják, hogy a válasz még mindig ismeretlen, és folytatni kell az "igazi mechanizmusok" keresését. Peierls például az elemi részecskék kalóriamodelljét és kvark modelljét utalja a második típushoz.

A modell szerepe a kutatásban idővel változhat, előfordulhat, hogy új adatok, elméletek megerősítik a fenomenológiai modelleket, és hipotézis státuszba kerülnek. Hasonlóképpen, az új ismeretek fokozatosan konfliktusba kerülhetnek az első típusú modellekkel-hipotézisekkel, és átvihetők a másodikba. Így a kvark modell fokozatosan a hipotézisek kategóriájába kerül; Az atomizmus a fizikában átmeneti megoldásként jelent meg, de a történelem folyamán átment az első típusba. De az étermodellek az 1-es típusból a 2-es típusba kerültek, és most már kívül esnek a tudományon.

Az egyszerűsítés ötlete nagyon népszerű a modellek építésénél. De az egyszerűsítés más. Peierls háromféle egyszerűsítést különböztet meg a modellezésben.

Közelítés

A modellek harmadik típusa a közelítés ( „valamit nagyon nagynak vagy nagyon kicsinek tartunk” ). Ha lehetséges a vizsgált rendszert leíró egyenleteket felállítani, az nem jelenti azt, hogy azok akár számítógép segítségével is megoldhatók. Elterjedt technika ebben az esetben a közelítések alkalmazása (3. típusú modellek). Ezek között vannak lineáris válaszmodellek . Az egyenleteket lineárisra cseréljük. A standard példa az Ohm-törvény .

Ha az ideális gázmodellt használjuk a kellően ritka gázok leírására, akkor ez egy 3-as típusú modell (közelítés). Nagyobb gázsűrűségnél érdemes elképzelni egy egyszerűbb ideális gázhelyzetet is a minőségi megértéshez és értékeléshez, de akkor ez már 4-es típusú.

Egyszerűsítés

A negyedik típus az egyszerűsítés ( „néhány részletet kihagyunk az érthetőség kedvéért” ), ennél a típusnál olyan részletek kerülnek elvetésre, amelyek észrevehetően és nem mindig ellenőrizhetően befolyásolhatják az eredményt. Ugyanezek az egyenletek szolgálhatnak 3. típusú (közelítés) vagy 4. típusú (néhány részlet elhagyásával az egyértelműség kedvéért) modellként, attól függően, hogy a modellt milyen jelenségre használják. Tehát, ha bonyolultabb modellek hiányában lineáris válaszmodelleket használunk (vagyis a nem lineáris egyenleteket nem linearizáljuk, hanem egyszerűen megkeressük az objektumot leíró lineáris egyenleteket), akkor ezek már fenomenológiai lineáris modellek , és a a következő 4-es típus (minden nemlineáris részlet " az érthetőség kedvéért elhagyva).

Példák: ideális gázmodell alkalmazása nem ideálisra, van der Waals állapotegyenlet , a legtöbb szilárdtest- , folyadék- és magfizikai modell . A mikroleírástól a nagyszámú részecskéből álló testek (vagy közegek) tulajdonságaiig nagyon hosszú az út. Sok részletet ki kell hagyni. Ez a negyedik típusú modellekhez vezet.

Heurisztikus modell

Az ötödik típus egy heurisztikus modell ( „nincs kvantitatív megerősítés, de a modell hozzájárul a dolog lényegének mélyebb megismeréséhez” ), az ilyen modell csak minőségi hasonlóságot tart meg a valósággal, és csak „sorrendben ad” előrejelzéseket. nagyságrendje”. Tipikus példa erre a kinetikai elméletben az átlagos szabad út közelítés . Egyszerű képleteket ad a viszkozitási , diffúziós , hővezetői együtthatóra , nagyságrendileg összhangban a valósággal.

Egy új fizika felépítésekor azonban korántsem azonnal kapunk olyan modellt, amely legalább minőségi leírást ad az objektumról - az ötödik típusú modellt. Ebben az esetben egy modellt gyakran használnak analógiával , amely legalább valamilyen módon tükrözi a valóságot.

Analógia

A hatodik típus analógiás modell ( „csak néhány jellemzőt vegyünk figyelembe” ). Peierls az analógiák használatának történetét ismerteti Heisenberg első , a nukleáris erők természetéről szóló cikkében [14] .

Gondolatkísérlet

A hetedik modelltípus a gondolatkísérlet ( „a lényeg a lehetőség cáfolata” ). Ezt a fajta szimulációt gyakran használta Einstein, különösen, az egyik ilyen kísérlet a speciális relativitáselmélet megalkotásához vezetett . Tegyük fel, hogy a klasszikus fizikában egy fényhullámot követünk fénysebességgel. Egy térben periodikusan változó és időben állandó elektromágneses teret fogunk megfigyelni . A Maxwell-egyenletek szerint ez nem lehet. Ebből Einstein arra a következtetésre jutott: vagy a természet törvényei változnak, amikor a vonatkoztatási rendszer változik, vagy a fénysebesség nem függ a vonatkoztatási rendszertől , és a második lehetőséget választotta.

A lehetőség bemutatása

A nyolcadik típus a lehetőség demonstrációja ( „a lehetőség belső konzisztenciájának bemutatása a lényeg” ), az ilyen modellek egyben képzeletbeli entitásokkal végzett gondolatkísérletek is, amelyek bemutatják, hogy az állítólagos jelenség összhangban van az alapelvekkel és belsőleg következetes. Ez a fő különbség a 7-es típusú modellektől, amelyek rejtett ellentmondásokat tárnak fel.

E kísérletek közül az egyik leghíresebb Lobacsevszkij geometriája . ( Lobacsevszkij "képzetes geometriának" nevezte.) Az Einstein-Podolsky-Rosen paradoxont ​​gondolatkísérletnek szánták a kvantummechanika inkonzisztenciájának demonstrálására, de nem tervezett módon idővel 8-as típusú modellré alakult - a lehetőség demonstrációjaként. az információ kvantumteleportációja .

Az érdemi besorolás a matematikai elemzést és számításokat megelőző szakaszokon alapul. Peierls szerint nyolc modelltípus nyolcféle kutatási pozíció a modellezésben.

A modellezett rendszer összetettsége

Javasolták [B: 11] [B: 12] a rendszerek komplexitásának három szintjének megkülönböztetését: egyszerű fizikai, összetett fizikai és biológiai rendszereket, és megállapították, hogy a legtöbb esetben elfogadhatatlan a bonyolultabb rendszerek egyszerűbbre való redukálása. .

Kemény és puha modellek

A. A. Andronov akadémikus [B: 1] a modell instabilitásának három típusát különítette el, amelyek a rendszer kis változtatásaihoz kapcsolódnak: 1) instabilitás a kezdeti feltételek megváltozásához (a Ljapunov stabilitási feltétel megsértése), 2) instabilitás a kis változásokig. olyan paraméterek, amelyek nem vezetnek a rendszer szabadságfokainak számának változásához és 3) instabilitás a paraméterek kis változásaihoz, amelyek a rendszer szabadságfokainak számának változását vonják maguk után. Azokat a rendszereket, amelyekben instabilitás mutatkozik a paraméterek kismértékű változásaihoz a rendszer szabadságfokainak számának változásával, szokás volt " nem durva "-nak nevezni. Később "kemény" modelleknek nevezték őket.

A harmonikus oszcillátor  egy példa a "kemény" modellre; egy valós fizikai rendszer erőteljes idealizálásának eredményeként kapjuk meg:

,

ahol a második deriváltját jelenti az idő függvényében : . A formális besorolás szerint ez a modell lineáris, determinisztikus, dinamikus, koncentrált, folytonos. Felépítése során sok olyan feltételezés született (a külső erők hiányáról, a súrlódás hiányáról, az eltérések kicsinyességéről stb.), amelyek a valóságban nem biztos, hogy teljesülnek.

A valósághoz viszonyítva ez leggyakrabban a 4. típusú leegyszerűsítési modell („az egyértelműség kedvéért kihagyunk néhány részletet”), mivel néhány lényeges univerzális jellemző kimarad (például disszipáció ). Valamilyen közelítéssel (mondjuk míg a terhelés kismértékű eltérése az egyensúlytól, kis súrlódás mellett, nem túl hosszú ideig és bizonyos egyéb feltételek mellett) egy ilyen modell elég jól leír egy valódi mechanikai rendszert, hiszen az elvetett tényezők elhanyagolható hatással van a viselkedésére. A modell azonban finomítható néhány ilyen tényező figyelembevételével. Ez egy új modellhez vezet, szélesebb (bár ismét korlátozott) hatókörrel.

A harmonikus oszcillátor tulajdonságait kis perturbációk minőségileg megváltoztatják. Például ha a jobb oldalhoz egy kis tagot (súrlódást) (  - valamilyen kis paraméter) adunk, akkor exponenciálisan csillapított oszcillációkat kapunk, ha megváltoztatjuk a további tag előjelét, akkor a súrlódás pumpálásba és rezgésbe megy át. amplitúdója exponenciálisan növekszik.

A merev modell alkalmazhatóságának kérdésének megoldásához meg kell értenünk, mennyire jelentősek azok a tényezők, amelyeket figyelmen kívül hagytunk. Meg kell vizsgálni a merev kis perturbációjával kapott lágy modelleket. Harmonikus oszcillátor esetén ezek például a következő egyenlettel adhatók meg:

.

Íme  néhány függvény, amely figyelembe tudja venni a súrlódási erőt vagy a rugó merevségi együtthatójának a nyújtás mértékétől való függését. A függvény explicit formája jelenleg nem érdekel bennünket.

Ha bebizonyítjuk, hogy egy puha modell viselkedése alapvetően nem tér el a kemény modell viselkedésétől (függetlenül attól, hogy a zavaró tényezők milyen explicit formájúak, ha azok elég kicsik), a probléma a kemény modell tanulmányozására redukálódik. Ellenkező esetben a merev modell vizsgálata során kapott eredmények alkalmazása további kutatásokat igényel.

Ha egy rendszer megőrzi minőségi viselkedését kis zavarás esetén is, szerkezetileg stabilnak mondjuk. A harmonikus oszcillátor egy példa a szerkezetileg instabil (nem durva) rendszerre. [B:13] Ez a modell azonban korlátozott időintervallumon keresztül alkalmazható vizsgálati folyamatokra.

A matematikai modellezés direkt és inverz problémái

A matematikai modellezéssel számos probléma merül fel. Először is ki kell találni a modellezett tárgy alapsémáját, reprodukálni e tudomány idealizációinak keretei között. Így a vasúti kocsi különböző anyagokból készült lemezekből és bonyolultabb karosszériákból álló rendszerré változik, minden anyag szabványos mechanikai idealizálása (sűrűség, rugalmassági modulusok, szabványos szilárdsági jellemzők) van megadva, ami után menet közben egyenleteket készítenek. egyes részleteket elvetnek, mint jelentékteleneket, számításokat végeznek, összehasonlítják mérésekkel, finomítják a modellt stb. A matematikai modellezési technológiák fejlesztéséhez azonban hasznos ezt a folyamatot a fő alkotóelemekre bontani.

Hagyományosan a matematikai modellekkel kapcsolatos problémáknak két fő osztálya van: a direkt és az inverz.

Közvetlen feladat : ​​a modell felépítését és minden paraméterét ismertnek tekintjük, a fő feladat a modell tanulmányozása, hogy hasznos ismereteket nyerjünk ki az objektumról. Milyen statikus terhelést tud elviselni a híd? Hogyan reagál a dinamikus terhelésre (például egy társaság katonák felvonulására, vagy egy vonat különböző sebességű áthaladására), hogyan fogja a repülőgép leküzdeni a hangfalat, szétesik-e a csapkodástól - ezek a közvetlen feladat tipikus példái. A helyes közvetlen probléma felállítása (a helyes kérdés feltevése) különleges jártasságot igényel. Ha nem teszik fel a megfelelő kérdéseket, a híd összeomolhat, még akkor is, ha a viselkedéséhez jó modellt építettek. Így 1879-ben Nagy-Britanniában összeomlott egy fém vasúti híd a Firth of Tay -en , amelynek tervezői megépítették a híd modelljét, 20-szoros biztonsági ráhagyással számoltak a hasznos teherre, de megfeledkeztek az állandóan fújó szelekről. azokon a helyeken. És másfél év után összeomlott. [tizenöt]

A legegyszerűbb esetben (például egy oszcillátor egyenlet) a közvetlen probléma nagyon egyszerű, és ennek az egyenletnek egy explicit megoldására redukálódik.

Inverz probléma : sok lehetséges modell ismert, az objektumra vonatkozó további adatok alapján kell konkrét modellt választani. Leggyakrabban a modell szerkezete ismert, és néhány ismeretlen paramétert meg kell határozni. A további információk további empirikus adatokból vagy az objektum követelményeiből állhatnak ( tervezési probléma ). További adatok származhatnak az inverz probléma megoldásának folyamatától függetlenül ( passzív megfigyelés ), vagy egy speciálisan a megoldás során tervezett kísérlet eredménye ( aktív megfigyelés ).

Egy inverz probléma virtuóz megoldásának egyik első példája a rendelkezésre álló adatok legteljesebb felhasználásával Newton módszere volt a súrlódási erők rekonstrukciójára a megfigyelt csillapított oszcillációkból.

Egy másik példa a matematikai statisztika . Ennek a tudománynak a feladata a megfigyelési és kísérleti adatok rögzítésére, leírására és elemzésére szolgáló módszerek kidolgozása tömeges véletlenszerű jelenségek valószínűségi modelljének felépítése érdekében [B: 14] . Vagyis a lehetséges modellek halmazát valószínűségi modellek korlátozzák. Konkrét problémák esetén a modellkészlet korlátozottabb.

Számítógépes szimulációs rendszerek

A matematikai modellezés támogatására számítógépes matematikai rendszereket fejlesztettek ki, például Maple , Mathematica , Mathcad , MATLAB , VisSim , [B: 15] és Scilab stb. Lehetővé teszik formális és blokkmodellek létrehozását egyszerű és összetett folyamatokról egyaránt. és eszközöket, és egyszerűen módosíthatja a modell paramétereit a szimuláció során. A blokkmodelleket blokkokkal (leggyakrabban grafikusan) ábrázoljuk, amelyek összeállítását és kapcsolódását a modelldiagram határozza meg .

Példák

Malthus modell

A Malthus által javasolt modell szerint a növekedési ütem arányos az aktuális népességszámmal , vagyis a differenciálegyenlet írja le:

,

ahol  egy bizonyos paraméter, amelyet a születési arány és a halálozási arány különbsége határoz meg. Ennek az egyenletnek a megoldása egy exponenciális függvény . Ha a születési ráta meghaladja a halálozási arányt ( ), a népesség nagysága korlátlanul és nagyon gyorsan növekszik. A valóságban ez a korlátozott erőforrások miatt nem valósulhat meg. Egy bizonyos kritikus populációméret elérésekor a modell megszűnik megfelelőnek lenni, mivel nem veszi figyelembe a korlátozott erőforrásokat. A Malthus-modell egy finomítása szolgálhat logisztikai modellként , amelyet a Verhulst - differenciálegyenlet ír le :

,

hol  van az "egyensúlyi" népességnagyság, amelynél a születési arányt pontosan kompenzálja a halálozási arány. A populáció mérete egy ilyen modellben az egyensúlyi érték felé hajlik , és ez a viselkedés szerkezetileg stabil.

A Bonhoeffer-van der Pol modell

A Richard FitzHugh 1961-es cikkében [A:2] javasolt modellt általában a gyors-lassú rendszerek fogalmi modelljeinek tanulmányozásának klasszikus példájának tekintik . Kanonikus formájában [A: 3] így írják

.

Richard FitzHugh ezt a modellt a van der Pol egyenlet általánosítása és a Karl-Friedrich Bonhoeffer német kémikus által javasolt modell eredményeként vezette le . Míg a van der Pol egyenlet (és a megfelelő rendszer) egy fogalmi határciklus -modell, a Bonhoeffer-van der Pol egyenlet (és a megfelelő rendszer) az autohullámfolyamatok fogalmi modelljeként van besorolva . Ennek alapján számos tárgyi, formálisan kinetikai kémiai és biológiai oszcillációs rendszer modellt hoztak létre.

Ragadozó-zsákmány rendszer

Tegyük fel, hogy egy bizonyos területen kétféle állat él : a nyulak (növényevő ) és a rókák ( nyúlevő ). Legyen a nyulak száma, a rókák száma . A Malthus modellt használva a szükséges korrekciókkal, figyelembe véve a rókák nyulak fogyasztását, a következő rendszerhez jutunk, amely a Lotka-Volterra modell nevét viseli :

Ennek a rendszernek a viselkedése szerkezetileg nem stabil : a modell paramétereinek kismértékű megváltoztatása (például figyelembe véve a nyulak korlátozott erőforrásait) minőségi változáshoz vezethet a viselkedésben .

Egyes paraméterértékeknél ez a rendszer egyensúlyi állapotú , amikor a nyulak és rókák száma állandó. Ettől az állapottól való eltérés a nyulak és rókák számának fokozatos ingadozásához vezet.

Az ellenkező helyzet is lehetséges, amikor az egyensúlyi helyzettől való kismértékű eltérés katasztrofális következményekkel jár, akár az egyik faj teljes kipusztulását is. Arra a kérdésre, hogy ezen forgatókönyvek közül melyik valósul meg, a Volterra-Lotka modell nem ad választ: itt további kutatásra van szükség.

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ "A valóság matematikai ábrázolása" (Encyclopaedia Britanica)
  2. ↑ Modellredukciós és durva szemcsésítési megközelítések többléptékű  jelenségekhez . Springer, Complexity sorozat, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4 . Letöltve: 2013. június 18. Az eredetiből archiválva : 2013. június 18..
  3. ↑ „Egy elméletet lineárisnak vagy nemlineárisnak tekintünk attól függően, hogy lineáris vagy nemlineáris matematikai apparátusról van szó, milyen lineáris vagy nemlineáris matematikai modelleket használ. ... az utóbbi tagadása nélkül. Egy modern fizikus, ha véletlenül újradefiniálna egy ilyen fontos entitást, mint a nemlinearitást, nagy valószínűséggel másként járna el, és a nemlinearitást preferálná, mint a két ellentét közül a fontosabbat és a közösebbet, a linearitást "nem-nem-nem-nem-ként" határozná meg. linearitás". Danilov Yu. A. , Előadások a nemlineáris dinamikáról. Elemi bevezetés. Szinergetika: a múltból a jövőbe sorozat. Szerk.2. — M.: URSS, 2006. — 208 p. ISBN 5-484-00183-8
  4. ↑ Anishchenko, 1997 : „A véges számú közönséges differenciálegyenlet által modellezett dinamikus rendszereket csomós vagy pontrendszereknek nevezzük. Leírásuk véges dimenziós fázistérrel történik, és véges számú szabadsági fok jellemzi őket. Egy és ugyanaz a rendszer különböző feltételek mellett koncentráltnak vagy elosztottnak tekinthető. Az elosztott rendszerek matematikai modelljei parciális differenciálegyenletek, integrálegyenletek vagy közönséges egyenletek retardált argumentummal. Egy elosztott rendszer szabadságfokainak száma végtelen, állapotának meghatározásához végtelen számú adatra van szükség.
  5. ↑ 1 2 3 Sovetov, 2001 , „Az S rendszerben vizsgált folyamatok természetétől függően a modellezés minden típusa felosztható determinisztikus és sztochasztikus, statikus és dinamikus, diszkrét, folytonos és diszkrét-folytonos modellekre. A determinisztikus modellezés determinisztikus folyamatokat jelenít meg, vagyis olyan folyamatokat, amelyekben feltételezik a véletlen befolyások hiányát; A sztochasztikus modellezés valószínűségi folyamatokat és eseményeket jelenít meg. … A statikus modellezés egy objektum viselkedésének leírására szolgál bármely időpontban, míg a dinamikus modellezés egy objektum időbeli viselkedését tükrözi. A diszkrét modellezés a diszkrétnek feltételezett folyamatok leírására szolgál, illetve a folyamatos modellezés lehetővé teszi a folyamatos folyamatok tükrözését a rendszerekben, a diszkrét-folytonos modellezést pedig olyan esetekben alkalmazzuk, amikor mind a diszkrét, mind a folyamatos folyamatok jelenlétét szeretnénk kiemelni.
  6. ↑ Myshkis, 2007 , Általában a modellezett objektum szerkezete (eszköze) tükröződik a matematikai modellben , az objektum összetevőinek kutatási célból elengedhetetlen tulajdonságai és összefüggései; az ilyen modellt strukturálisnak nevezzük. Ha a modell csak azt tükrözi, hogy az objektum hogyan működik - például hogyan reagál a külső hatásokra -, akkor funkcionálisnak vagy átvitt értelemben fekete doboznak nevezzük. Kombinált modellek is lehetségesek.
  7. ↑ Myshkis, 2007 : „A matematikai modell megalkotásának vagy kiválasztásának nyilvánvaló, de a legfontosabb kezdeti szakasza az, hogy a lehető legtisztább képet kapjunk a modellezett objektumról, és informális megbeszélések alapján finomítsuk annak tartalmi modelljét. Ebben a szakaszban nem szabad időt és erőfeszítést spórolni, az egész tanulmány sikere nagyban függ tőle. Nem egyszer fordult elő, hogy egy-egy matematikai feladat megoldására fordított jelentős munka eredménytelennek bizonyult, vagy akár kárba veszettnek bizonyult a dolog ezen oldalára való elégtelen figyelem miatt. 35.
  8. ↑ Szovjetek, 2001 , “ A rendszer fogalmi modelljének leírása. A rendszermodell felépítésének ezen részszakaszában: a) az M fogalmi modellt absztrakt kifejezésekkel és fogalmakkal írjuk le; b) a modell leírása tipikus matematikai sémák segítségével történik; c) a hipotéziseket és feltételezéseket végül elfogadják; d) megalapozott a valós folyamatok közelítésére szolgáló eljárás választása a modell felépítésénél.», p. 93.
  9. ↑ Myshkis, 2006 , 2. fejezet.
  10. ↑ Samarsky, 2001 : „A modell felépítése egy tárgy vagy jelenség verbális és szemantikai leírásával kezdődik. … Ezt a szakaszt az előmodell megfogalmazásának nevezhetjük.”, p. 25.
  11. ↑ Peierls R. Modellkészítés a fizikában. — Contemp. Phys., 1980. január/február, v. 21, pp. 3-17; Fordítás: R. Peierls, Fizikai modellek felépítése, UFN, 1983, 6. sz.
  12. ↑ Gorban A. N., Khlebopros R. G. , Darwin démona: Az optimalitás és a természetes szelekció ötlete . - M: Tudomány. Főszerk. Fiz.-Matek. lit., 1988. - 208 p. - (A tudomány és a technológiai fejlődés problémái) - ISBN 5-02-013901-7 (" Modellkészítés " fejezet, archiválva 2008. október 7-én a Wayback Machine -nél )
  13. ↑ „Mindig megvan a képességünk, hogy megcáfoljunk egy elméletet, de vedd figyelembe, hogy soha nem tudjuk bizonyítani, hogy helyes. Tegyük fel, hogy feltett egy sikeres hipotézist, kiszámítja, hová vezet, és azt tapasztalja, hogy minden következményét kísérletileg igazolják. Ez azt jelenti, hogy az elméleted helyes? Nem, ez egyszerűen azt jelenti, hogy nem sikerült megcáfolnia.”
    Feynman P. , A fizikai törvények természete. "Quantum" könyvtár, 62. szám. - M .: Nauka, szerk. második, átdolgozott, 1987; 7. előadás. Új törvények keresése. Archiválva : 2016. március 5. a Wayback Machine -nál
  14. ↑ „Ez a neutron felfedezése után történt , és bár W. Heisenberg maga is megértette, hogy az atommagok neutronokból és protonokból állóként írhatók le, mégsem tudott megszabadulni attól a gondolattól, hogy a neutronnak végső soron protonból kell állnia. és egy elektron . Ebben az esetben analógia merült fel a neutron-proton rendszer kölcsönhatása és a hidrogénatom és a proton kölcsönhatása között. Ez az analógia vezette arra a következtetésre, hogy a neutron és a proton között kölcsönhatási csereerőknek kell lenniük , amelyek analógiák a rendszerben az elektron két proton közötti átmenetéből adódó csereerőkkel. ... Később azonban bebizonyosodott a neutron és a proton közötti kölcsönhatás csereerőinek létezése, bár ezek nem merítették ki teljesen a két részecske közötti kölcsönhatást... De ugyanezt a hasonlatot követve W. Heisenberg eljutott a arra a következtetésre jutottak, hogy két proton között nincsenek nukleáris kölcsönhatási erők, és két neutron között taszítást feltételeznek. Ez utóbbi mindkét következtetés ellentétben áll a későbbi tanulmányok eredményeivel.
  15. ↑ Science-Building archiválva : 2009. május 23., a Wayback Machine , Technical Encyclopedia

Irodalom

Könyvek

  1. ↑ 1 2 Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E. Az oszcillációk elmélete. - 2. kiadás, átdolgozva. és javítva - M . : Nauka , 1981. - 918 p.
  2. ↑ Matematikai enciklopédikus szótár / Ch. szerk. Prohorov Yu. V. . - M . : Szov. Enciklopédia, 1988. - 847 p.
  3. ↑ Novik I. B. A kibernetikus modellezés filozófiai kérdéseiről . - M . : Tudás, 1964.
  4. ↑ Sovetov B. Ya. , Yakovlev S. A. Rendszermodellezés: Proc. egyetemek számára . - 3. kiadás, átdolgozva. és további .. - M . : Vyssh. iskola, 2001. - 343 p. — ISBN 5-06-003860-2 .
  5. ↑ Samarsky A. A. , Mikhailov A. P. Matematikai modellezés. Ötletek. Mód. Példák . — 2. kiadás, javítva. - M. : Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X .
  6. ↑ Myshkis A. D. A matematikai modellek elméletének elemei . - 3. kiadás, Rev. - M . : KomKniga, 2007. - 192 p. — ISBN 978-5-484-00953-4 .
  7. ↑ Sevostyanov, A. G. , Sevostyanov, P. A. Technológiai folyamatok modellezése: tankönyv. - M. : Könnyű- és élelmiszeripar, 1984. - 344 p.
  8. ↑ Rotach V. Ya. Az automatikus vezérlés elmélete. - 1. - M . : CJSC "MPEI Kiadó", 2008. - 333 p. - ISBN 978-5-383-00326-8 .
  9. ↑ Skorinkin A.I. Biológiai folyamatok matematikai modellezése. - Kazan: Kazan. un-t, 2015. - 86 p.
  10. ↑ Blekhman I. I. , Myshkis A. D. , Panovko N. G. Alkalmazott matematika: Tantárgy, logika, megközelítések jellemzői. Példákkal a mechanikából: Tankönyv. - 3. kiadás, Rev. és további .. - M . : URSS, 2006. - 376 p. — ISBN 5-484-00163-3 .
  11. ↑ Miscsenko E. F. , Kolesov Yu. S. , Kolesov A. Yu. , Rozov N. Kh . Periodikus mozgások és bifurkációs folyamatok szingulárisan perturbált rendszerekben . - M . : Fizmatlit, 1995. - 336 p. — ISBN 5-02-015129-7 .
  12. ↑ Miscsenko E. F. , Szadovnyicsij V.A. , Koleszov A. Yu. , Rozov N. Kh . Sok a káosz . - M . : Fizmatlit, 2012. - 432 p. — ISBN 978-5-9221-1423-3 .
  13. ↑ Arnold V. I. Merev és lágy matematikai modellek . - M. : MTSNMO, 2004. - ISBN 5-94057-134-4 .
  14. ↑ A matematika valószínűségi szakaszai / Szerk. Yu. D. Maksimova . - Szentpétervár. : "Ivan Fedorov", 2001. - S.  400 . — 592 p. — ISBN 5-81940-050-X .
  15. ↑ Dyakonov V.P. Matlab R2006/2007/2008. Simulink 5/6/7. Az alkalmazás alapjai. - M. : Solon-Press, 2008. - 800 p. - (Egy szakember könyvtára). - ISBN 978-5-91359-042-8 .

Cikkek

  1. ↑ Anishchenko V.S. Dynamic Systems // Soros Educational Journal. - 1997. - 11. sz . - S. 77-84 .
  2. ↑ FitzHugh R. Impulzusok és élettani állapotok az ideghártya elméleti modelljeiben   // Biophys . J. : folyóirat. - 1961. - 1. évf. 1 . — P. 445–466 .
  3. ↑ Moskalenko A. V. , Tetuev R. K. , Makhortykh S. A. Az oszcillációk elméletének jelenlegi állapotának kérdéséről  // Preprints of the IAM im. M. V. Keldysh  : folyóirat. - 2019. - 44. sz . – S. 1–32 . — ISSN 2071-2901 . - doi : 10.20948/prepr-2019-44 .

További olvasnivalók

 A matematika ágai
"Tudomány" portál
A matematika alapjai halmazelmélet matematikai logika logikai algebra
Számelmélet ( aritmetika )
  • "Matematika" portál
  • "Matematika" kategória
  Ugrás a Wikidata elemre  Szótárak és enciklopédiák