Fizikai kinetika

A fizikai kinetika ( más görögül κίνησις - mozgás) a nem egyensúlyi közegben zajló folyamatok mikroszkopikus elmélete. A kinetikában a kvantum vagy a klasszikus statisztikus fizika módszereivel tanulmányozzák az energia- , impulzus- , töltés- és anyagátviteli folyamatokat különböző fizikai rendszerekben ( gázok , plazmák , folyadékok , szilárd anyagok) és a külső mezők hatását ezekre . Ellentétben a nem egyensúlyi folyamatok termodinamikájával és a kontinuumok elektrodinamikájával , a kinetika a vizsgált közeg molekulaszerkezetének koncepciójából indul ki, amely lehetővé teszi a kinetikai együtthatók , dielektromos és mágneses permeabilitások és egyéb jellemzők kiszámítását az első elvekből. a kontinuumok. A fizikai kinetika magában foglalja a semleges atomokból vagy molekulákból származó gázok kinetikai elméletét , a plazmában a nem egyensúlyi folyamatok statisztikai elméletét , a szilárd anyagok ( dielektrikumok , fémek és félvezetők ) és folyadékok szállítási jelenségeinek elméletét , a mágneses folyamatok kinetikáját és a a gyors részecskék anyagon való áthaladásával kapcsolatos kinetikai jelenségek elmélete. Tartalmazza továbbá a kvantumfolyadékokban és szupravezetőkben zajló transzportfolyamatok elméletét és a fázisátalakulások kinetikáját .

Ha ismerjük a rendszer összes részecskéjének koordinátáinak és időtől függő momentumainak eloszlásfüggvényét (kvantum esetben a sűrűségmátrix ), akkor egy nem egyensúlyi rendszer összes jellemzője kiszámítható. A teljes eloszlásfüggvény kiszámítása gyakorlatilag megoldhatatlan probléma, de a fizikai rendszerek számos tulajdonságának, például az energia- vagy impulzusfluxus meghatározásához elegendő ismerni kisszámú részecske eloszlásfüggvényét, és kisszámú részecske eloszlásfüggvényét. sűrűségű gázok, egy részecske.

A kinetika kihasználja a relaxációs idők jelentős különbségét a nem egyensúlyi folyamatokban; például egy részecskékből vagy kvázi részecskékből álló gázok esetében az átlagos szabad út sokkal hosszabb, mint a részecskék közötti ütközési idő. Ez lehetővé teszi, hogy egy nem egyensúlyi állapot teljes leírásából egy eloszlásfüggvénnyel minden koordinátán és nyomatékon eljussunk egy rövidített leírásra, amely egy részecske koordinátái és nyomatékai közötti eloszlásfüggvényét használja.

Kinetikus egyenlet

A fizikai kinetika fő módszere a Boltzmann kinetikai egyenlet megoldása a molekulák egyrészecske-eloszlási függvényére a koordinátáik és momentumaik fázisterében . Ezt az egyenletet Boltzmann vezette be 1872-ben [1] . Az eloszlásfüggvény kielégíti a [2] kinetikai egyenletet : $f(x,\;p,\;t)$ $x$ $p$

{\frac {df}{dt))={\frac {\partial f}{\partial t))+{\frac {\vec {p)){m)){\frac {\partial f }{\partial {\vec {x))))+{\vec {F)){\frac {\partial f}{\partial {\vec {p))))=\mathrm {St} \,f ,

ahol az ütközési integrál , amely a közvetlen ütközések következtében a térfogatelembe belépő és a fordított ütközések miatt onnan csökkenő részecskék számának különbségét határozza meg. Egyatomos vagy többatomos molekulákhoz, de a belső szabadsági fokok figyelembevétele nélkül [3] ${\mathrm {st}}$

{\mathrm {St}}\,f=\int \omega \cdot (f'f'_{1}-ff_{1})\,dp_{1}dp'dp'_{1},

ahol a differenciális effektív szórási keresztmetszethez tartozó ütközési valószínűség . $\omega$

\omega \,dp'dp'_{1}=|v-v_{1}|\,d\sigma,

ahol , a molekulák ütközés előtti nyomatéka, , a sebességek, illetve , az ütközés utáni nyomatékok, , a molekulák ütközés előtti eloszlási függvényei, , az ütközés utáni eloszlásfüggvényeik. $p$ $p_{1}$ $v$ $v_{1}$ $p'$ $p'_{1}$ $f$ $f_1$ $f'$ $f'_{1}$

A belső szabadságfokokkal rendelkező összetett molekulákból álló gázok esetében ezeket figyelembe kell venni az eloszlási függvényben. Például az M belső nyomatékkal rendelkező kétatomos molekuláknál az eloszlási függvények is függenek a -tól . $M$

A Boltzmann-tétel a kinetikai egyenletből következik - a Boltzmann-függvény időbeli csökkenése (az eloszlási függvény átlagos logaritmusa) vagy az entrópia növekedése, mivel ez egyenlő az ellenkező előjelű Boltzmann-függvénnyel [4] . $H$ $H$

Szállítási egyenletek

A fizikai kinetika lehetővé teszi az átlagos anyagsűrűség, impulzus és energia egyensúlyegyenleteinek meghatározását. Például egy egyszerű gáz esetében a sűrűség , a hidrodinamikai sebesség és az átlagos energia kielégíti a [5] egyensúlyegyenleteket : $\rho$ ${\textbf {V}}$ ${\csupasz}}$

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\mathrm {div} (\rho {\textbf {V)))=0,

- kontinuitási egyenletként is ismert

{\frac {\partial }{\partial t))(\rho V_{\alpha })+\sum _{\beta }({\frac {\partial \Pi _({\alpha \beta ))}{ \partial x_{\beta }}}}=0,

{\frac {\partial }{\partial t}}n{\bar {E}}+\mathrm {div} ({\textbf {q}})=0,

\Pi _{{\alpha \beta }}=\int mV_{\alpha }V_{\beta }f\,dp,

ahol a lendületi fluxussűrűség tenzor, a részecske tömege, a részecskeszám sűrűsége és az energiafluxus sűrűsége. $\Pi _{{\alpha \beta }}$ $m$ $n$ ${\textbf {q}}=\int E{\textbf {V}}f\,dp$

Ha a gáz halmazállapota alig tér el az egyensúlyi állapottól, akkor kis térfogatú elemekben a lokális egyensúlyi Maxwell-eloszláshoz közeli eloszlás jön létre , ahol a hőmérséklet, a sűrűség és a hidrodinamikai sebesség megfelel a vizsgált gázpontnak. Ebben az esetben a nemegyensúlyi eloszlásfüggvény alig tér el a lokális egyensúlyi függvénytől, és a kinetikai egyenlet megoldása a hőmérsékleti és hidrodinamikai sebességgradiensekkel arányos kis korrekciót ad az utóbbira , mivel . $\nabla T$ $\nabla {\textbf {V}}$ ${\mathrm {St}}\,f_{0}=0$

A nem egyensúlyi eloszlási függvény segítségével megkereshető az energiafluxus (stacionárius folyadékban) , ahol a hővezető képesség és az impulzusáram-sűrűség tenzor [6] ${\textbf {q}}=-\lambda \nabla T$ $\lambda$

\Pi _{{\alpha \beta }}=\rho V_{\alpha }V_{\beta }+\delta _({\alpha \beta }}P-\sigma '_{{\alpha \beta }} ,

ahol

\sigma '_{\alpha \beta }=\eta \left[\left({\frac {\partial V_{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}+{\frac {\ részleges V_{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}\right)-{\frac {2}{3}}\delta _{\alpha \beta }\,\mathrm {div} \,{ \textbf {V}}\right]+\zeta \delta _{\alpha \beta }\mathrm {div} \,{\textbf {V}}

a viszkózus feszültség tenzor, a nyírási viszkozitási együttható és a nyomás. Ezt a két összefüggést a kontinuummechanika Fourier hővezetési és Newton viszkozitási törvényként ismeri . Az utolsó tag a belső szabadságfokú gázokra, ahol a "második", ömlesztett viszkozitás együtthatója , amely csak olyan mozgások során jelentkezik, amelyekben . A kinetikai együtthatók , , effektív ütközési keresztmetszetek kifejezéseit kapjuk, amelyeket viszont a molekuláris kölcsönhatási állandók alapján számítunk ki. Egy többkomponensű keverékben bármely komponens áramlása magában foglal egy diffúziós áramlást, amely arányos a keverékben lévő anyag koncentráció-gradiensével diffúziós együtthatóval, és egy hődiffúzióból származó áramlást ( Soret-effektus ), amely arányos a hőmérsékleti gradienssel termikus diffúzióval. együttható. A hőáram a szokásos, a hőmérsékleti gradienssel arányos hővezetőképesség miatti áramláson kívül tartalmaz egy további komponenst is, amely arányos a komponenskoncentráció gradienseivel, és a diffúziós hővezető képességet írja le ( Dufour-effektus ). A kinetikai elmélet ezekre a kinetikai együtthatókra ad kifejezéseket az effektív ütközési keresztmetszetek alapján, míg a keresztjelenségek kinetikai együtthatói az Onsager-tételnek köszönhetően egyenlőnek bizonyulnak. Ezek az összefüggések a rendszer részecskéi mozgásegyenleteinek mikroszkopikus reverzibilitásának, vagyis az időfordításhoz viszonyított invarianciájának a következményei. $\eta$ $P$ $\sigma '_{{\alpha \beta }}$ $\zeta$ $\mathrm {div} \,{\textbf {V}}\neq 0$ $\lambda$ $\eta$ $\zeta$

Az impulzus egyensúlyi egyenlet, figyelembe véve a sebességgradiensen keresztüli lendületi fluxussűrűség kifejezését, megadja a Navier-Stokes egyenleteket , az energiamérleg egyenlet a hőáram sűrűségének kifejezését figyelembe véve adja a hővezetési egyenletet , és egy bizonyos típusú részecskék számának egyensúlyi egyenlete, figyelembe véve a diffúziós fluxus kifejezését, a diffúziós egyenletet adja . Egy ilyen hidrodinamikai megközelítés akkor érvényes, ha az átlagos szabad út sokkal kisebb, mint az inhomogenitási régiók jellemző méretei. $\lambda$

Gázok és plazmák

A fizikai kinetika lehetővé teszi a ritkított gázok szállítási jelenségeinek tanulmányozását, amikor az átlagos szabad út aránya a probléma jellemző dimenzióihoz (vagyis a Knudsen-számhoz ) már nem túl kicsi, és érdemes figyelembe venni a sorrendi korrekciókat ( gyengén ritkított gázok) [7] . Ebben az esetben a kinetika megmagyarázza a hőmérsékletugrás jelenségeit és a gázok szilárd felületek közelében való áramlását [8] . $\lambda$ $L$ $\lambda /L$ $\lambda /L$

A nagymértékben ritkított gázok esetében, amikor a hidrodinamikai egyenletek és a szokásos hőegyenlet már nem alkalmazhatók, és az átviteli folyamatok tanulmányozásához szükséges a kinetikai egyenlet megoldása bizonyos peremfeltételekkel a gázt korlátozó felületeken. Ezeket a feltételeket a falakkal való kölcsönhatás miatt szétszórt molekulák eloszlási függvényében fejezzük ki. A szórt részecskék áramlása termikus egyensúlyba kerülhet a fallal, de valós esetekben ez nem valósul meg. A nagymértékben ritkított gázok esetében a hővezetési tényező szerepét a hőátbocsátási együtthatók játsszák [9] . Például a párhuzamos lemezek egységnyi területére jutó hőmennyiség, amelyek között ritkított gáz van, egyenlő , ahol és a lemezek hőmérséklete, a köztük lévő távolság a hőátbocsátási tényező. $\lambda /L\gg 1$ $K$ $Q=\varkappa (T_{2}-T_{1})/L$ $T_{1}$ $T_{2}$ $L$ $\varkappa$

A sűrű gázok és folyadékok szállítási jelenségeinek elmélete jóval bonyolultabb, mivel az egyrészecske-eloszlási függvény már nem elegendő a nem egyensúlyi állapot leírásához, hanem magasabb rendű eloszlási függvényekkel kell számolni. A parciális eloszlásfüggvények összefonódó egyenletek láncát (az úgynevezett Bogolyubov-egyenleteket vagy a BBGKY-láncot , azaz a Bogolyubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon egyenleteket) teljesítik. Ezekkel az egyenletekkel finomíthatjuk a közepes sűrűségű gázok kinetikai egyenletét, és vizsgálhatjuk a szállítási jelenségeket.

A kétkomponensű plazma fizikai kinetikáját két eloszlásfüggvény írja le (elektronokra , ionokra ), amelyek kielégítik egy két kinetikai egyenletrendszert ( a Vlasov-egyenleteket ). A plazmarészecskékre ható erők $f_{e}$ $f_{i}$

F_{e}=-e\left(E+{\frac {v\times B}{c}}\right),\quad F_{i}=-Z_{e}F_{e},

ahol az ion töltése, az elektromos térerősség, a mágneses indukció, kielégítve a Maxwell-egyenleteket. A Maxwell-egyenletek tartalmazzák az eloszlási függvényekkel meghatározott átlagos áram- és töltéssűrűségeket [10] : $Z_{e}$ $E$ $B$ $j$ $\rho$

{\textbf {j}}=e\int {\textbf {v}}(Zf_{i}-f_{e})\,d{\textbf {p}},\quad p=e\int (Zf_{i}-f_{e})\,d{\textbf {p}}.

Így a kinetikai egyenletek és a Maxwell-egyenletek Vlasov-Maxwell egyenlet összekapcsolt rendszerét alkotják , amely meghatározza a plazma összes nem egyensúlyi jelenségét. Ezt a megközelítést önkonzisztens térközelítésnek nevezik. Ebben az esetben az elektronok közötti ütközéseket nem kifejezetten, hanem csak az általuk létrehozott önkonzisztens mezőn keresztül veszik figyelembe. Az elektronütközéseket figyelembe véve egy kinetikai egyenlet keletkezik, amelyben az effektív ütközési keresztmetszet az ütközési távolság növekedésével nagyon lassan csökken, és a kis impulzusátvitellel járó ütközések jelentőssé válnak, és logaritmikus divergencia jelenik meg az ütközési integrálban. A szűrési hatások számbavétele elkerüli ezt a nehézséget.

Sűrített adathordozó

A dielektrikumokban a nem egyensúlyi folyamatok fizikai kinetikája a Boltzmann-féle kinetikai egyenlet rácsfononokra vonatkozó megoldásán alapul [11] . A fononok közötti kölcsönhatást a Hamilton-rács anharmonikus tagjai okozzák az atomok egyensúlyi helyzetből való elmozdulására vonatkozóan. A legegyszerűbb ütközések során egy fonon ketté válik, vagy két fonon eggyé olvad, és kvázi -momentumaik összege vagy megmarad (normál ütközési folyamatok), vagy reciprok rácsvektorrá változik ( umklapp folyamatok ). A végső hővezető képesség az Umklapp folyamatok figyelembevételével jön létre. Alacsony hőmérsékleten, amikor az átlagos szabad út nagyobb, mint a minta méretei, az átlagos szabad út szerepét a . A fononok kinetikai egyenlete lehetővé teszi a hővezető képesség [12] és a hangelnyelés vizsgálatát dielektrikumban [13] . Ha a normál folyamatok szabad útja sokkal kisebb, mint az umklapp folyamatok szabad útja, akkor a kristályban alacsony hőmérsékleten a fononok rendszere hasonló egy közönséges gázhoz. A normál ütközések belső egyensúlyt hoznak létre a gáz térfogatának minden elemében, amely olyan sebességgel tud mozogni, amely alig változik a normál ütközések átlagos szabad útvonalán. Ezért lehetséges egy dielektrikumban lévő fonongáz hidrodinamikai egyenletei [14] . $L$ $L$ $V$

A fémek fizikai kinetikája a kristályrács rezgéseivel kölcsönhatásba lépő elektronok kinetikai egyenletének megoldásán alapul. Az elektronokat a rácsatomok rezgései [15] , a periodicitását megsértő szennyeződések és hibák szórják szét, és mind a normál ütközések, mind az umklapp folyamatok lehetségesek [16] . Az elektromos ellenállás ezekből az ütközésekből származik. A fizikai kinetika megmagyarázza a termoelektromos, galvanomágneses és termomágneses jelenségeket [17] , az anomális bőrhatást [18] , a ciklotron rezonanciát nagyfrekvenciás mezőkben és más kinetikai hatásokat fémekben . A szupravezetők esetében ez magyarázza a nagyfrekvenciás viselkedésük jellemzőit.

A mágneses jelenségek fizikai kinetikája a magnonok kinetikai egyenletének megoldásán alapul . Lehetővé teszi a mágneses rendszerek dinamikus szuszceptibilitásának kiszámítását váltakozó terekben, a mágnesezési folyamatok kinetikájának tanulmányozását.

A jelenségek fizikai kinetikája a gyors részecskék anyagon való áthaladása során a gyors részecskék és az ütközésekből származó másodlagos részecskék kinetikai egyenletrendszerének megoldásán alapul, például a -sugarak ( fotonok ) esetében, figyelembe véve a különböző folyamatokat. a közeg ( fotoelektromos hatás , Compton-szórás , párképzés). Ebben az esetben a kinetika lehetővé teszi a gyors részecskék abszorpciós és szórási együtthatóinak kiszámítását. $\gamma$

Fázisátmenetek

Az első típusú fázisátmenetek fizikai kinetikája, vagyis az entrópia megugrása egy új fázis magjainak kialakulásához és növekedéséhez kapcsolódik. A magok méret szerinti eloszlási függvénye (ha a magokat makroszkopikus képződménynek tekintjük és a növekedési folyamat lassú) kielégíti a Fokker–Planck egyenletet [19] :

{\frac {\partial f}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left(D{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}-Af \jobb),

ahol az atommag sugara, a „magok diffúziós együtthatója méret szerint”, arányos azzal a minimális munkával, amelyet egy adott méretű mag létrehozásához kell fordítani. A második típusú fázisátalakulások kinetikája a legegyszerűbb közelítésben a sorrendi paraméter relaxációs egyenletén alapul , amely a fázisátalakulás során fellépő rend mértékét jellemzi ( Landau-Khalatnikov egyenlet ) [20] : $\alpha$ $D$ $A$ $\eta$

{\frac {\partial \eta }{\partial t))=-\gamma {\frac {\partial \Omega }{\partial \eta )),

ahol egy állandó együttható, a termodinamikai potenciál változókban és , attól függően, hogy a fázisátmeneti pont közelében van . Ez a függőség kibővül és hatványaival , ahol a fázisátalakulási hőmérséklet. $\gamma$ $\Omega$ $T$ $\eta$ $\eta$ $\eta$ $T-T_{c}$ $T_{c}$

Szállítási jelenségek folyadékokban

A folyadékok szállítási jelenségeinek elmélete is a fizikai kinetikának tulajdonítható. A kinetikai egyenlet módszere ugyan alkalmatlan folyadékokra, de egy általánosabb, a relaxációs idők hierarchiáján alapuló megközelítés lehetséges számukra. Egy folyadék esetében a makroszkopikusan kis (de még mindig nagy számú molekulát tartalmazó) elemi térfogatokban az egyensúlyi állapot létrejöttének ideje sokkal rövidebb, mint a teljes rendszer relaxációs ideje, aminek következtében a statisztikai egyensúly megközelítőleg kialakul kis térfogatú elemekben. . Ezért a Liouville-egyenlet megoldásának kezdeti közelítéseként felvehetjük a lokális egyensúlyi Gibbs-eloszlást hőmérséklettel , kémiai potenciállal és hidrodinamikai sebességgel , amely megfelel a folyadék vizsgált pontjának. Például egy egykomponensű folyadék esetén a lokális egyensúlyi eloszlási függvény (vagy sűrűségmátrix ) a következő alakú: $T(x,\;t)$ $\mu (x,\;t)$ $V(x,\;t)$

f={\frac {1}{Z}}\exp \left(-\int \beta (x,\;t)[{\tilde {H}}(x)-\mu (x,\ ;t)n(x)]\,dx\jobbra),

ahol

$\beta (x,\;t)={\frac {1}{kT(x,\;t))),$
${\tilde {H}}(x)=H(x)-p(x)V(x,\;t)+{\frac {1}{2}}mn(x)V^{2 }(x,\;t)$ a folyékony elemmel együtt mozgó koordinátarendszerben az energiasűrűség,
$H(x)$ az energiasűrűség a rögzített koordináta-rendszerben,
$p(x)$ az impulzussűrűség,
$n(x)$ a részecskék számának sűrűsége, amelyet fázisfüggvénynek tekintünk, azaz az összes részecske koordinátáinak és momentumainak függvényei, például . $n(x)=\összeg _{j}^{N}\delta (x-x_{j})$

A Liouville-egyenlet közelítő megoldása a statisztikai egyensúlyhoz közeli állapotokra lehetővé teszi a hővezetési és a Navier-Stokes-egyenlet levezetését egy folyadékra, és mikroszkopikus kifejezéseket kapunk a hővezetési és viszkozitási kinetikai együtthatókra az energia tér-időbeli korrelációs függvényében. a rendszer összes részecskéjének fluxusa és impulzussűrűsége. Ugyanez a megközelítés lehetséges folyadékok keverékénél is. A Liouville-egyenlet hasonló megoldása a sajátos megoldása, amely csak a , , paramétereken keresztül függ az időtől , ami megfelel a rendszer nem egyensúlyi állapotának lerövidített hidrodinamikai leírásának, amely akkor érvényes, ha az összes hidrodinamikai paraméter alig változik a rendszer távolságaiban. az átlagos szabad út sorrendje (gázok esetén) vagy az energiaáram korrelációi vagy impulzus hossza (folyadékok esetén). $\béta (x,\;t)$ $\mu (x,\;t)$ $V(x,\;t)$

A fizikai kinetika problémái közé tartozik az általánosított szuszceptibilitás számítása is, amely egy fizikai rendszer lineáris reakcióját fejezi ki egy külső mező bevonására. A zöld függvényekkel fejezhető ki az állapot feletti átlagolással, amely lehet nem egyensúlyi állapot is.

A fizikai kinetikában a kvantumrendszerek kinetikai tulajdonságait is vizsgálják, amihez a sűrűségmátrix módszer alkalmazása szükséges.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Lifshits, Pitajevszkij, 1979 , p. 24.
↑ Lifshits, Pitajevszkij, 1979 , p. 22.
↑ Lifshits, Pitajevszkij, 1979 , p. 23.
↑ Lifshits, Pitajevszkij, 1979 , p. 26.
↑ Lifshits, Pitajevszkij, 1979 , p. 29.
↑ Lifshits, Pitajevszkij, 1979 , p. 40.
↑ Lifshits, Pitajevszkij, 1979 , p. 67.
↑ Lifshits, Pitajevszkij, 1979 , p. 71.
↑ Lifshits, Pitajevszkij, 1979 , p. 83.
↑ Lifshits, Pitajevszkij, 1979 , p. 148.
↑ Lifshits, Pitajevszkij, 1979 , p. 342.
↑ Lifshits, Pitajevszkij, 1979 , p. 351-362.
↑ Lifshits, Pitajevszkij, 1979 , p. 366-376.
↑ Lifshits, Pitajevszkij, 1979 , p. 362-366.
↑ Lifshits, Pitajevszkij, 1979 , p. 398-403.
↑ Lifshits, Pitajevszkij, 1979 , p. 408.
↑ Lifshits, Pitajevszkij, 1979 , p. 412-419, 426-436.
↑ Lifshits, Pitajevszkij, 1979 , p. 436.
↑ Lifshits, Pitajevszkij, 1979 , p. 505.
↑ Lifshits, Pitajevszkij, 1979 , p. 517.

Irodalom

Balescu R. Egyensúlyi és nem egyensúlyi statisztikai mechanika. 2 kötetben. - M . : Mir, 1978. 1.,2. kötet.
Bogolyubov NN A dinamikaelmélet problémái a statisztikus fizikában. - M . : Gostekhizdat Kiadó, 1946.; újra megjelent Nyikolaj Nyikolajevics Bogolyubov. Tudományos közlemények gyűjteménye 12 kötetben. - M. : Nauka, 2006. - V. 5: Nem egyensúlyi statisztikai mechanika, 1939-1980. — ISBN 5020341428 .
Bogolyubov NN Válogatott statisztikai fizika művek . - M . : Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1979.
Boltzmann L. Előadások a gázok elméletéről . - M. : GITTL, 1953. - 552 p.
Vlasov AA nem helyi statisztikai mechanika . - M .: Nauka, 1978.
Bevezetés a fizikai kinetikába: Proc. juttatás / V. N. Gorelkin , V. P. Mineev ; - M. : MIPT, 1989. - 96 p. : ill.; 20 cm
A fizikai kinetika kiválasztott fejezetei: Proc. juttatás / V. N. Gorelkin, V. P. Mineev ; - M. : MIPT, 1990. - 81, [2] p. : ill.; 20 cm; ISBN 5-230-10784-7 : 50 k.
S. de Groot, W. van Leeuwen, H. Van Wert. Relativisztikus kinetikai elmélet. — M .: Mir, 1983. — 424 p.
Gurov K. P. A kinetikai elmélet alapjai ( N. N. Bogolyubov módszere ). — M .: Nauka, 1966. — 352 p.
Klimontovich Yu. L. A nem ideális gáz és a nem ideális plazma kinetikai elmélete. - M .: Nauka, 1975.
Libov R. Bevezetés a kinetikai egyenletek elméletébe . - M .: Mir, 1974.
Lifshits E. M., Pitaevsky L. P. Fizikai kinetika . - M. : Nauka, 1979. - 528 p.
Rezibois P., De Lehner M. Folyadékok és gázok klasszikus kinetikai elmélete. — M .: Mir, 1980. — 424 p.
Shelest AV Bogolyubov módszere a kinetikai egyenletek dinamikai elméletében. - M. : Nauka, 1990. - 159 p. — ISBN 5020140309 .
Ecker G. A teljesen ionizált plazma elmélete . - M .: Mir, 1974.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy norvég Nagy orosz Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	NKC : ph135385

Statisztikai fizika szakaszai
Statisztikai mechanika kvantumstatisztika Molekuláris fizika Fizikai kinetika Statisztikai térelmélet
Kondenzált anyag fizika	Szilárdtestfizika Folyadékok fizikája Az atomok és molekulák fizikája Nanostruktúrák fizikája