Kinetikus Boltzmann egyenlet

A Boltzmann-egyenlet ( kinetikus Boltzmann-egyenlet ) egy Ludwig Boltzmann -ról elnevezett egyenlet , aki először foglalkozott vele, és a részecskék statisztikai eloszlását írja le gázban vagy folyadékban . Ez a fizikai kinetika egyik legfontosabb egyenlete ( a statisztikai fizika olyan területe , amely olyan rendszereket ír le, amelyek távol vannak a termodinamikai egyensúlytól, például hőmérsékleti gradiensek és elektromos tér jelenlétében ). A Boltzmann-egyenlet a folyadékokban és gázokban a hő és az elektromos töltés transzportjának tanulmányozására szolgál, és ebből származtatják az olyan szállítási tulajdonságokat, mint az elektromos vezetőképesség , a Hall-effektus , a viszkozitás és a hővezetőképesség . Az egyenlet ritka rendszerekre alkalmazható, ahol a részecskék közötti kölcsönhatási idő rövid ( molekuláris káosz hipotézis ).

Megfogalmazás

A Boltzmann-egyenlet leírja az eloszlásfüggvény időbeli alakulását egy részecske fázistérben , ahol , és a koordináta , impulzus és idő . Az eloszlást úgy határozzuk meg $f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)$ $\mathbf {x}$ ${\mathbf {p}}$ $t$

f({\mathbf {x}},{\mathbf {p}},t)\,d^{3}x\,d^{3}p

arányos a fázistérben lévő részecskék időbeli számával . Boltzmann egyenlet $d^{3}x\,d^{3}p$ $t$

{\frac {\partial f}{\partial t))+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} ))\cdot {\frac {\mathbf {p} }{m ))+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot \mathbf {F} =\left.{\frac {\partial f}{\partial t))\right|_ {\mathrm {coll} }.

Itt látható a folyadékban vagy gázban lévő részecskékre ható erők mezője, és a részecskék tömege. Az egyenlet jobb oldalán található kifejezés hozzáadódik a részecskék közötti ütközések figyelembevételéhez, és ütközési integrálnak nevezik . Ha nulla, akkor a részecskék egyáltalán nem ütköznek. Ezt az esetet gyakran egyrészecskés Liouville-egyenletnek nevezik . Ha az erőteret az eloszlásfüggvénytől függően megfelelő önkonzisztens mezővel helyettesítjük , akkor megkapjuk a töltött plazmarészecskék dinamikáját egy önkonzisztens térben leíró Vlasov-egyenletet . A klasszikus Boltzmann-egyenletet a plazmafizikában , valamint a félvezető- és fémfizikában használják (kinetikai jelenségek, azaz töltés vagy hőátadás leírására elektronfolyadékban ). $\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)$ $m$ $\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)$ $f$

A hamiltoni mechanikában a Boltzmann-egyenletet gyakran általánosabb formában írják le

{\hat {{\mathbf {L}}}}[f]={\mathbf {C}}[f]

ahol a fázistér térfogatának alakulását leíró Liouville operátor és az ütközési operátor. Az operátor nem relativisztikus formája a következő $\mathbf{L}$ ${\mathbf {C}}$ $\mathbf{L}$

{\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {NR} }={\frac {\partial }{\partial t))+{\frac {\mathbf {p} }{m} }\cdot \nabla _{\mathbf {x} }+\mathbf {F} \cdot \nabla _{\mathbf {p} },

és az általános relativitáselméletben

{\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {GR} }=\sum _{\alpha }p^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\ alfa ))}-\sum _{\alpha \beta \gamma }\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }p^{\beta }p^{\gamma }{\frac {\partial }{ \partial p^{\alpha }}},

hol van a Christoffel-szimbólum . $\Gamma$

Ütközésintegrál

A részecskék közötti ütközések sebességük megváltozásához vezetnek. Ha megadja a részecskeszórás valószínűségét egy sebességű állapotból egy sebességű állapotba , akkor a klasszikus részecskék ütközési integrálját a következőképpen írjuk fel $W({\mathbf {v)),{\mathbf {v))^{\prime })d^{3}v^{\prime }dt$ ${\mathbf {v))$ ${\mathbf {v}}^{\prime }$

\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{{coll}}=\int _{({\mathbf {v}}^{\prime }}}[f(t) ,{\mathbf {r)),{\mathbf {v}}^{\prime })W({\mathbf {v}}^{\prime },{\mathbf {v}})-f(t, {\mathbf {r)),{\mathbf {v}})W({\mathbf {v}},{\mathbf {v}}^{\prime })]d^{3}v^{\prím }

A részecskestatisztika kvantumjellegénél ezt a kifejezést bonyolítja, hogy két részecske nem lehet azonos kvantumszámú állapotban, ezért figyelembe kell venni a foglalt állapotokba való szóródás lehetetlenségét.

Relaxációs idő közelítése

A Boltzmann-egyenlet egy komplex integro-differenciális parciális differenciálegyenlet . Ezenkívül az ütközési integrál függ az adott rendszertől, a részecskék közötti kölcsönhatás típusától és egyéb tényezőktől. A nem egyensúlyi folyamatok közös jellemzőit megtalálni nem könnyű feladat. Ismeretes azonban, hogy termodinamikai egyensúlyi állapotban az ütközési integrál nullával egyenlő. Valójában egyensúlyi állapotban egy homogén rendszerben külső mezők hiányában a Boltzmann-egyenlet bal oldalán lévő összes derivált nullával egyenlő, tehát az ütközési integrálnak is nullának kell lennie. Az egyensúlyi helyzettől való kis eltérések esetén az eloszlásfüggvény a következőképpen ábrázolható

{\displaystyle f=f_{0}+f_{1))

ahol a termodinamikából ismert, csak a részecskesebességtől függő egyensúlyi eloszlási függvény, amely kis eltérést jelent. $f_{0}({\mathbf {v}})$ $f_{1}$

Ebben az esetben a Taylor-sor ütközési integrálját kibonthatjuk a függvényre vonatkozóan , és a következő formában írhatjuk fel: $f_{1}$

\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{\mathrm {coll} }=-{\frac {f_{1}}{\tau }}=-{ \frac {f-f_{0}}{\tau }}

hol van a lazítási idő . Az ilyen közelítést relaxációs idő közelítésnek vagy Bhatnagar-Gross-Krook ütközési integrál modellnek nevezzük . A Boltzmann-egyenletben szereplő relaxációs idő a részecskesebességtől és ennek következtében az energiától függ. A relaxációs idő egy adott rendszerre számolható, meghatározott részecskeszórási folyamatokkal. $\tau$

A Boltzmann-egyenlet a relaxációs idő közelítésében így van felírva

{\frac {\partial f}{\partial t))+{\mathbf {v))\cdot \nabla f+{\frac ({\mathbf {F))}{m))\cdot \nabla _{{ {\mathbf {v}}}}f=-{\frac {f-f_{0}}{\tau }}

A Boltzmann-egyenlet levezetése

A Boltzmann-egyenlet mikroszkópos levezetését az első elvekből (a közeg összes részecskéjére vonatkozó pontos Liouville-egyenlet alapján) úgy hajtjuk végre, hogy a Bogolyubov-egyenletek láncát a klasszikus [1] és a kvantum [2 ] párkorrelációs függvényének szintjén fejezzük be. ] rendszerek. A magasabb rendű korrelációs függvények kinetikai egyenletek láncában való elszámolás lehetővé teszi a Boltzmann-egyenlet [3] korrekcióinak megtalálását .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Bogolyubov N. N. Kinetic Equations (neopr.) // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1946. - T. 16 (8) . - S. 691-702 .
↑ Bogolyubov N. N. , Gurov K. P. Kinetikai egyenletek a kvantummechanikában (neopr.) // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1947. - T. 17 (7) . - S. 614-628 .
↑ Shelest A. V. Bogolyubov módszere a kinetikai egyenletek dinamikus elméletében. — M.: Nauka, 1990. 159 p. ISBN 5-02-014030-9 .

Linkek

5 könyv Boltzmannról és az egyenletéről Archiválva : 2013. február 24., a Wayback Machine -nél

Irodalom

Cherchinyani K. A Boltzmann-egyenlet elmélete és alkalmazásai. — M .: Mir, 1978. — 495 p.
szerk. Liebovitz JL, Montroll EW Nem egyensúlyi jelenségek: a Boltzmann-egyenlet. — M .: Mir, 1986. — 272 p.
Carleman T. A gázok kinetikai elméletének matematikai problémái. - M. : IL, 1960. - 120 p.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán nagy kínai Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	NKC : ph548971