Sekély víz egyenletek

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. december 26-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

A sekély vízi egyenletek (más néven Saint-Venant-egyenleteklineáris formában) hiperbolikus parciális differenciálegyenlet -rendszer, amely a folyadék felszíne alatti áramlásokat írja le.

Az egyenleteket [1] a Navier-Stokes egyenletek mélység feletti integrálásával kapjuk , feltéve, hogy a vízszintes skála sokkal nagyobb, mint a függőleges. E feltétel mellett a folytonosság törvényéből az következik, hogy a folyadékban a függőleges sebességek kicsik, a függőleges nyomásgradiensek nullához közelítenek, a vízszintes gradienseket pedig a folyadék felületének egyenetlensége okozza, a vízszintes sebességek pedig a ugyanaz az egész mélységben. A függőleges mentén integrálva a függőleges sebességek elhagyják az egyenleteket.

Bár a függőleges sebességek hiányoznak a sekélyvízi egyenletekből, nem nullák. Amikor a vízszintes sebességeket megkapjuk, a függőleges sebességeket a folytonossági egyenletből származtatjuk.

Elég gyakoriak az olyan helyzetek, amikor a vízterület mélysége jóval kisebb, mint a vízszintes méretek, ezért széles körben alkalmazzák a sekélyvízi egyenleteket. Ezeket a Coriolis-erők figyelembevételével használják a légkör és az óceán modellezésében a légköri áramlásokat leíró primitív egyenletrendszer egyszerűsítéseként.

A sekélyvízi egyenletek csak egy függőleges szintet vesznek figyelembe, így nem írhatnak le olyan tényezőket, amelyek a mélység függvényében változnak. Ha azonban a függőleges irányú áramlások dinamikája viszonylag egyszerű, a függőleges változások elválaszthatók a vízszintesektől, és egy ilyen rendszer állapota több sekély vízre vonatkozó egyenletrendszerrel írható le.

Egyenletek

Konzervatív forma

A sekélyvízi egyenletek a tömeg- és impulzusmegmaradási egyenletekből származnak ( Navier-Stokes egyenletek ), amelyek általános esetre érvényesek, beleértve azokat a helyzeteket is, amikor a sekély víz feltételei nem teljesülnek. A Coriolis-erők , a súrlódás és a viszkozitás figyelembevétele nélkül az egyenletek a következőképpen alakulnak:

{\begin{aligned}{\frac {\partial \eta }{\partial t))+{\frac {\partial (\eta u)}{\partial x))+{\frac {\partial (\eta v)}{\partial y))&=0\\[3pt]{\frac {\partial (\eta u)}{\partial t))+{\frac {\partial }{\partial x }}\left(\eta u^{2}+{\frac {1}{2}}g\eta ^{2}\right)+{\frac {\partial (\eta uv)}{\partial y }}&=0\\[3pt]{\frac {\partial (\eta v)}{\partial t}}+{\frac {\partial (\eta uv)}{\partial x}}+{\ frac {\partial }{\partial y}}\left(\eta v^{2}+{\frac {1}{2}}g\eta ^{2}\right)&=0.\end{igazított }}

Nem konzervatív forma

Egyenletek írhatók fel a sebességekre. Mivel a sebességek nem részei az alapvető természetvédelmi törvényeknek, ezek az egyenletek nem írnak le olyan jelenségeket, mint a vízi kalapács vagy a hidraulikus ugrás .

{\begin{aligned}{\frac {Du}{Dt}}-fv&=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}-bu,\\[3pt]{\frac {Dv}{Dt))+fu&=-g{\frac {\partial \eta }{\partial y))-bv,\\[3pt]{\frac {\partial \eta }{\partial t)) &=-{\frac {\partial }{\partial x)){\Bigl (}u\left(H+\eta \right){\Bigr )}-{\frac {\partial }{\partial y)) {\Bigl (}v\left(H+\eta \right){\Bigr )},\end{igazított))

ahol

$u$	a sebesség az x tengely mentén ;
$v$	a sebesség az y tengely mentén ;
$H$	a folyadék felszínének átlagos magassága;
$\eta$	— a nyomás eltérése a vízszintes síkban az átlagértéktől;
$g$	- a gravitáció gyorsulása;
$f$	a Coriolis paraméter megegyezik a Földön $2\Omega \sin \varphi ;$
$\Omega$	a Föld tengelye körüli forgásának szögsebessége ( radián / óra); $\pi /12$
$\varphi$	- földrajzi szélesség;
$b$	a viszkózus ellenállás együtthatója.

Szimulációs alkalmazások

Sekély víz egyenletek alkalmazhatók Rossby és Kelvin hullámok szimulálásáraa légkörben, folyókban, tavakban, óceánokban és kisebb víztestekben, például medencékben. A sekélyvízi egyenletek helyes alkalmazása érdekében a vízterület vízszintes méreteinek lényegesen nagyobbnak kell lenniük a mélységnél. A sekély vízi egyenletek alkalmasak árapály modellezésére is. A több száz kilométeres vízszintes léptékű árapálymozgás sekély vízi jelenségnek tekinthető, még akkor is, ha több kilométeres óceánmélységben fordul elő.

Lásd még

Wolzinger módszer

Jegyzetek

↑ David A. Randall. The Shallow Water Equations (angol) (nem elérhető link) (2006. július 6.). Letöltve: 2011. december 17. Az eredetiből archiválva : 2012. szeptember 6..

Irodalom

Temam R. Navier-Stokes egyenletek. Elmélet és numerikus elemzés. - 2. kiadás — M .: Mir, 1981. — 408 p.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Hydrodynamics. - 4. kiadás, sztereotip. — M .: Nauka , 1988. — 736 p. - (" Elméleti fizika ", VI. kötet).
Kutepov A. M., Sterman L. S., Styushin N. G. Hidrodinamika és hőátadás a párologtatás során. - 3. kiadás, Rev. - M . : Felsőiskola, 1986. - 448 p.
Kutepov A. M., Polyanin A. D., Zapryanov Z. D., Vyazmin A. V., Kazenin D. A. Kémiai hidrodinamika. - M. : Quantum, 1996. - 336 p. - 1500 példány.

Bulatov O. V., Elizarova T. G. Szabályozott sekélyvízi egyenletek és hatékony módszer a sekély víztestek áramlatainak numerikus szimulálására // Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2011. - T. 51 , 1. sz . – S. 170–184 .

Elizarova T. G., Zlotnik A. A., Nikitina O. V. Egydimenziós sekély vízáramlások modellezése szabályos egyenletek alapján . M. V. Keldysh. 2011. No. 33. 36 p.

ZI Fedotova, GS Khakimzyanov Sekélyvíz-egyenletek hierarchiája: származtatás, tanulmányozás, számítási algoritmusok . Nemzetközi Konferencia "Matematikai és információs technológiák, MIT-2011".

AS Petrosyan A szabad határú nehéz folyadék hidrodinamikájának további fejezetei . IKI RAN, M., 2010, 128 p.

Linkek

Navier, Poisson, Saint-Venant, Stokes eredeti művei, amelyek egy viszkózus folyadék mozgásegyenleteinek levezetésére irányulnak
https://web.archive.org/web/20120216051853/http://physics.nmt.edu/~raymond/classes/ph332/notes/shallowgov/shallowgov.pdf - sekély vízi egyenletek levezetése általános elvekből (ahelyett, hogy a Navier-Stokes egyenletek egyszerűsítése), néhány elemző megoldás.

Matematikai fizika

Az egyenletek típusai

Egyenletek típusai

Peremfeltételek

A matematikai fizika egyenletei

Diffúzió és konvekció	Hőegyenlet Diffúziós egyenlet Mason-Weaver egyenlet
Hidrodinamika	Átviteli egyenlet Navier-Stokes egyenletek Euler egyenlet Gromeka-Lamb egyenlet Vortex egyenlet Burger egyenlet Sekély víz egyenletek Korteweg-de Vries egyenlet
Elektromágnesesség	Maxwell-egyenletek Helmholtz egyenlet Landau-Lifshitz egyenlet Szűrt Poisson-egyenlet
Kvantummechanika	Schrödinger egyenlet Heisenberg egyenlet Rarita-Schwinger egyenlet Hartree egyenlet Dirac egyenlet Klein-Gordon egyenlet
Általános modellek	Folytonossági egyenlet hullámegyenlet Fokker-Planck egyenlet Poisson egyenlet

Megoldási módszerek

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek

Egyenletek tanulmányozása

Kapcsolódó témák