Viszkozitási oldat

A viszkózus oldat egy parciális differenciálegyenlet egy bizonyos típusú gyenge megoldása , vagy inkább egy degenerált elliptikus egyenlet.

Definíciók

Degenerált elliptikus egyenlet

Részleges differenciálegyenlet

F(x,u,Du,D^{2}u)=0

tartományban megadott , degenerált elliptikus , ha bármely két szimmetrikus mátrixra , és úgy, hogy különbségük pozitív határozott , és bármely értéke , és az egyenlőtlenség $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ $x$ $Y$ $YX$ $x\in \Omega$ $u\in \mathbb {R}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n))$

F(x,u,p,X)\geqslant F(x,u,p,Y).

Példák

Laplace-egyenlet $-\Delta u=0$ .
Bármely elsőrendű egyenlet .

Viszkózus oldat

A -ban definiált felső félfolytonos függvényt az egyenlet viszkozitási részmegoldásának nevezzük , ha bármely pontra és bármely sima függvényre , például valamelyik szomszédságára , a következő egyenlőtlenség teljesül: $u$ $\Omega$ $x_{0}\in \Omega$ $\phi$ $\phi (x_{0})=u(x_{0})$ $\phi \geqslant u$ $x_{0}$

F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\leqslant 0.

Hasonlóképpen , a -ban meghatározott alacsonyabb félfolyamatos függvényt az egyenlet viszkozitási megoldásának nevezzük , ha bármely pontra és bármely olyan sima függvényre , ahol és valamelyik szomszédságban a következő egyenlőtlenség teljesül : $u$ $\Omega$ $x_{0}\in \Omega$ $\phi$ $\phi (x_{0})=u(x_{0})$ $\phi \leqslant u$ $x_{0}$

F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\geqslant 0.

A folytonos függvény egy degenerált elliptikus egyenlet viszkozitási megoldása, ha rész- és túloldás is egyben. $u$

Történelem

A kifejezés először Crandall és Lyons munkájában jelenik meg 1983-ban [1] a Hamilton-Jacobi egyenlet megoldására . A meghatározást valójában Evans adta meg 1980-ban. [2] A meghatározás mindhármuk közös munkájában finomodott. [3]

Linkek

↑ Crandall, Michael G. és Lions, Pierre-Louis (1983), Hamilton-Jacobi egyenletek viszkozitási megoldásai , Transactions of the American Mathematical Society , 277 (1): 1–42, ISSN 0002-9947 , DOI 10/31293937.
↑ Evans, Lawrence C. (1980), Bizonyos nemlineáris parciális differenciálegyenletek megoldásáról akkretív operátori módszerekkel , Israel Journal of Mathematics T. 36 (3): 225–247, ISSN 0021-2172 , DOI 10.1007/BF4722
↑ Crandall, Michael G.; Evans, Lawrence C. és Lions, Pierre-Louis (1984), A Hamilton-Jacobi egyenletek viszkozitási megoldásainak néhány tulajdonságai , Transactions of the American Mathematical Society , 282. kötet (2): 487–502, ISSN 0002-9947 , DOI 223071. /1999247

Irodalom

T. A. Belkina, Yu. M. Kabanov. Integro-differenciálegyenletek viszkozitási megoldásai a tönkremenetel valószínűségére // TVP. - 2015. - T. 60 , 4. sz . — S. 802–810 . doi : 10.4213 / tvp5036 . (Orosz)