Cauchy-Kovalevskaya tétel

A Cauchy-Kovalevskaya tétel a Cauchy-probléma lokális megoldásának létezéséről és egyediségéről szóló tétel egy parciális differenciálegyenletre . A Kovalevszkaja-tétel a parciális differenciálegyenletek elméletének egyik fő és leggyakrabban használt tétele: Holmgren tétele a Cauchy-feladat megoldásának egyediségéről, létezési tételek a Cauchy-feladat megoldására hiperbolikus egyenletekre, lineáris egyenletek megoldhatósága használja a Kovalevszkaja-tételt.

Megfogalmazás

Nézzük a teret . A tér egy pontját -val , a -hoz tartozó pontot pedig -vel jelöljük . Jelölje a parciális differenciálás operátorát $\mathbb {R} ^{n+1}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ $(x,t)=(x_{{1}},...,x_{{n}},t)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $x=(x_{{1}},...,x_{{n}})$

L\equiv \left({\frac {d}{dt}}\right)^{m}+\sum _{|\nu |+j\leqslant m,j\leqslant m-1}a_{ \nu ,j}(x,t)\left({\frac {d}{dx}}\right)^{\nu }\left({\frac {d}{dt}}\jobb)^{j }.

Tegyük fel, hogy az operátor együtthatói a változók terében az origó szomszédságában vannak definiálva, és analitikus függvények . Legyen a függvény analitikus is -ben . Legyen a kiindulási adatok vektora analitikus az origó valamelyik szomszédságában , azaz a térben. Aztán ott van az origó szomszédsága és egy egyedi analitikus függvény , amelyhez definiált $L$ $U$ $(x,t)$ $f$ $U$ $\psi$ $x$ $W$ $u(x, t)$ $W$

Lu=f,(x,t){\mathcal {2}}W,\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}u(x,0)=u_{ j}(x),x{\mathcal {2}}W\cap {\mathcal {f}}t=0{\mathcal {g}}\qquad (j=0,1,2,...,m -1).\qquad(1)

Bizonyítás

Tegyük fel

{\tilde {u}}(x,t)=u(x,t)-\sum _{j=0}^{m-1}{\frac {t^{j}}{j! }}u_{j}(x).

Aztán abból következik $(egy)$

L[{\tilde {u}}]=f-\sum _{j=0}^{m-1}L\left[{\frac {t^{j}}{j!)}} u_ {j}(x)\jobbra].

Ezért az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy a kezdeti adatok nullával egyenlőek. Írjuk át a formába $u(x, t)$ $(egy)$

\left({\frac {d}{dt}}\right)^{m}u(x,t)=\sum _{j=0}^{m-1}\alpha _{j} (x,t;{\frac {d}{dx}})\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}u(x,t)+f(x,t), \qquad(2)

ahol egy fokszámú polinom, amelynek együtthatói az origó szomszédságában analitikusak . Könnyen belátható, hogy a Taylor - sorozat kiterjesztésének együtthatói ${\alpha }_{{j))(x,t;{\xi })$ $\xi$ $mj$ $U$ $c_{{\nu ,j))$

u(x,t)=\sum _{j\geqslant m;\nu }c_{\nu ,j}x^{\nu }t^{j}\qquad (3)

az egyenlet és a kezdeti feltételek egyedileg határozzák meg . Ezután bizonyítjuk a sorozatok konvergenciáját . $(2)$ $(3)$

A fősorok és polinomok a sorozatok konvergenciájának bizonyítására szolgálnak . Egy függvényt fősornak nevezünk az origóban, ha ezen a ponton analitikus, és Taylor-kiterjesztésének együtthatói nagyobbak vagy egyenlőek a függvény Taylor-kiterjesztésének megfelelő együtthatóinak abszolút értékeivel , azaz , . $(3)$ $F(x,t)$ $f(x,t)$ $C_{{\mu ,j}}$ $c_{{\mu ,j}}$ $f(x,t)$ $C_{{\mu ,j}}\geqslant |c_{{\mu ,j}}|$

Történelem

A tételt S.V. Kovalevszkaja a Göttingeni Egyetemre , két másik munkával együtt doktori disszertációként 1874-ben.

Lásd még

Irodalom

S. Mizohata Parciális differenciálegyenletek elmélete, Moszkva, Mir, 1977, 504 oldal.
O.A. Oleinik tétel S.V. Kovalevskaya és a parciális differenciálegyenletek modern elmélete // Soros Educational Journal , 1997, 8. szám, 117. o.