Picard-tétel (differenciálegyenletek)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Picard -tétel egy közönséges elsőrendű differenciálegyenlet megoldásának létezéséről és egyediségéről szóló tétel.

Megfogalmazás

Hadd

y'=f_{t}(y)

egy közönséges differenciálegyenlet , és egy időtől függő vektormező . Tegyünk úgy, mintha ${\displaystyle y=y(t)\in \mathbb {R} ^{n))$ $f_{t}(y)$ $t$

folyamatosan és $(t,y)\mapsto f_{t}(y)$
minden rögzített esetén a leképezés Lipschitz $t$ $y\mapsto f_{t}(y)$

Ekkor bármelyikre létezik ε > 0 úgy, hogy az intervallumon van megoldása az egyenletnek kezdő adatokkal $y_0$ $[t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]$ ${\displaystyle y(0)=y_{0))$

A tétel lokális változata is igaz.

Linkek

Arnold V.I. Közönséges differenciálegyenletek. M.: MTSNMO, 2018 - 344 p.
Coddington, Earl A. A közönséges differenciálegyenletek elmélete / Earl A. Coddington, Norman Levinson. - McGraw-Hill , 1955. - ISBN 9780070992566 .
Lindelöf, E. (1894). „Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre” . Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences . 118 , 454-7.(Ebben a kiadványban E. Lindelöf az E. Picard által korábban javasolt megközelítés általánosítását tárgyalja .)