Diagonalizálható mátrix

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 22-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A lineáris algebrában egy A négyzetmátrixot diagonalizálhatónak mondunk , ha hasonló egy átlós mátrixhoz , vagyis ha létezik olyan P nem szinguláris mátrix , amelyre P −1 AP diagonális mátrix. Ha V egy véges dimenziós vektortér , akkor a T : V → V lineáris leképezést diagonalizálhatónak mondjuk , ha V -ben létezik olyan rendezett bázis , amelyre T átlós mátrixként ábrázolja. A diagonalizálás a megfelelő átlós mátrix megtalálásának folyamata egy diagonalizálható mátrixhoz vagy lineáris leképezéshez. [1] A nem diagonalizálható négyzetmátrixot hibásnak nevezzük .

A diagonalizálható mátrixok és leképezések azért érdekesek, mert az átlós mátrixokkal könnyű dolgozni: a sajátértékek és a vektorok ismertek, a hatványozás az átlós elemek hatványra emelésével történik, a determináns pedig az átlós elemek szorzata. Geometriai szempontból az átlósítható mátrix egy nem egyenletes skálázás: minden irányban a nyújtás általában eltérő együtthatóval történik az átlón lévő számtól függően.

Jellemzők

A diagonalizálható leképezésekkel és mátrixokkal kapcsolatos alapvető tényt a következő állítások fejezik ki.

Egy n × n A mátrix egy F mező felett akkor és csak akkor diagonalizálható, ha a sajátalterek dimenzióinak összege egyenlő n -nel , ami akkor és csak akkor igaz, ha létezik egy F n bázis, amely az A sajátvektorokból áll . Ha ilyen bázist találunk, létrehozhatunk egy P mátrixot , amelyben az oszlopok a bázisvektorok, a P −1 AP pedig egy átlós mátrix. Ennek a mátrixnak az átlóján lévő értékek az A sajátértékei .
Egy T : V → V lineáris leképezés akkor és csak akkor diagonalizálható, ha sajáttereinek dimenzióinak összege egyenlő dim( V ), ami akkor és csak akkor igaz, ha létezik T sajátvektoraiból álló V bázis . Erre az alapra tekintettel T - t átlós mátrixként ábrázoljuk. Egy ilyen mátrix átlós elemei megegyeznek T sajátértékeivel .

Egy mátrix vagy lineáris leképezés akkor és csak akkor diagonalizálható egy F mező felett , ha a minimális polinom az F mező feletti lineáris tényezők szorzata . Más szóval, egy mátrix akkor és csak akkor diagonalizálható, ha a minimális polinom minden osztója lineáris.

A következő feltétel (elegendő, de nem szükséges) gyakran hasznos.

Egy n × n A mátrix diagonalizálható egy F mező felett, ha n különböző sajátértéke van F -ben, azaz ha karakterisztikus polinomjának n különböző gyöke van F -ben ; ennek a fordítottja nem biztos, hogy igaz. Tekintsük a mátrixot

{\begin{bmatrix}-1&3&-1\\-3&5&-1\\-3&3&1\end{bmatrix)),

1, 2, 2 sajátértékekkel (nem mindegyik különálló) és diagonális formára redukálható (a mátrix hasonló az A -hoz )

{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmátrix));

átmenet mátrix egy másik bázisra P :

{\begin{bmatrix}1&1&-1\\1&1&0\\1&0&3\end{bmatrix}}.

Így előfordulhat, hogy a fordítottja nem teljesül, ha A -nak 1-nél nagyobb dimenziójú sajátaltere van. Ebben a példában A 2. sajátértékhez tartozó sajátalterének 2-es dimenziója van.

Egy T : V → V lineáris leképezés n = dim( V ) esetén diagonalizálható, ha n különálló sajátértéke van, vagyis ha a karakterisztikus polinomnak n különböző gyöke van F -ben .

Legyen A mátrix F felett . Ha A diagonalizálható, akkor A bármely hatványa átlózható. Ha A invertálható, F algebrailag zárt, A n átlózható valamilyen n -re, amely nem többszöröse az F karakterisztikának , akkor A diagonalizálható.

C felett szinte minden mátrix átlósítható. Pontosabban, az n × n komplex mátrixok halmaza , amelyek nem diagonalizálhatók C felett, ha C n × n részhalmazának tekintjük , Lebesgue-mértéke nulla . Azt is mondhatjuk, hogy a diagonalizálható mátrixok egy sűrű részhalmazt alkotnak a Zariski topológia keretein belül : ennek a részhalmaznak a kiegészítése abban a halmazban van, amelyben a karakterisztikus polinom diszkriminánsa eltűnik, vagyis a hiperfelületen. R esetében nem ez a helyzet .

A Jordan-Chevalley dekompozíció az operátort a diagonalizálható és a nilpotens részek összegeként ábrázolja. Ezért egy mátrix akkor és csak akkor diagonalizálható, ha a nilpotens rész nulla. Más szóval, egy mátrix átlósítható, ha a Jordan-forma minden blokkjában nincs nilpotens rész.

Diagonalizáció

Ha az A mátrix diagonalizálható, azaz

P^{-1}AP={\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\&\lambda _{2}\\&&\ddots \\&&&\lambda _{n}\end{pmatrix }},

akkor

AP=P{\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\&\lambda _{2}\\&&\ddots \\&&&\lambda _{n}\end{pmatrix)).

P -t blokkmátrixként írjuk fel oszlopvektorokkal ${\vec {\alpha }}_{i}$

P={\begin{pmatrix}{\vec {\alpha }}_{1}&{\vec {\alpha }}_{2}&\cdots &{\vec {\alpha }}_{ n}\end{pmatrix}},

akkor a fenti egyenlet átírható így

A{\vec {\alpha }}_{i}=\lambda _{i}{\vec {\alpha }}_{i}\qquad (i=1,2,\cdots ,n).

A P oszlopvektorai A jobb oldali sajátvektorai , a megfelelő átlós elemek pedig a sajátértékek. P invertálhatósága azt is jelenti, hogy a sajátvektorok lineárisan függetlenek és bázist képeznek F n -ben . Ez szükséges és elégséges feltétele a diagonalizálhatóságnak. A P −1 sorvektorok A bal oldali sajátvektorai .

Ha A egy hermitikus mátrix , akkor meg lehet választani A sajátvektorait úgy , hogy azok ortogonális bázist képezzenek C n -ben . Ilyen feltételek mellett P egységes mátrix lesz , és P -1 egyenlő P hermitikus konjugátumával .

A gyakorlatban a mátrixok diagonalizálása számítógépen történik. Számos algoritmus létezik, amelyek lehetővé teszik ennek a folyamatnak a végrehajtását.

Mátrixhalmaz átlósítása

A mátrixok halmazát együttesen diagonalizálhatónak mondjuk, ha létezik olyan egyedi P invertálható mátrix , amely szerint P −1 AP egy átlós mátrix a halmaz minden A -jához. A következő tétel az együttesen átlózható mátrixokat jellemzi: a mátrixhalmaz akkor és csak akkor átlózható ingázási mátrixok halmaza, ha együttesen átlózható. [2]

Az összes n × n mátrix halmaza , amely C felett diagonalizálható n > 1 esetén, együttesen nem diagonalizálható. Például mátrixok

{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}

átlósíthatók, de nem együttesen, mivel nem ingáznak.

Egy halmaz akkor és csak akkor áll normálmátrixok ingázóból , ha egy unitárius mátrix együttesen diagonalizálja, azaz létezik olyan U unitárius mátrix , hogy U*AU átlós a halmaz bármely A mátrixára.

Példák

Diagonalizálható mátrixok

Az involúciók átlózhatók valós számok felett (és minden olyan mező felett, amelynek karakterisztikája nem egyenlő 2-vel), és ±1 az átlón található.
A véges rendű endomorfizmusok átlózhatók C felett (vagy más algebrai zárt mező felett, és a mező karakterisztikája nem osztja az endomorfizmus rendjét), az egység gyökerei az átlón helyezkednek el . A minimális polinom elválasztható , mert az egység gyökerei különböznek egymástól.
A projektorok átlósíthatók, az átlón 1-es és 0-s található.
A valódi szimmetrikus mátrixok ortogonális mátrixokkal diagonalizálhatók. Tekintsünk egy valós A mátrixot , Q T AQ átlós valamilyen Q ortogonális mátrixra . Általánosabban, a mátrixok akkor és csak akkor diagonalizálhatók unitárius mátrixokkal, ha normálisak. Valós szimmetrikus mátrix esetén A = A T , ezért AA T = A T A. A normál mátrixok példái a valós szimmetrikus (vagy ferde-szimmetrikus ) mátrixok és a hermitikus mátrixok .

Nem diagonalizálható mátrixok

Általánosságban elmondható, hogy a forgatási mátrix nem diagonalizálható a valós számok felett, de az összes forgatási mátrix átlózható a komplex számok területén. Még akkor is, ha a mátrix nem diagonalizálható, lehetséges a "lehető legjobb formára" redukálni, és ugyanolyan tulajdonságokkal rendelkező mátrixot létrehozni, amely a főátlón sajátértékeket, a fenti átlón pedig egyeseket vagy nullákat tartalmaz. azaz Jordan normál formában .

Egyes mátrixok nem diagonalizálhatók egyik mezőre sem, köztük nem nulla nilpotens mátrixok is megadhatók . Ez akkor történik, ha a sajátérték algebrai és geometriai multiplicitása nem egyezik. Fontolgat

C={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.

Ez a mátrix nem diagonalizálható: nincs olyan U mátrix , amelynek U −1 CU diagonális mátrixa lenne. C -nek egy sajátértéke (nulla) van a 2. algebrai multiplicitással és 1. geometriai multiplicitással.

Néhány valós mátrix nem diagonalizálható valós számok fölé. Tekintsük a mátrixot

B={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}.

A B mátrixnak nincsenek valós sajátértékei, így nincs olyan valós Q mátrix , amelyre Q −1 BQ átlós. De a komplex számok mezején átlózhatjuk B -t . Ha figyelembe vesszük

Q={\begin{bmatrix}1&{\textrm {i}}\\{\textrm {i}}&1\end{bmatrix}}),

akkor Q −1 BQ átlós.

Vegye figyelembe, hogy a fenti példák azt mutatják, hogy az átlózható mátrixok összege nem mindig diagonalizálható.

Mátrix átlósítása

Tekintsük a mátrixot

A={\begin{bmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{bmatrix}}.

Ennek a mátrixnak sajátértékei vannak

\lambda _{1}=3,\quad \lambda _{2}=2,\quad \lambda _{3}=1.

A egy 3x3-as mátrix 3 különálló sajátértékkel; ezért átlósítható. Figyeljük meg, hogy ha egy n × n mátrixnak pontosan n különálló sajátértéke van, akkor átlósítható.

A sajátértékek A diagonalizált formában jelennek meg , tehát a sajátértékek megtalálásakor az A mátrix átlósodik . Sajátvektorok használhatók A diagonalizálására .

Az A sajátvektorai

v_{1}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix)),\quad v_{2}={\begin{bmatrix}0\\0\\1 \end{bmatrix}},\quad v_{3}={\begin{bmatrix}-1\\0\\2\end{bmatrix}}.

Ez ellenőrizhető $Av_{k}=\lambda _{k}v_{k}.$

Legyen P olyan mátrix, amelyben az adott sajátvektorok az oszlopok.

P={\begin{bmatrix}-1&0&-1\\-1&0&0\\2&1&2\end{bmatrix}}.

Vegyük észre, hogy a P oszlopai között nincs megkülönböztetett sorrend ; a P sajátvektorok sorrendjének megváltoztatása csak az A átlós alakban változtatja meg a sajátértékek sorrendjét . [3]

A P mátrix átlósítja A -t, ami könnyen belátható:

P^{-1}AP={\begin{bmatrix}-1&1&0\\2&0&1\\-1&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{ bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&0&-1\\0&0&-1\\2&1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.

Ez abból a tényből következik, hogy bármilyen szabványos alapon , $e_{1},e_{2},e_{3}$

P^{-1}APe_{k}=P^{-1}Av_{k}=P^{-1}\lambda _{k}v_{k}=\lambda _{k}e_{ k},

ahol kihasználtuk, hogy mi a k-edik oszlopa , tehát . Vegye figyelembe, hogy a sajátértékek az átlós mátrixban jelentek meg. $Pe_{k}=v_{k}$ $P$ ${\displaystyle P^{-1}v_{k}=e_{k))$ $\lambda_k$

Alkalmazás

A diagonalizálás segítségével hatékonyan számítható ki az A mátrix hatványa, ha a mátrix diagonalizálható. Vegyük ezt

P^{-1}AP=D\Rightarrow PP^{-1}APP^{-1}=PDP^{-1}\Rightarrow A=PDP^{-1},

ahol egy átlós mátrix. Majd a mátrixok szorzatának asszociativitásával $D$

{\begin{aligned}A^{k}&=(PDP^{-1})^{k}=(PDP^{-1})\cdot (PDP^{-1})\cdots ( PDP^{-1})\\&=PD(P^{-1}P)D(P^{-1}P)\cdots (P^{-1}P)DP^{-1}\\ &=PD^{k}P^{-1}\end{igazított}}.

Az utolsó szorzat könnyen kiszámítható, mert tartalmazza az átlós mátrix hatványait. Ez a megközelítés általánosítható a mátrix kitevőjére és más mátrixfüggvényekre , mivel hatványsorként ábrázolhatók.

Az alkalmazás speciális esete

Tekintsük a következő mátrixot:

M={\begin{bmatrix}a&b-a\\0&b\end{bmatrix}}.

Az M különböző hatványainak kiszámítása egy érdekes mintához vezet:

M^{2}={\begin{bmatrix}a^{2}&b^{2}-a^{2}\\0&b^{2}\end{bmatrix)),\quad M^{ 3}={\begin{bmatrix}a^{3}&b^{3}-a^{3}\\0&b^{3}\end{bmatrix)),\quad M^{4}={\begin {bmatrix}a^{4}&b^{4}-a^{4}\\0&b^{4}\end{bmatrix}},\quad \ldots

Ez a jelenség M diagonalizálásával magyarázható . Szükségünk van egy R 2 bázisra, amely M sajátvektorokból áll . Az egyik alap az

\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2},

ahol e i R n standard bázisát jelöli . A bázis fordított változását a kifejezések adják meg

\mathbf {e} _{1}=\mathbf {u} ,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {v} -\mathbf {u} .

A számítások azt mutatják

M\mathbf {u} =a\mathbf {u} ,\qquad M\mathbf {v} =b\mathbf {v} .

Ezért a és b sajátértékek, amelyek megfelelnek u -nak és v -nek . A mátrixszorzat linearitásával megkapjuk

M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\,\mathbf {u} ,\qquad M^{n}\mathbf {v} =b^{n}\,\mathbf { v} .

Visszatérve a standard alapra, azt kapjuk

M^{n}\mathbf {e} _{1}=M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\mathbf {e} _{1},

M^{n}\mathbf {e} _{2}=M^{n}(\mathbf {v} -\mathbf {u} )=b^{n}\mathbf {v} -a^ {n}\mathbf {u} =(b^{n}-a^{n})\mathbf {e} _{1}+b^{n}\mathbf {e} _{2}.

A fent leírt relációk mátrix alakja a következővel rendelkezik

M^{n}={\begin{bmatrix}a^{n}&b^{n}-a^{n}\\0&b^{n}\end{bmátrix)),

ami megmagyarázza az előbb említett mintát.

Alkalmazások a kvantummechanikában

A kvantummechanikában és a kvantumkémiában a mátrixdiagonalizáció az egyik leggyakrabban használt eljárás a számításokban. Ennek fő oka az, hogy az időtől független Schrödinger -egyenlet sajátérték-egyenlet, és szinte minden fizikai alkalmazásban végtelen dimenziós ( Hilbert ) térben. Közelítő megközelítésekben a Hilbert-teret egy véges dimenziós tér váltja fel, amely után a Schrödinger-egyenlet újrafogalmazható egy valós szimmetrikus (vagy komplex hermitiánus) mátrix sajátértékeinek megtalálásának problémájaként. Ez a megközelítés a variációs elven alapul .

Jegyzetek

↑ Horn & Johnson 1985
↑ Horn & Johnson 1985, pp. 51–53
↑ Anton, H.; Rorres, C. Elemi lineáris algebra (Alkalmazási verzió) (angol) . — 8. - John Wiley & Sons , 2000. - ISBN 978-0-471-17052-5 .

Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. Mátrixelemzés (határozatlan) . - Cambridge University Press , 1985. - ISBN 978-0-521-38632-6 .