Nilpotens elem

A nilpotens elem a gyűrű olyan eleme , amelynek bizonyos ereje eltűnik.

A nilpotens elemek figyelembevétele gyakran hasznosnak bizonyul az algebrai geometriában , mivel ezek lehetővé teszik számos, az analízisre és a differenciálgeometriára jellemző fogalom tisztán algebrai analógját ( végtelenül kis alakváltozások stb.).

A kifejezést Benjamin Pierce vezette be az algebrák osztályozásáról szóló munkájában [1] .

Definíció

Az R gyűrű egy x elemét nilpotensnek mondjuk , ha létezik olyan n pozitív egész , amelyre [2] . $x^{n}=0$

Azt a minimális értéket , amelyre ez az egyenlőség igaz , az elem nilpotencia indexének nevezzük . $n$ $a$

Példák

Ez a meghatározás különösen a négyzetmátrixokra alkalmazható . Mátrix

A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}

nilpotens, mert . További részletek a Nilpotens mátrix cikkben .

A^{3}=0

A Z /9 Z hányadosgyűrűben a 3 ekvivalenciaosztálya nilpotens, mivel 3 2 kongruens 0 modulo 9-el.
Tegyük fel, hogy az R gyűrű két a és b eleme teljesíti a feltételt . Ekkor az elem nilpotens, mert . Példa mátrixokra (mint a és b ): $ab=0$ $c=ba$ $c^{2}=(ba)^{2}=b(ab)a=0$

A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix)),\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix)).

itt .

AB=0,BA=B

Az osztott kvaterniós gyűrű nilpotens elemekből álló kúpot tartalmaz .

Definíció szerint a nulla félcsoport bármely eleme nilpotens.

Tulajdonságok

Egyetlen nilpotens elem sem lehet megfordítható (kivéve a triviális {0} gyűrűt, amelynek egyetlen eleme 0 = 1 ). Minden nem nulla nilpotens elem nulla osztó .

A mező elemeit tartalmazó n - szeres A mátrix akkor és csak akkor nilpotens , ha karakterisztikus polinomja . $t^{n}$

Ha egy x elem nilpotens, akkor invertálható elem, mivel ebből következik: $1-x$ $x^{n}=0$ $(1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.$

Általánosabban fogalmazva, egy invertálható elem és egy nilpotens elem összege invertálható elem, ha ingáznak.

Kommutatív gyűrűk

A kommutatív gyűrű nilpotens elemei egy ideált alkotnak , ami a Newton-binomiális következménye . Ez az ideál a gyűrű nilradikálisa . A kommutatív gyűrű bármely nilpotens eleme benne van ennek a gyűrűnek bármely prímideáljában , mivel . Így az összes elsődleges ideál metszéspontjában található. $R$ ${\mathfrak {N}}$ $x$ $\mathfrak{p}$ $x^{n}=0\in {\mathfrak {p))$ ${\mathfrak {N}}$

Ha az elem nem nilpotens, akkor a : hatványaival lokalizálhatjuk , hogy nullától eltérő gyűrűt kapjunk . A lokalizált gyűrű primer ideáljai pontosan megfelelnek a c gyűrű ezen primer ideáljainak [3] . Mivel minden nullától eltérő kommutatív gyűrűnek van egy maximális ideálja , amely prím, egyetlen nem nilpotens elem sem szerepel valamelyik prímideálban. Ekkor pontosan az összes elsődleges ideál metszéspontja van [4] . $x$ $x$ $S=\{1,x,x^{2},...\}$ $S^{-1}R$ $\mathfrak{p}$ $R$ ${\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset$ $x$ ${\mathfrak {N}}$

A Jacobson -gyökhöz és a prímmodulok annihilációjához hasonló jellemző áll rendelkezésre a nilradik számára - az R gyűrű nilpotens elemei pontosan azok, amelyek az R gyűrűbe az integritás minden tartományát megsemmisítik . Ez abból a tényből következik, hogy a null gyök az összes elsődleges ideál metszéspontja.

A hazugságalgebra nilpotens elemei

Legyen hazugságalgebra . _ Ekkor egy elemet nilpotensnek nevezünk, ha benne van és nilpotens transzformáció. Lásd még Jordan-dekompozíció a Lie algebrában . $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ $\operatorname {ad} x$

Nilpotencia a fizikában

A feltételt kielégítő Q operandus nilpotens. A Grassmann-számok , amelyek lehetővé teszik a fermionikus mezők pályaintegrálokkal való ábrázolását , nilpotensek, mert a négyzetük eltűnik. A BRST töltés fontos példa a fizikában . $Q^{2}=0$

A lineáris operátorok egy asszociatív algebrát , majd egy gyűrűt alkotnak, ez az eredeti definíció speciális esete [5] [6] . Általánosabban, figyelembe véve a fenti definíciókat, egy Q operátor nilpotens, ha létezik olyan, hogy (nulla függvény). Ekkor egy lineáris leképezés akkor és csak akkor nilpotens, ha valamilyen alapon nilpotens mátrixa van. Egy másik példa a külső derivált (ismét a -val ). Mindkét példát a szuperszimmetria és a Morse-elmélet [7] kapcsolja össze , amint azt Edward Witten egy elismert tanulmányában [8] mutatja be . $n\in \mathbb {N}$ $Q^{n}=0$ $n=2$

A források nélküli síkhullám elektromágneses tere nilpotens, ha a fizikai tér algebrájában fejezzük ki [9] . Általánosságban elmondható, hogy a mikroadditivitás technika nilpotens infinitezimális értékeket használ, és a sima infinitezimális elemzés része .

Algebrai nilpotensek

A kétdimenziós kettős számok nilpotens teret tartalmaznak. Más algebrák és számok, amelyek nilpotens tereket tartalmaznak, közé tartoznak az osztott kvaterniók (koquaterniók), az osztott oktanionok , a bikvaterniók és az összetett oktanionok . $\mathbb {C} \otimes \mathbb {H}$ $\mathbb {C} \otimes \mathbb {O}$

Lásd még

Idempotens elem
Unipotens elem
Csökkentett csengetés
Nil-ideal

Jegyzetek

↑ Milies, Sehgal, 2002 , p. 127.
↑ Matematikai enciklopédia, 1977-1985 .
↑ Matsumura, 1970 , p. 6.
↑ Atiyah, MacDonald, 1994 , p. 5.
↑ Peirce, 1870 .
↑ Milies, Sehgal, 2002 .
↑ Rogers, 2000 , p. 3703–3714.
↑ Witten, 1982 , p. 661–692.
↑ Rowlands, 2007 .

Irodalom

Matematikai enciklopédia / I. M. Vinogradov. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1977-1985.

Cesar Polcino Milies, Sudarshan R. Sehgal. A csoportos gyűrűk bemutatása. - Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2002. - ISBN 978-1-4020-0238-0 .
Hideyuki Matsumura. 1. fejezet: Elemi eredmények // Kommutatív algebra. - W. A. Benjamin, 1970. - ISBN 978-0-805-37025-6 .
Atiyah MF, MacDonald IG 1. fejezet: Gyűrűk és ideálok // Bevezetés a kommutatív algebrába. - Westview Press, 1994. - ISBN 978-0-201-40751-8 .
- Atiyah M., McDonald I. Bevezetés a kommutatív algebrába. - Moszkva: Mir, 1972.
Peirce B. Lineáris asszociatív algebra. — 1870.
A. Rogers. A topológiai részecske és a Morse-elmélet // Osztály. Quantum Grav. - 2000. - Kiadás. 17 . - doi : 10.1088/0264-9381/17/18/309 .
E. Witten. Szuperszimmetria és Morse-elmélet // J.Diff.Geom. - 1982. - Kiadás. 17 .
Rowlands P. A nullától a végtelenig: A fizika alapjai. - London: World Scientific, 2007. - ISBN 978-981-270-914-1 .