Triviális objektumok az algebrában

Az algebrában (a matematika egyik ága) sok algebrai struktúra triviális , vagyis a legegyszerűbb objektumok . A halmazokhoz hasonlóan egyetlen elemből állnak , amelyet a „ 0 ” szimbólum jelöl, és magából az objektumból – „ {0} ”-ként vagy egyszerűen „0”-ként, a kontextustól függően (például pontos sorozatokban ). A triviális eseteknek megfelelő objektumok fontosak az érvelés egységesítéséhez: kényelmesebb például azt mondani, hogy „a T  x = 0 egyenlet megoldásai mindig lineáris teret alkotnak”, mint a „... vagy halmazt” foglalni. { 0 }”.

Ezen objektumok közül a legfontosabbak:

Az utolsó három esetben a skalárral való szorzás κ0 = 0  , ahol κ ∈ R .

Bármely nulla algebra gyűrűként is triviális. A mező feletti nullalgebra null lineáris tér, a gyűrű felett pedig nullmodul.

Értelmezés kategóriaelmélettel

A kategóriaelmélet szempontjából a triviális objektum egy terminális , és néha (a morfizmus definíciójától függően ) null (vagyis mind terminális, mind kezdeti ) objektum.

Egy triviális objektum az izomorfizmusig egyedi .

Egy triviális objektum terminálisa azt jelenti, hogy az A → {0} morfizmus létezik, és a kategória bármely A objektumára egyedi . Ez a morfizmus az A objektum minden elemét 0 - ra képezi le .

2↕ _  = [ ]  ‹0
↔
1 		^
0 		↔
1
Az üres oszlopvektorként felírt nulla térelemet (jobbra) megszorozzuk egy üres 2×0 mátrixszal , így kapunk egy 2-dimenziós nullvektort (balra). A mátrixszorzás szabályait betartják.

Az Rng (kötelező egység nélküli gyűrűk), az R - Mod és a Vect R kategóriákban a triviális gyűrű, a nullmodul és a szóköz null objektum. A nullobjektum definíció szerint kezdeti, vagyis a {0} → A morfizmus létezik, és a kategória bármely A objektumára egyedi . Ez a morfizmus leképezi a 0 -t, a(z ) {0} objektum egyetlen elemét , nullára 0 ∈ A. Ez egy monomorfizmus , és a képe (a nulla elemekkel generált részmodul/altér az A -ban ) izomorf a {0}-hoz.

Egységgel rendelkező szerkezetek

Az egységnyi szerkezetben ( a szorzás semleges eleme ) a dolgok nem ilyen egyszerűek. Ha egy kategória morfizmusának meghatározása megköveteli azok megőrzését, akkor a triviális objektum vagy csak terminális (de nem kezdeti), vagy egyáltalán nem létezik (például amikor egy struktúra definíciójához az 1 ≠ 0 egyenlőtlenség szükséges ).

Az egységgyűrűk Ring kategóriájában a Z egész számok gyűrűje a kezdeti objektum, nem pedig a {0}.

Lásd még

Linkek