Domború kúp

A lineáris algebrában a konvex kúp egy rendezett mező feletti vektortér részhalmaza, amely pozitív együtthatós lineáris kombinációk alatt záródik .

Definíció

A vektortér egy részhalmaza konvex kúp , ha bármely pozitív skalárhoz és bármelyik -hoz tartozik . $C$ $V$ $\alpha x+\beta y$ $C$ $\alpha ,\beta$ $x,y$ $C$

A definíciót tömörebben is fel lehet írni: bármilyen pozitív számra . $\alpha C+\beta C=C$ $\alpha ,\beta$

A fogalom értelmes minden olyan vektortér esetében, amelyben létezik a "pozitív" skalár fogalma, például a racionális , algebrai vagy (leggyakrabban) valós számok feletti tér.

Az üres halmaz, a tér és a tér bármely lineáris altere (beleértve a triviális { 0 } alteret is) e meghatározás szerint konvex kúpok. További példák az összes szorzat halmaza egy tetszőleges vektor pozitív számával -ból , vagy a tér pozitív orthánsa (az összes pozitív koordinátájú vektor halmaza). $V$ $V$ $v$ $V$ $\mathbb {R} ^{n}$

Egy általánosabb példa az összes vektor halmaza úgy, hogy a pozitív skalár, és a tér valamely konvex részhalmazának eleme . Konkrétan, ha egy normált vektortér , és egy nyitott (illetve zárt) gömb -ben , amely nem tartalmaz 0-t, akkor ez a konstrukció nyitott (illetve zárt ) konvex körkúpot ad . $\lambda x$ $\lambda$ $x$ $x$ $V$ $V$ $x$ $V$

Két konvex kúp metszéspontja ugyanabban a vektortérben ismét konvex kúp, de az egyesülés nem biztos, hogy az. [1] A konvex kúpok osztálya zárt bármely lineáris leképezés esetén . Különösen, ha egy konvex kúp, akkor konvex kúp és ellentéte , és a legnagyobb lineáris altér, amelyet a [2] tartalmaz . Az ilyen alteret pengének nevezzük . [3] $C$ $-C$ $C\cap -C$ $C$

Konvex kúpok és lineáris kúpok

Ha egy konvex kúp, akkor bármely pozitív skalárhoz és a vektorból származó bármely vektorhoz benne van . Ebből következik, hogy a konvex kúp a lineáris kúp speciális esete . $C$ $\alpha$ $x$ $C$ $\alpha x=(\alpha /2)x+(\alpha /2)x$ $C$ $C$

Alternatív definíciók

A fentiekből következik, hogy a konvex kúp definiálható lineáris kúpként, amely konvex kombinációk alatt záródik , vagy egyszerűen összeadás alatt . Röviden, a halmaz akkor és csak akkor és bármely pozitív skalár esetén konvex kúp . [négy] $C$ $\alpha C=C$ $C+C=C$ $\alpha$

Azt is meg kell jegyezni, hogy a "pozitív skalárok " kifejezés a konvex kúp definíciójában helyettesíthető a "nem negatív skalárokkal , amelyek nem egyidejűleg nullák". $\alpha ,\beta$ $\alpha ,\beta$

Konvex kúp tulajdonságai

Tetszőleges számú konvex kúp metszéspontja ismét konvex kúp. Így a konvex kúpok zárt családot alkotnak (a metszés műveletével).
A kúpos test az adott halmazt tartalmazó legkisebb domború kúp. $\operátornév {pozíció}(X)$

Tompa és éles kúpok

A fenti definíciók szerint, ha konvex kúp, akkor konvex kúp is. A konvex kúpot élesnek vagy tompaszögűnek mondjuk , attól függően, hogy a 0 nullvektor hozzátartozik-e vagy sem [5] . Néha a hegyes és ennek megfelelően tompa kifejezéseket használják [4] [6] . $C$ ${\displaystyle C\cup \{0\))$

A tompa kúpok kizárhatók a konvex kúp definíciójából, ha a "nem negatív" szavakat "pozitív" szavakkal helyettesítjük a -ra támasztott feltételek mellett . Az " éles " kifejezést gyakran más értelemben használják - olyan zárt kúpokra, amelyek nem tartalmaznak teljes vonalakat (vagyis a környező tér nem triviális alterét), vagyis azt, amit lent "kiálló" kúpnak neveznek. $\alpha ,\beta$

Kiálló (éles) kúpok

Egy konvex kúpot laposnak mondjuk, ha tartalmaz valamilyen nullától eltérő vektort és ennek ellentétét , egyébként pedig kinyúlik [6] . A kiálló kúpokat gyakran akutnak is nevezik . $x$ $-x$

A tompa domború kúp mindig kiálló kúp, de ennek fordítottja nem mindig igaz. Konvex kúp akkor és csak akkor nyúlik ki . Vagyis akkor és csak akkor, ha nem tartalmaz nem triviális lineáris alteret . $C$ ${\displaystyle C\cap -C\subseteq \{0\))$ $C$ $V$

Többéderes kúpok

1935-ben G. Weyl bebizonyította a poliéderkúp következő két definíciójának egyenértékűségét :

A poliéderkúp lineáris kombinációk halmaza egy rögzített véges vektorhalmaz nemnegatív együtthatóival . Ezeket a vektorokat kúpgenerátoroknak nevezzük . $C=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}\mid a_{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0},v_{i }\in \mathbb {R} ^{n}\}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{i))$
A poliéderkúp egy véges (zárt) félterek halmazának metszéspontja, amelynek támasztó hipersíkja átmegy az origón. Ezzel egyenértékűen beszélhetünk a homogén lineáris egyenlőtlenségek véges halmazának megoldási halmazáról.

Racionális poliéderkúpok

A poliéderkúpot racionálisnak nevezzük, ha minden generátora egész koordinátákkal rendelkezik.

Fél szóközök

A tér hipersíkja (lineáris) a tér lehetséges legnagyobb lineáris altere . Egy tér nyitott (illetve zárt ) féltere a térnek a feltétellel meghatározott részhalmaza (ill. ), ahol a skalárok tetszőleges lineáris függvénye a mezőjében. Az egyenlettel definiált hipersík a határoló hipersík a számára . $V$ $V$ $V$ $H$ $V$ $L(x)>0$ $L(x)\geqslant 0$ $L$ $V$ $L(v)=0$ $H$

A félterek (nyitott vagy zárt) konvex kúpok. Azonban minden konvex kúpnak , amely nem a teljes tér , a tér valamely zárt félterében kell lennie . Valójában egy topológiailag zárt konvex kúp az azt tartalmazó összes zárt féltér metszéspontja. Hasonló állítás igaz egy topológiailag nyitott konvex kúpra is. $C$ $V$ $H$ $V$

Egy tér tökéletes félterét rekurzív módon a következőképpen definiáljuk: ha nulla dimenziója van, akkor ez a halmaz , egyébként pedig a tér nyitott féltere a határoló hipersík tökéletes félterével együtt [ 7] . Más szóval, ez a félszóközök zászló fogalmának analógja . $V$ $V$ $\{0\}$ $H$ $V$ $H$

Bármilyen tökéletes féltér kiálló, sőt, minden kiálló kúp egy tökéletes féltérben van. Más szóval, a tökéletes félterek maximálisan kiálló kúpok (befoglalással). Kimutatható, hogy bármely hegyes kiálló kúp (függetlenül attól, hogy topológiailag zárt vagy nyitott) az összes azt tartalmazó tökéletes féltér metszéspontja.

Konvex halmazok metszete és vetülete

Sík szakasz

Egy tér affin hipersíkja a formájú tér bármely részhalmaza , ahol egy vektor és egy (lineáris) hipersík. $V$ $V$ $v+H$ $v$ $V$ $H$

A következő állítás következik a félterekben való szerepeltetési tulajdonságból. Legyen nyitott féltér -ben és , ahol egy határhipersík és bármely vektor -ben . Legyen egy lineáris kúp, amelyet tartalmaz . Ekkor konvex kúp akkor és csak akkor, ha a halmaz a hipersík konvex részhalmaza (vagyis konvex kombinációk alatt zárt halmaz ). $K$ $V$ $A=H+v$ $H$ $K$ $v$ $K$ $C$ $K$ $C$ $C'=C\cap A$ $A$

Ennek eredményeképpen az affin térben lévő konvex halmazok minden tulajdonságának van analógja a rögzített nyitott féltérben lévő konvex kúpokhoz.

Gömb alakú metszet

Ha normát adott | • | térben az egységgömböt definiáljuk halmazként _ $V$ $V$

S=\{x\in V\;:\;|x|=1\}.

Ha az értékek | • | skalárok -ben , akkor egy in egyenes kúp akkor és csak akkor konvex kúp, ha gömbmetszete (vektorainak halmaza egységnormával ) konvex részhalmaz a következő értelemben: bármely két olyan vektorra , ahol az összes vektor a legrövidebb úton halad innentől feküdj be . _ $V$ $C$ $V$ $C\cap S$ $S$ $u,v\in C$ $u\neq -v$ $u$ $v$ $S$ $C$

A kettős kúp

Legyen egy konvex kúp egy valós vektortérben skalárszorzattal . A k kettős kúp a [8] [9] halmaz $C\subset V$ $V$ $C$

\{v\in V\;:\;\forall w\in C,\langle w,v\rangle \geqslant 0\}.

Ez is egy domború kúp. Ha egybeesik a duáljával, akkor önkettősnek nevezzük . $C$ $C$

A kettős kúp másik általános meghatározása a kettős térben lévő kúp : $C\subset V$ ${\displaystyle C^{\ast ))$ $V^{\ast }$

C^{*}:=\left\{v\in V^{*}\;:\;\forall w\in C,v(w)\geqslant 0\right\}.

Más szóval, ha a tér duális tere , akkor a duális kúp azon lineáris függvények halmaza, amelyek nem negatívak a kúpon . Ha elfogadjuk, hogy ez egy folytonos kettős tér , akkor ez a folytonos lineáris függvények halmaza, amelyek nem negatívak a -n . [10] Egy ilyen meghatározás nem követeli meg a belső termék jelenlétét a térben . $V^{\ast }$ $V$ $C$ $V^{\ast }$ $C$ $V$

Véges dimenziós terekben a kettős kúp mindkét definíciója lényegében ekvivalens, mivel bármely belső szorzat egy lineáris izomorfizmushoz (nem degenerált lineáris leképezéshez) van társítva -tól -ig , és ez az izomorfizmus átveszi a kettős kúpot (to ) a második definícióból. az első definícióból a kettős kúphoz. $V^{\ast }$ $V$ $V^{\ast }$

Konvex kúp által meghatározott részleges sorrend

Egy élesen kinyúló konvex kúp " " részleges sorrendet generál , úgy definiálva , hogy akkor és csak akkor . (Ha a kúp lapos, ugyanaz a definíció adja az előrendet .) A megfelelő egyenlőtlenség összegei és szorzása pozitív skalárral az adott sorrendhez képest ismét megadja a megfelelő egyenlőtlenségeket. Az ilyen sorrendű vektorteret rendezett vektortérnek nevezzük . Kúp $C$ $\leqslant$ $V$ $x \leqslant y$ $yx\in C$

P=\left\{x:x\in V,x\geqslant 0\right\}.

pozitív kúpnak nevezzük [6] .

Példák: az [11] ordinális szorzat valós vektorokon ( ) és a Löwner-rend [12] $\mathbb {R} ^{n}$

Megfelelő konvex kúp

A tulajdonképpeni ( konvex ) kúp kifejezést a kontextustól függően többféleképpen definiálják. Gyakran egy kiálló konvex kúpot jelent, amely nem tartalmaz hipersíkot a térben , esetleg más korlátozásokkal, például topológiai zárással (és ezért a kúp éles lesz), vagy topológiai nyitottsággal (a kúp tompa lesz) [13] . Egyes szerzők az "ék" kifejezést használják arra, amit ebben a cikkben domború kúpnak neveznek, a "kúp" pedig arra utal, amit a cikkben kiálló éles kúpnak neveznek, vagy amit az imént megfelelőnek neveztek. domború kúp. $V$

Példák konvex kúpokra

Legyen adott a Hilbert-tér egy zárt konvex részhalmaza, a normálkúp egy pontból egy halmazra egy képlettel adódik. [2] $K$ $V$ $K$ $x$ $K$

N_{K}(x)=\left\{p\in V\;:\;\forall x^{*}\in K,\langle p,xx^{*}\rangle \geqslant 0\ jobb\}.

Legyen adott a térnek egy zárt konvex részhalmaza , az érintőkúp a halmazhoz egy pontból a [14] képlettel adódik. $K$ $V$ $K$ $x$

T_{K}(x)=\overline {\bigcup _{{h>0}}{\tfrac {1}{h}}(Kx)}.

Legyen adott a Hilbert-tér egy zárt konvex részhalmaza , a külső normálkúp a ponttól ig halmazhoz a [15] képlettel adódik. $K$ $V$ $K$ $x$ $K$

N_{K}(x)=\left\{p\in V\;:\;\forall x^{*}\in K,\langle p,xx^{*}\rangle \leqslant 0\right\} .

Adott egy Hilbert-tér zárt konvex részhalmaza , a halmaz érintőkúpja egy pontból definiálható poláris kúpként a külső normálkúphoz : [16] [17] $K$ $V$ $K$ $x$ $K$ $N_{K}(x)$

A normál és érintőkúpok zártak és domborúak. Ezek fontos fogalmak a konvex programozás , a variációs egyenlőtlenségek területén .

Lásd még

Kapcsolódó kombinációk

Jegyzetek

↑ Rockafellar, 1973 , p. harminc.
↑ 1 2 Rockafellar, 1973 , p. 32.
↑ Krasnoselsky, Lifshits, Sobolev, 1985 , p. 9.
↑ 1 2 Bourbaki, 1959 , p. harminc.
↑ Zorkaltsev, Kiseleva, 2007 .
↑ 1 2 3 Edwards, 1969 , p. 194.
↑ Stolfi, 1991 , p. 139.
↑ Panina, 2009 .
↑ Boyd, Vandenberghe, 2004 .
↑ Kutateladze, 2009 , p. 1127.
↑ A rendes termék egy részlegesen rendezett készletek közvetlen termékére generált rendelés. Részletekért lásd: Stanley, 1990 .
↑ A Löwner-rend definíciója megtalálható: Marshall, Olkin, 1983
↑ Schaefer, 1971 , p. 258.
↑ Panaginotopoulos, 1989 , p. 171.
↑ Panaginotopoulos, 1989 , p. 62.
↑ Rockafellar, 1973 , p. 138.
↑ Leuchtweis, 1985 , p. 54.

Linkek

Nicholas Bourbaki. Topológiai vektorterek. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1987. - (A matematika elemei). — ISBN 978-3-540-13627-9 .
Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Konvex optimalizálás. - Cambridge, New York, Melbourne, Madrid, Fokváros, Szingapúr: Cambridge University Press, 2004. - P. 51. - ISBN 78-0-521-83378-3.

Orosz nyelvű fordítás: N. Bourbaki. Topológiai vektorterek. - Moszkva: Külföldi Irodalmi Kiadó, 1959. - (Matematika elemei).

RT Rockafellar. Konvex elemzés . – Princeton, NJ: Princeton University Press, 1970.

Orosz nyelvű fordítás: R. Rockafellar. Konvex elemzés. - Moszkva: Mir, 1973.

C. Zălinescu. Konvex elemzés általános vektorterekben. - River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc., 2002. - xx+367. - ISBN 981-238-067-1 .
V. I. Zorkalcev, M. A. Kiseleva. Lineáris egyenlőtlenségek rendszerei (tankönyv). - Irkutszk: IGU, 2007. - P. 21 1.5 Fejezet Kúpok.
M.A. Krasnoselsky, E.A. Lifshitz, A.V. Szobolev. POZITÍV LINEÁRIS RENDSZEREK – Pozitív operátorok módszere. - "Nauka", Fizikai és matematikai irodalom főkiadása, 1985. - (A rendszerelemzés elmélete és módszerei).
Stolfi. Orientált projektív geometria: Keretrendszer geometriai számításokhoz. - San Diego, London: Academic Press, Inc., 1991. - ISBN 0-12-672025-8 .
Moreau JJ A seprési folyamat numerikus vonatkozásai. Comput. MethodsAppl. Mech. Engrg. 177 (1999) 329-349 https://web.archive.org/web/20150616073514/http://www.continuousphysics.com/ftp/pub/test/files/physics/papers/moreau.99.pdf
A. Marshall, I. Olkin. Egyenlőtlenségek: majorizációs elmélet és alkalmazásai. - M . : "Mir", 1983.
R. Stanley. Enumeratív kombinatorika. - M . : "Mir", 1990. - ISBN 5-030001348 -2.
P. Panaginotopoulos. Egyenlőtlenségek a mechanikában és alkalmazásaik: Az energia konvex és nem konvex függvényei. - M . : "Mir", 1989. - ISBN 5-03-000498-X .
K. Leuchtweiss. Konvex halmazok. - Moszkva: "Nauka" A fizikai és matematikai irodalom főkiadása, 1985. - ISBN 5-03-000498-X .
Panina G.Yu. Toric fajták. Bevezetés az algebrai geometriába. – Dubna, 2009.
R. Edwards. Funkcionális elemzés: elmélet és alkalmazások. - M . : "Mir", 1969.
H. Schaefer. Topológiai vektorterek. - M . : "Mir", 1971.
S. S. Kutateladze. A konvex geometria többcélú problémái // Siberian Mathematical Journal. - "Mir", 2009. - V. 50 , sz. 5 .