Kúpos kombináció

A kúpkombináció ( kúpösszeg , súlyozott összeg ) az euklideszi térben lévő vektorok véges halmazán végzett művelet, amely ezt a halmazt a következő alakú vektorral társítja: $x_{1},x_{2},\pontok ,x_{n}$

{\displaystyle \alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n))

ahol minden szám kielégíti az [1] [2] feltételt . $\alpha_i$ $\alpha _{i}\geqslant 0$

Az elnevezés onnan ered, hogy a vektorok kúpos összege egy kúpot határoz meg (talán egy kisebb dimenziójú altérben).

A kúphéj egy adott halmaz összes kúpkombinációjának halmaza , amelyet [1] vagy [2] jelöl . Azaz: $S$ $\operatorname {cone} (S)$ $\operatorname {coni} (S)$

\operatorname {coni} (S)=\left\lbrace \sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}\;{\Big |}\;x_{i }\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\,\alpha _{i}\geq 0,i,k=1,2,\dots \right\rbrace

Definíció szerint az eredet minden kúpos héjhoz tartozik.

Egy halmaz kúpos teste domború halmaz . Valójában ez az összes olyan konvex kúp metszéspontja, amely tartalmazza a -t , egyesítve az origóval [1] . Ha egy kompakt tér (főleg, ha véges számú pontból áll), nem szükséges az origót hozzáadni az összes konvex kúp metszéspontjához. $S$ $S$ $S$

Ha egy kúpkombináció minden együtthatóját elosztjuk az összes együttható összegével, akkor világossá válik, hogy minden nullától eltérő kúpkombináció skálázott konvex kombináció [1] . Ebben az összefüggésben a kúpkombinációk és a kúptestek konvex kombinációknak és konvex héjaknak tekinthetők a projektív térben .

Bár a kompakt készlet domború hajóteste is kompakt készlet, ez a kúpos hajótestre nem igaz, mivel az általában határtalan. Ráadásul egy kompakt halmaz kúpos teste nem is feltétlenül zárt halmaz – ellenpélda az origón áthaladó gömb , amelynek kúpos teste egy nyitott féltér plusz az origó. Ha azonban egy nem üres kompakt halmaz, amely nem tartalmazza az origót, akkor a halmaz kúpos héja zárt halmaz [1] . $S$ $S$

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 5 Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal. Konvex elemzési és minimalizálási algoritmusok I. rész: Alapok . - Springer-Verlag , 1993. - 20. évf. 305. - P. 101-102. — (Grundlehren der matematischen Wissenschaften). — ISBN 3-540-56850-6 .
↑ 1 2 Melvyn W. Jeter. Matematikai programozás: Bevezetés az optimalizálásba . - New York: Marcel Dekker, Inc., 1986. - Vol. 102. - P. 68. - (Monográfiák és tankönyvek a tiszta és alkalmazott matematikából). — ISBN 0-8247-7478-7 .