Maximális és minimális elemek

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 30-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Egy részlegesen rendezett halmaz elemét maximális elemnek nevezzük , ha $M$ $A$

$\forall a\in A\;(a\geqslant M\Rightarrow a=M).$

Hasonlóképpen egy elemet minimálisnak mondunk , ha $m\in A$

$\forall a\in A\;(a\leqslant m\Rightarrow a=m).$

Így van írva (ennek megfelelően a minimalitás tulajdonságot a következővel írják ). Lineárisan rendezett halmaz esetén (például a valós egyenes természetes rendű részhalmaza esetén) a maximális (ill. minimum) elem fogalma egybeesik a legnagyobb (illetve a legkisebb ) elem fogalmával. ) elem, de általános esetben ezek a fogalmak eltérnek: a legnagyobb elem mindig a maximum, fordítva nem mindig igaz, hiszen egy maximális elemnél létezhetnek vele össze nem hasonlítható elemek. $M=\max A$ $m=\min A$ $\mathbb {R}$

Egy részhalmaznak nincs maximális eleme, hacsak nincs felülről korlátos. Még ha ez a halmaz felülről korlátos is, akkor is előfordulhat, hogy nincs maximális elem (bár mind az infimum , mind a supremum létezik minden korlátos halmazhoz). Például egy intervallumnak nincs minimum vagy maximum eleme . $\mathbb {R}$ $A=\bal({a,b}\jobb)$

Irodalom

Ivanov G. E. Előadások a matematikai elemzésről. 1. rész - M . : MIPT , 2000. - 359 p. - 800 példányban. — ISBN 5-7417-0147-7 .

Lásd még

Maximalizálási és minimalizálási érvek