Egyezés

A kongruencia egy algebrai rendszeren lévő ekvivalencia reláció , amely az alapműveletek során megmarad. A fogalom fontos szerepet játszik az univerzális algebrában : minden kongruencia létrehoz egy megfelelő faktorrendszert - az eredeti algebrai rendszer felosztását ekvivalenciaosztályokba a kongruencia tekintetében.

Definíció

A halmazon lévő relációt stabilnak nevezzük az ezen a halmazon definiált -ary művelethez képest , ha a halmaz bármely elemére ( ) a reláció igazsága ( ) következik a reláció igazságából . $\theta(x_1, \lpontok, x_m)$ $A$ $n$ $f$ $a_{i1}, \ldots, a_{im}$ $i = 1, \ldots, n$ $A$ $\theta(a_{i1}, \ldots, a_{im})$ $i = 1, \ldots, n$ $\theta(f(a_{11}, \ldots, a_{n1}), \ldots, f(a_{1m}, \ldots, a_{nm}))$

Egy relációt nevezünk kongruenciának egy algebrai rendszeren , ha a rendszer minden főműveletére nézve stabil . (Ennél a definíciónál a kongruencia fogalma nem függ a rendszer mögöttes összefüggéseitől .) $\theta$ $\mathfrak A$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}}$

Tényezőrendszer

Egy hányadoshalmazra épülő algebrai rendszer esetén az összes műveletre és relációra vonatkozó kongruenciával természetesen bevezetik a műveleteket és a relációkat a megfelelő koszetteken: $\mathfrak A = (A, \mathit\Phi, \mathit\Rho)$ $A / \theta$ $\theta \subseteq A^2$ $f_i \in \mathit\Phi$ $r_i \in \mathit\Rho$

f_i^\star ([a_1]_\theta, \dots, [a_n]_\theta) = [f_i(a_1, \dots, a_n)]_\theta

r_i^\star ([a_1]_\theta, \pontok, [a_m]_\theta) \Baljobbra nyíl \exists(b_1\in[a_1]_\theta, \dots, b_m\in[a_m]_\theta) r_i(b_1, \pontok, b_m)

A kapott rendszert faktorrendszernek jelöljük és nevezzük, a szabály által meghatározott térképet pedig kanonikus epimorfizmusnak . $\mathfrak{A} / \theta$ $h_\theta \colon \mathfrak{A} \to \mathfrak{A} / \theta$ $h_\theta(a) = [a]_\theta$

Ennek a rendszernek az összes kongruenciájának halmaza egy teljes rácsot alkot az egyesülési és metszésponti műveletek tekintetében , és meghatározza a befogadási relációt is: $\mathrm{Con}(\mathfrak{A})$

\theta_1 \leqslant \theta_2 \Bal jobbra \forall a, b \in A \, a \,\theta_1\, b \to a \,\theta_2 \, b

Egy adott algebrai rendszer kongruenciáinak bármely halmazára érvényes a következő eredmény ( Remak tétele ): a kongruenciák halmazának metszéspontja feletti faktorrendszer a halmaz minden kongruenciája feletti faktorrendszerek közvetlen szorzatába ágyazódik be: $\{\theta_i, i \in I\} \subseteq \mathrm{Con}(\mathfrak{A})$

\mathcal{A} / \bigcap_{i \in I}{\theta_i} \hookrightarrow \prod_{i \in I}{\mathfrak{A} / \theta_i}

Irodalom

Artamonov V. A. . fejezet VI. Univerzális algebrák // Általános algebra / Szerk. szerk. L. A. Szkornyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Referencia matematikai könyvtár). — 25.000 példány. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Maltsev, A. I. Algebrai rendszerek. — M .: Nauka , 1970. — 392 p. - 17 500 példány.