Coxeter szám

A Coxeter-szám egy véges irreducibilis Coxeter-csoport jellemzője . Abban az esetben, ha a Coxeter-csoport egy egyszerű Lie-algebra Weyl-csoportja , akkor az algebra Coxeter-számáról beszélünk . $\mathfrak g$ $\mathfrak g$

A koncepció Harold Coxeter nevéhez fűződik .

Definíció

Számos egyenértékű definíció létezik erre a számra.

A Coxeter-szám egyenlő a gyökök számával osztva a ranggal. Ezzel egyenértékűen a Coxeter-szám kétszerese a Coxeter-csoport tükröződéseinek számának osztva a ranggal. Ha a csoport egy egyszerű Lie algebrára épül, akkor ennek az algebrának a dimenziója n ( h + 1), ahol n a rang, h pedig a Coxeter-szám.
A Coxeter elem (néha a Killing-Coxeter elem ) minden egyszerű tükröződés eredménye (nem tévesztendő össze a Coxeter csoport legnagyobb hosszúságú elemével). A Coxeter szám a Coxeter elem sorrendje .
Ha az egyszerű gyökök legmagasabb gyökének kiterjesztése, akkor a Coxeter-szám . $\theta=\sum m_i \alpha_i$ $1+\sum m_i$
- Ezzel egyenértékűen, ha olyan elem, hogy , akkor . $\rho^\vee$ $\langle\rho^\vee,\alpha_i\rangle=1$ $h=\langle\rho^\vee,\theta\rangle+1$
A Coxeter-szám a Coxeter-csoport alapinvariánsainak legnagyobb hatványa.

Értéktáblázat

Coxeter csoport és Schläfli szimbólum		Coxeter grófja	Dynkin diagram	Coxeter szám $h$	Coxeter kettőse $h^\vee$	Az alapinvariánsok fokozatai
A n	[3,3...,3]	...	...	n + 1	n + 1	2, 3, 4, ..., n + 1
B n	[4,3...,3]	...	...	2n _	2n - 1	2, 4, 6, ..., 2n
C n	[4,3...,3]	...	...	2n _	n + 1	2, 4, 6, ..., 2n
D n	[3,3,..3 1,1 ]	...	...	2n - 2	2n - 2	n_ _ 2, 4, 6, ..., 2n − 2
E 6	[3 2,2,1 ]			12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E 7	[3 3,2,1 ]			tizennyolc	tizennyolc	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E 8	[3 4,2,1 ]			harminc	harminc	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F4_ _	[3,4,3]			12	9	2, 6, 8, 12
G2_ _	[6]			6	négy	2, 6
H3_ _	[5,3]		-	tíz		2, 6, 10
H4 _	[5,3,3]		-	harminc		2, 12, 20, 30
I 2 ( p )	[p]		-	p		2. o

Változatok és általánosítások

Dual Coxeter szám

Abban az esetben, ha a Coxeter-csoport egy egyszerű Lie-algebra Weil-csoportja, bevezethetjük a kettős (kettős) Coxeter-számot . Úgy tűnik, ez a fogalom először Springer és Steinberg 1970-es cikkében jelent meg [1] , és gyakran találkozunk vele a reprezentációelméletben . Ezt a számot a következő módok bármelyikével meghatározhatja. $\mathfrak{g}$ $h^\vee$

Ha a pozitív gyökök fele összege, és a legmagasabb gyök, akkor . $\rho$ $\theta$ $h^\vee=\langle \rho , \theta\rangle+1$
Ha a legidősebb rövid gyökér egyszerű gyökökre bomlik, akkor . $\theta_m=\sum m_i \alpha_i$ $h^\vee=\sum m_i+1$
A duális Coxeter-szám duplája egyenlő a Lie algebrán szereplő két invariáns szimmetrikus bilineáris alak arányával : a Killing alakkal és azzal a formával, amelyben a legmagasabb gyök hossza 2. $\mathfrak{g}$
A fenti táblázat szerint.

Az egyszerű kapcsolatokkal rendelkező Lie algebráknál a Coxeter-szám és a kettős Coxeter-szám megegyezik. A kettős Coxeter-számot nem szabad összetéveszteni a kettős Lie algebra Coxeter-számával.

Egy affin Lie algebra esetén a -vel egyenlő szintértéket kritikusnak nevezzük, és ehhez az értékhez az univerzális burkológörbe-algebra nagy középponttal rendelkezik. $\widehat{\mathfrak{g))$ $-h^\vee$

Jegyzetek

↑ Milyen szerepet játszik a "kettős Coxeter-szám" a hazugságelméletben - Mathoverflow?

Linkek

N. Bourbaki, A matematika elemei, Lie-csoportok és algebrák, IV-VI. fejezet, M.: Mir, 1972.
J. Humphreys, Reflection group and Coxeter group, Cambridge University Press, 1990.
Etingof, Pavel I.; Frenkel, Igor; Kirillov, Alexander A. (1998), Lectures on Representation Theory and Knizhnik–Zamolodchikov Equations, Mathematical Surveys and Monographs 58, American Mathematical Society, ISBN 0821804960