Reduktív csoport

A reduktív csoport olyan algebrai csoport , amelynek egységkomponensének unipotens gyökje [ triviális. Egy nem zárt mező felett egy algebrai csoport reduktivitását úgy definiáljuk, mint a talajmező zárása feletti reduktivitását . $G$ $G^{0}$

A lineárisan reduktív csoport olyan csoport, amelynek minden racionális reprezentációja teljesen redukálható. Bármely lineárisan reduktív csoport reduktív. A 0 karakterisztikájú mező felett ennek a fordítottja is igaz, vagyis ezek a tulajdonságok egyenértékűek.

A reduktív csoportok közé tartoznak a legfontosabb csoportok, mint például az invertálható mátrixok teljes lineáris csoportja GL ( n ) , a speciális ortogonális csoport SO ( n ) és az Sp ( 2n ) szimplektikus csoport . Az egyszerű algebrai csoportok és (általánosabb) félig egyszerű algebrai csoportok reduktívak.

Claude Chevalley kimutatta, hogy a reduktív csoportok osztályozása megegyezik bármely algebrailag zárt mezővel . Különösen az egyszerű algebrai csoportokat Dynkin-diagramok osztályozzák , mint a kompakt Lie-csoportok vagy az összetett félig egyszerű Lie-csoportok elméletében . Egy tetszőleges mező feletti reduktív csoportokat nehezebb besorolni, de sok mező esetében, mint például az R valós számmező vagy a számmező , az osztályozás meglehetősen egyértelmű. Az egyszerű véges csoportok osztályozása kimondja, hogy a legtöbb véges egyszerű csoport egy egyszerű G algebrai csoport G ( k ) k racionális pontjaként [ egy k véges mező felett , vagy egy ilyen konstrukció enyhén deviáns változataként.

A reduktív csoportok számos kontextusban gazdag reprezentációs elmélettel rendelkeznek. Először is tanulmányozhatjuk a G reduktív csoport reprezentációit egy k mező felett, mint algebrai csoportokat, amelyek a G csoport cselekvései egy k vektortéren. A G ( k ) csoport komplex reprezentációit is tanulmányozhatjuk, amikor k véges mező, a valós reduktív csoport végtelen dimenziós unitárius reprezentációja vagy az algebrai adele csoport automorf reprezentációja en] . A reduktív csoportok szerkezetelméletét mindezen területeken alkalmazzák.

Definíció

A k mező feletti lineáris algebrai csoport a GL ( n ) csoport sima zárt alcsoportsémája egy k mező felett valamilyen n pozitív egész számra . Ezzel egyenértékűen egy k feletti lineáris algebrai csoport egy k mező feletti sima affin csoportséma .

Egy algebrailag zárt mező felett összefüggő G lineáris algebrai csoportot félegyszerűnek mondunk , ha G bármely simán összefüggő oldható normális részcsoportja triviális. Általánosabban fogalmazva, egy algebrailag zárt mező felett összefüggő G lineáris algebrai csoportot reduktívnak mondunk, ha G bármely simán összefüggő unipotens normális részcsoportja triviális [1] . (Egyes szerzők nem írnak elő konnektivitást a reduktív csoportokhoz.) Egy tetszőleges k mező feletti G csoportot félig egyszerűnek vagy reduktívnak mondjuk, ha a [2] báziskiterjesztéssel kapott séma félig egyszerű vagy reduktív, ahol a mező algebrai lezárása k . (Ez megegyezik a reduktív csoportok definíciójával, feltéve, hogy a k mező tökéletes [3] .) A k mező feletti bármely tórusz , mint például a G m multiplikatív csoport , reduktív. $G_{\overline {k))$ ${\overline {k))$

A nem reduktív lineáris algebrai csoport alapvető példája a G a additív csoport egy mező felett.

A k mező feletti G lineáris algebrai csoportot egyszerűnek (vagy k - egyszerű ) nevezzük , ha félig egyszerű, nem triviális, és G bármely simán összefüggő normál részcsoportja egy k mező felett triviális vagy egyenlő G -vel [4] . (Egyes szerzők ezt a tulajdonságot "majdnem egyszerűnek" nevezik.) Ez némileg eltér az absztrakt csoportterminológiától, mivel egy egyszerű algebrai csoportnak lehet nem triviális középpontja (bár a középpontnak végesnek kell lennie). Például bármely 2-nél nem kisebb n egész szám és bármely k mező esetén az SL ( n ) csoport k felett egyszerű, és középpontja az egység μ n n - edik gyökének csoportséma .

A reduktív csoportok központi izogénje egy szürjektív homomorfizmus egy véges központi alcsoport-séma formájában lévő kernellel . Bármely mező feletti reduktív csoport beenged egy központi izogeniát egy tórusz és néhány egyszerű csoport szorzatából. Például bármely k mező felett ,

GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}.

Kicsit ügyetlennek tűnik, amikor egy mező fölött reduktív csoportot határozunk meg, ami egy algebrai lezárásra utal. Egy tökéletes k mező esetén ez elhagyható – egy k mező feletti G lineáris algebrai csoport akkor és csak akkor reduktív, ha G bármely simán összefüggő unipotens normál k -alcsoportja triviális . Egy tetszőleges mező esetében az utolsó tulajdonság egy pszeudo-reduktív csoportot határoz meg , ami valamivel általánosabb.

A k mező feletti G reduktív csoportot splitnek nevezzük, ha tartalmaz egy felosztott maximális T tórusz k felett ( vagyis egy G - beli osztott tórusz , amelynek alapja változása maximális tórusz ad benne ). Alexander Grothendieck szerint ez egyenértékű azzal, hogy azt mondjuk, hogy T egy kettéosztott tórusz G -ben, ahol T a maximális a G -beli k -tori között [5] . ${\overline {k))$ $G_{\overline {k))$

Példák

A reduktív csoport alapvető példája az invertálható n × n mátrixok teljes lineáris csoportja GL ( n ) egy n természetes szám k mezőjén . Konkrétan a G m multiplikatív csoport egy GL (1) csoport, majd a k -racionális pontokból álló G m ( k ) csoportja a k csoport k * nem nulla elemeinek csoportja szorzással. Egy másik reduktív csoport az SL ( n ) speciális lineáris csoport a k mező felett , 1-es determinánsú mátrixok alcsoportja. Valójában az SL ( n ) egy egyszerű algebrai csoport n -re, nem kevesebb, mint 2.

Fontos egyszerű csoport a k mező feletti Sp (2 n ) szimplektikus csoport , a GL (2 n ) csoport alcsoportja , amely a k 2 n vektortéren egy nem degenerált váltakozó bilineáris formát őriz . Szintén az O ( q ) ortogonális csoport az általános lineáris csoport alcsoportja, amely megőrzi a q nem degenerált másodfokú formát a k mező feletti vektortéren . Az O ( q ) algebrai csoportnak két összefüggő komponense van , és az SO ( q ) azonossági komponense reduktív, és valójában egyszerű q esetén , amelynek n mérete legalább 3 . egy páratlan n , az O ( q ) csoportséma valójában össze van kötve, de nem sima k felett. Egy egyszerű SO ( q ) csoport mindig definiálható O ( q ) maximális sima összefüggő részcsoportjaként egy k mező felett .) Ha a k mező algebrailag zárt, akkor bármely két azonos dimenziójú (nem degenerált) másodfokú alak izomorf, ezért célszerű ezt a csoportot SO ( n )-nek nevezni. Egy általános k mezőre az n dimenzió különböző másodfokú formái adhatnak nemizomorf egyszerű csoportokat SO ( q ) k felett , bár mindegyiküknek van bázisváltozása algebrai zárásra . ${\overline {k))$

A reduktív csoportok egyéb leírásai

Bármely kompakt összekapcsolt Lie csoportnak van egy komplexitása , ami egy komplex reduktív algebrai csoport. Valójában ez a konstrukció egy az egyhez megfeleltetést ad a kompakt összekapcsolt Lie csoportok és az összetett reduktív csoportok között (az izomorfizmusig). Egy kompakt K Lie-csoport esetében G komplexezéssel a K -ből a G komplex reduktív csoportba ( C ) való felvétel homotópia ekvivalencia a G ( C ) klasszikus topológiájához képest. Például az U ( n ) unitárius csoportból a GL ( n , C )-be való felvétel homotópia-ekvivalencia.

Egy karakterisztikus nullával rendelkező mező feletti reduktív G csoport esetén a G csoport (mint algebrai csoport) összes reprezentációja teljesen redukálható, azaz irreducibilis (redukálható) reprezentációk közvetlen összege [6] . Ez a tény a "reduktív" név eredete. Megjegyzendő azonban, hogy a teljes redukálhatóság nem érvényes a pozitív jellemzőkkel rendelkező reduktív csoportokra (a tori kivételével). Részletesebben, egy k mező feletti véges típusú G affin csoportsémát lineárisan reduktívnak nevezünk, ha reprezentációi teljesen reduktívak. Egy nulla karakterisztikus k mezőre a G csoport akkor és csak akkor lineárisan reduktív, ha a G csoport G o azonosságkomponense reduktív [7] . A p >0 karakterisztikájú k mezőre azonban Masayoshi Nagata kimutatta, hogy egy G csoport akkor és csak akkor lineárisan reduktív, ha a G o csoport multiplikatív típusú , és G / G o koprime sorrendje p -re [8]. .

Roots

A reduktív algebrai csoportok osztályozása a kapcsolódó gyökérrendszer alapján történik , mint a komplex félig egyszerű Lie-algebrák vagy a kompakt Lie-csoportok elméleteiben.

Legyen G egy felosztott reduktív csoport egy k mező felett, és legyen T egy felosztott maximális tórusz G -ben . Ekkor T izomorf valamilyen n -re , és n - t G rangjának nevezzük . A T tórusz bármely reprezentációja (mint algebrai csoport) 1-dimenziós reprezentációk közvetlen összege [9] . A G csoport súlya a T tórusz egydimenziós reprezentációinak izomorfizmus osztályát jelenti , vagy ezzel egyenértékű homomorfizmust . A súlyok az ábrázolások tenzorszorzatával alkotják az X ( T ) csoportot , ahol X ( T ) izomorf a Zn egész számok csoportjának n példányának szorzatával . $(G_{m})^{n}$ ${\displaystyle T\to G_{m))$

Az adjunkt reprezentáció a G csoportnak a Lie algebráján végzett konjugációja . A G csoport gyöke nullától eltérő súlyt jelent, amely a tórusz működésében jelenik meg a -n . Az egyes gyökeknek megfelelő tér altere egydimenziós, a T tórusz által rögzített tér altere pedig pontosan a T tórusz Lie algebrája [ 10 ] . Ezért a G csoportok Lie algebrája felbomlik egydimenziós alterekre, amelyeket a Φ gyökhalmaz indexel: $\mathfrak g$ $T\subset G$ $\mathfrak g$ $\mathfrak g$ $\mathfrak g$ ${\mathfrak {t))$ ${\mathfrak {t))$

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {t}}\oplus \oplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }.

Például, ha G egy GL csoport ( n ), akkor a Lie algebra a k mező feletti összes mátrix vektortere . Legyen T a G -beli átlós mátrixok részcsoportja . Ekkor a gyökérterekre való bontás az átlós mátrixok és az 1-dimenziós alterek közvetlen összegeként fejeződik ki, átlón kívüli pozíciókkal indexelve ( i , j ). Ha a súlyrács standard alapját L 1 ,..., L n jelöli, a gyökök 1 - től n -ig lesznek elemek . ${{\mathfrak {g}}l}(n)$ $n\szer n$ ${{\mathfrak {g}}l}(n)$ ${\displaystyle X(T)\cong \mathbf {Z} ^{n))$ ${\displaystyle L_{i}-L_{j))$ $i \ne j$

Egy félig egyszerű csoport gyökerei gyökérrendszert alkotnak . Ez egy kombinatorikus szerkezet, amely teljesen osztályozható. Általánosabban fogalmazva, egy reduktív csoport gyökerei a gyökéradatok kissé eltérő változatát alkotják [11] . A G reduktív csoport Weil-csoportja egy maximális tórusz tórusszal való normalizálójának hányadoscsoportját jelenti . A Weil-csoport valójában egy véges csoport, amelyet a reflexiók generálnak. Például a GL ( n ) (vagy SL ( n )) csoport esetében a Weyl-csoport az S n szimmetrikus csoport . $W=N_{G}(T)/T$

Egy adott maximális tóruszot véges számú Borel-alcsoport tartalmaz, és ezeket a Weil-csoport egyszerűen tranzitív módon permutálja ( konjugációként viselkedve ) [12] . A Borel-alcsoport választása pozitív gyökhalmazt határoz meg azzal a tulajdonsággal, hogy Φ Φ + és −Φ + diszjunkt uniója . Nyilvánvaló, hogy a B Borel alcsoport Lie algebrája a T csoport Lie algebrájának és a pozitív gyökök tereinek közvetlen összege : $\Phi ^{+}\subset \Phi$

{\mathfrak {b}}={\mathfrak {t}}\oplus \oplus _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }.

Például, ha B a felső háromszögmátrixok Borel-alcsoportja GL -ben ( n ), akkor ez nyilvánvalóan a felső háromszögmátrixok altérbeli dekompozíciója . A pozitív gyökerek a . ${\mathfrak b}$ ${{\mathfrak {g}}l}(n)$ ${\displaystyle L_{i}-L_{j))$ $1\leqslant i<j\leqslant n$

Az egyszerű gyök olyan pozitív gyöket jelent, amely nem két pozitív gyök összege. Jelölje az összes egyszerű gyök halmazával. A G kommutátor alcsoportjának rangjával egyenlő egyszerű gyökök r számát G félegyszerű rangjának nevezzük ( ami G egyszerű rangja, ha G félegyszerű). Például az egyszerű csoportgyökök (vagy ) a . $\delta$ $GL(n)$ $SL(n)$ $L_{i}-L_{i+1}$ $1\leqslant i\leqslant n-1$

A gyökérrendszereket a megfelelő Dynkin-diagramok osztályozzák , amelyek véges gráfok (amelyekben egyes élek iránya vagy többszöröse lehet). A Dynkin-diagram csúcsainak halmaza az egyszerű gyökök halmaza. Röviden, a Dynkin-diagram leírja az egyszerű gyökök közötti szögeket és azok relatív hosszát, figyelembe véve a súlyrácson a (Weyl-csoport invariáns) skalárszorzatát . Az alábbiakban az összekapcsolt Dynkin-diagramokat mutatjuk be (amelyek az egyszerű csoportoknak felelnek meg).

Egy k mező felett felosztott G reduktív csoport esetében a fontos az, hogy a gyök nemcsak G Lie algebrájának egy 1-dimenziós alterét határozza meg, hanem a G -beli G a additív csoport másolatát is az adott Lie algebrával . , amelyet U α gyökér alcsoportnak nevezünk . A gyökér alcsoport a G -beli additív csoport egyetlen olyan másolata, amelyet a T tórusz normalizál , és amely rendelkezik az adott Lie algebrával [10] . A teljes G csoportot (mint algebrai csoportot) a tórusz T és a gyökér alcsoportok, míg a Borel B alcsoportot a T tórusz és a pozitív gyökér alcsoportok generálják. Valójában egy felosztott félig egyszerű G csoportot egyetlen gyökér alcsoport generál.

Parabolikus alcsoportok

Egy k mező felett felosztott G reduktív csoport esetén G simán összefüggő részcsoportjai, amelyek G adott B Borel-alcsoportját tartalmazzák, egy az egyhez felelnek meg az egyszerű gyökök Δ halmazának részhalmazainak (vagy ezzel egyenértékűen a csúcshalmaz egy részhalmazának) a Dynkin-diagram). Legyen r a Δ halmaz sorrendje, a G csoport félig egyszerű rangja . G bármely parabola alcsoportja G ( k ) valamely elemével konjugált egy B -t tartalmazó alcsoporthoz . Ennek eredményeként pontosan 2 r konjugáltsági osztálya van a parabola alcsoportoknak egy G csoportban egy k mező felett [13] . Nyilvánvaló, hogy a Δ halmaz adott S részhalmazának megfelelő parabola részcsoport az a csoport, amelyet a B alcsoport generál az S -ből származó α gyökéralcsoportjaival együtt . Például a GL ( n ) csoport parabolikus alcsoportjai, amelyek a Borel B alcsoportot tartalmazzák , olyan invertálható mátrixcsoportok, amelyekben nulla bejegyzés található egy adott négyzethalmaz alatt az átló mentén, például: ${\displaystyle U_{-\alpha ))$

\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*&*\\*&*&*&*\\0&0&*&*\\0&0&0&*\end{bmatrix}}\right\}

Definíció szerint a G reduktív csoport P parabola alcsoportja egy k mező felett egy sima k -alcsoport úgy, hogy a G / P hányadosváltozat megfelelő k felett , vagy ezzel egyenértékű projektív k felett . Ekkor a parabolikus alcsoportok osztályozása ekvivalens a projektív homogén fajták G - hez való besorolásával (sima stacionárius alcsoporttal, azaz nincs korlátozás a nulla karakterisztikával rendelkező k mezőre). GL ( n ) esetén ez egy zászlósokaság , amely adott a 1 ,..., a i méretű lineáris alterek sorozatát paraméterezi , amelyek egy n dimenziójú V fix vektortérben találhatók :

0\subset S_{a_{1}}\subset \cdots \subset S_{a_{i}}\subset V.

Egy ortogonális csoport vagy szimplektikus csoport esetében a projektív homogén fajták leírása hasonló az izotróp zászlós fajtákhoz, amelyek adott kvadratikus vagy szimplektikus formát kapnak. Bármely B Borel-alcsoporttal rendelkező reduktív G csoport esetében a G / B - t a G csoport zászlóváltozatának vagy zászlóváltozatának nevezik .

Az osztott reduktív csoportok osztályozása

Chevalley 1958-ban kimutatta, hogy az algebrailag zárt mező feletti reduktív csoportokat gyökök szerint osztályozzák az izomorfizmusig [14] [15] . Az algebrailag zárt mezőn lévő félig egyszerű alcsoportokat Dynkin-diagramjaik a központi izogeniáig osztályozzák, míg az egyszerű csoportok az összekapcsolt diagramoknak felelnek meg. Vagyis vannak egyszerű A n , B n , C n , D n , E 6 , E 7 , E 8 , F 4 , G 2 típusú csoportok . Ez az eredmény lényegében megegyezik Wilhelm Killing és Ely Joseph Cartan által az 1880-as és 1890-es években a kompakt Lie-csoportok vagy az összetett félig egyszerű Lie-algebrák osztályozásával . Különösen az egyszerű algebrai csoportok méretei, középpontjai és egyéb tulajdonságai nyerhetők az egyszerű Lie-csoportok listájából . Figyelemre méltó, hogy a reduktív csoportok ezen osztályozása nem függ a jellemzőitől . Összehasonlításképpen, sokkal több egyszerű Lie-algebra van pozitív karakterisztikával, mint nulla karakterisztikával.

A G 2 és E 6 típusú kivételes G csoportokat korábban, legalábbis absztrakt G ( k ) csoportok formájában Leonard Dickson készítette . Például a G 2 csoport az oktonionalgebra automorfizmuscsoportja a k mező felett . Ezzel szemben az F 4 , E 7 , E 8 típusú Chevalley csoportok egy pozitív karakterisztikával rendelkező mező felett teljesen újak voltak.

Általánosságban elmondható, hogy az osztott reduktív csoportok osztályozása minden területen azonos [16] . Egy k mező feletti félig egyszerű G csoportot egyszerűen összefüggőnek mondjuk , ha a félig egyszerű csoportból a G csoportba vezető bármely központi izogén izomorfizmus. (A komplex számok feletti félig egyszerű G csoport esetében, ha ebben az értelemben egyszerűen összefüggő tér, az ekvivalens azzal, hogy a G ( C ) csoport egyszerűen összefüggő tér a klasszikus topológiában.) A Chevalley osztályozás azt mutatja, hogy bármely k mező fölött létezik . egyedi egyszerű, egyszerűen összekapcsolt osztott félig egyszerű G csoport adott Dynkin diagrammal, az összekapcsolt diagramoknak megfelelő egyszerű csoportokkal. Ezzel szemben egy félig egyszerű csoport konjugált típusú , ha a középpontja triviális. Egy adott Dynkin-diagrammal rendelkező k mezőre osztott egyszerű csoportok pontosan a G / A csoportok , ahol G egy egyszerűen összefüggő csoport, A pedig G középpontjának k -alcsoportjának sémája .

Például a „klasszikus” Dynkin-diagramoknak megfelelő, egyszerűen összekapcsolt osztott egyszerű csoportok a k mező felett a következők:

A n : SL ( n +1) k felett ;
B n : Spin(2 n +1) spinor csoport , amely a 2 n +1 dimenzió másodfokú alakjához kapcsolódik n Witt - indexszel , például

q(x_{1},\ldots ,x_{2n+1})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{ 2n}+x_{2n+1}^{2};

C n : Sp (2 n ) szimplektikus csoport k felett ;
D n : a Spin(2 n ) osztott csoport , amely n Witt-indexű 2 n dimenziójú másodlagos alakhoz kapcsolódik , amely a következőképpen írható fel:

q(x_{1},\ldots ,x_{2n})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n} .

Egy k mező felett felosztott G reduktív csoport külső automorfizmuscsoportja izomorf G gyökadatainak automorfizmuscsoportjával. Ezenkívül a G automorfizmuscsoportja félig közvetlen szorzatként hasad:

\operatorname {Aut} (G)\cong \operatorname {Out} (G)\ltimes (G/Z)(k),

ahol Z a G csoport középpontja [17] . Egy mező felett felosztott, félig egyszerű, egyszerűen összekapcsolt G csoport esetében a G csoport külső automorfizmusainak csoportja egyszerűbb leírással rendelkezik: ez a G csoport Dynkin-diagramjainak automorfizmusainak csoportja .

Reduktív csoportok sémái

A G csoportsémát az S sémával szemben reduktívnak mondjuk , ha a morfizmus sima és affin, és bármely geometriai szál reduktív. ( S egy p pontja esetén a megfelelő geometriai szál azt jelenti, hogy a G csoport alapját a p maradék mező algebrai lezárásával helyettesítjük .) Chevalley, Demazure és Grothendieck munkájának kiterjesztése azt mutatta, hogy egy reduktív csoport sémái kettéválnak. minden nem üres S sémát gyökéradatok alapján osztályozzuk [18] [19] . Ez az állítás magában foglalja a Chevalley-csoportok, mint Z feletti csoportsémák létezését , és azt állítja, hogy az S sémán keresztül bármely felosztott reduktív csoport izomorf azzal, hogy a Chevalley-csoport bázisát Z -ről S -re változtatja. $G\to S$ $G_{\overline {k))$ ${\overline {k))$

Valódi reduktív csoportok

A Lie -csoportok kontextusában algebrai csoportok helyett a valódi reduktív csoport egy G Lie-csoport úgy, hogy létezik egy L lineáris algebrai csoport R felett, amelynek azonosságkomponense ( a Zariski topológiában ) reduktív, és egy homomorfizmus, amelynek kernel véges. és amelynek képe L ( R ) -ben nyitott (a klasszikus topológiában). Általában azt feltételezik, hogy az Ad( G ) adjunkt reprezentáció képe benne van (ami automatikusan megtörténik egy kapcsolt G csoport esetén ) [20] . $G\to L(\mathbf {R} )$ $\mathrm {Int} (g_{\mathbf {C} })=\mathrm {Ad} (L^{0}(\mathbf {C} ))$

Konkrétan minden összekapcsolt félig egyszerű Lie csoport (ami azt jelenti, hogy a Lie algebra félig egyszerű) reduktív. Ebben az értelemben a Lie csoport is reduktív, mivel a GL (1, R ) ≅ R * csoport identitáskomponensének tekinthető . A valódi reduktív csoportok osztályozásának problémája nagymértékben lecsökken az egyszerű Lie-csoportok osztályozásánál. A Satake diagramjaik alapján osztályozzák őket . Utalhatunk az egyszerű Lie-csoportok listájára is (véges borítókig).

Valós reduktív csoportokra általánosságban kidolgozták az elfogadható reprezentációk és az egységes reprezentációk hasznos elméleteit . A fő különbség e definíció és a reduktív alegbrai csoport definíciója között az, hogy egy R feletti G algebrai csoport összekapcsolható algebrai csoportként, de nem kapcsolható Lie csoportként G ( R ), és hasonlóan egyszerűen összefüggő csoportok esetén.

Például a PGL (2) projektív csoport algebrai csoportként kapcsolódik tetszőleges mezőhöz, de valós pontcsoportjának PGL (2, R ) két összefüggő komponense van. A PGL (2, R ) identitáskomponense (néha PSL -nek (2, R )) egy valódi reduktív csoport, amely nem tekinthető algebrai csoportnak. Hasonlóképpen, SL (2) egyszerűen össze van kötve algebrai csoportként bármely mező felett, de az SL (2, R ) Lie csoportnak van egy alapvető csoportja , amely izomorf a Z egész számok csoportjával , így SL (2, R ) nem triviális takaró terek . Definíció szerint az SL (2, R ) csoport minden véges fedője (például a metaplektikus csoport ) valódi reduktív csoport. Másrészt az SL (2, R ) csoport univerzális borítója nem reduktív csoport, annak ellenére, hogy algebrája reduktív , azaz egy félig egyszerű Lie algebra és egy Abeli Lie algebra szorzata.

Egy összefüggő valós G reduktív csoportra a G csoport G / K hányadosváltozata a K maximális kompakt alcsoporttal egy nem kompakt típusú szimmetrikus tér . Valójában bármilyen nem kompakt típusú szimmetrikus teret kapunk így. Ezek központi példái a nem pozitív metszetgörbületű gyűjtők Riemann-geometriájának . Például az SL (2, R )/ SO (2) egy hiperbolikus sík , az SL (2, C )/ SU (2) pedig egy hiperbolikus 3 dimenziós tér.

Egy olyan k mező feletti G reduktív csoportnál , amely egy diszkrét értékeléshez (például Q p p-adikus számokhoz ) képest teljes, G affin szerkezete X szimmetrikus tér szerepét tölti be. Nevezetesen, X egy egyszerű komplexum G ( k ) hatására , és G ( k ) megőrzi a CAT(0) metrikát X -en , amely egy nem pozitív görbületű metrika analógja. Az affin struktúrák dimenziója megegyezik a G csoport k -rangjával . Például az SL (2, Q p ) csoport szerkezete egy fa .

Reduktív csoportok ábrázolásai

Egy k mező felett felosztott G reduktív csoport esetén a G csoport (mint algebrai csoport) irreducibilis reprezentációit fősúlyokkal paraméterezzük, amelyeket a súlyrács és a konvex kúp ( Weil-kamra ) metszéspontjaként határozunk meg R n -ben. . Ez a paraméterezés különösen nem függ a k mező jellemzőitől . Részletesebben, ha rögzítünk egy hasított maximális tórusz és egy Borel alcsoportot, akkor B egy félig közvetlen szorzata egy T tórusznak egy simán kapcsolódó unipotens U alcsoporttal . A legnagyobb súlyú vektort a G csoport V reprezentációjában a k mező felett nem nulla v vektorként definiáljuk úgy, hogy B a v vektor által generált egyenest önmagába képezi le. Ekkor B hat ezen az egyenesen a T faktorcsoportján keresztül az X ( T ) súlyrács valamely elemén keresztül . Chevalley kimutatta, hogy a G csoport bármely irreducibilis reprezentációja rendelkezik egy skalárig terjedő legnagyobb súlyú egyedi vektorral. A megfelelő "legnagyobb súly" a domináns, és bármely fősúly a G csoport egyedi irreducibilis reprezentációjának legnagyobb súlya az izomorfizmusig [21] . ${\displaystyle X(T)\cong \mathbf {Z} ^{n))$ $T\subset B\subset G$ $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ $L(\lambda )$

A probléma továbbra is az irreducibilis ábrázolás leírása a megadott maximális súllyal. Egy karakterisztikus nullával rendelkező k mezőre teljesen teljes válaszok vannak. A fősúlyhoz a Schur-modulust egy G - ekvivalens egydimenziós köteg metszeteinek k -vektortereként definiáljuk a G / B zászlósokaton , amelyhez kapcsolódik . A modul a G csoport reprezentációja . Egy karakterisztikus nullával rendelkező k mezőre a Borel-Weil tétel kimondja, hogy egy irreducibilis reprezentáció izomorf a Schur modulussal . Ezenkívül a Weyl-képlet az karakterekre megadja ennek a reprezentációnak a karakterét (és különösen a dimenzióját). $\lambda$ $\nabla (\lambda )$ $\lambda$ $L(\lambda )$ $\nabla (\lambda )$

Egy pozitív karakterisztikájú k mező felett felosztott G reduktív csoport esetében a helyzet sokkal finomabb, mivel G reprezentációi jellemzően nem az irreducibilisek közvetlen összege. A fősúly esetében az irreducibilis reprezentáció a Schur modul egyetlen egyszerű almodulja ( socle ) , de nem feltétlenül egyenlő a Schur modullal. George Kempf szerint a Schur-modulus dimenzióját és karakterét a Weyl-karakter adja (mint a karakterisztikus nulla esetében) [22] . Az irreducibilis reprezentációk dimenziója és karakterei általában nem ismertek, bár számos elméleti fejlesztés történt ezen reprezentációk elemzésére. Henning Andersen, Jens Jentzen és Wolfgang Sorgel fontos eredménye (bizonyítva Lustig sejtését ), hogy a dimenzió és a karakter akkor ismert, ha a k mező p jellemzői sokkal nagyobbak, mint a G csoport Coxeter-száma . Nagy p karakterképletük a Kazhdan-Lustig polinomokra támaszkodik , amelyek kombinatorikusan összetettek [23] . Simon Rich és Geordie Williamson megsejtette a reduktív csoport irreducibilis karaktereit bármely p prímszámra a Kazhdan-Lustig p -polinomok alapján, amelyek még bonyolultabbak, de legalábbis kiszámíthatók [24] . $\lambda$ $L(\lambda )$ $\nabla (\lambda )$ $L(\lambda )$ $L(\lambda )$

Nem osztott reduktív csoportok

Ahogy fentebb leírtuk, az osztott reduktív csoportok besorolása minden területen azonos. Ezzel szemben a tetszőleges reduktív csoportok osztályozása a mögöttes területtől függően eltérő nehézségekkel járhat. Néhány példa a klasszikus csoportok közül

Bármilyen nem degenerált q másodfokú alak egy k mező felett meghatároz egy G = SO ( q ) reduktív csoportot . Itt G egyszerű, ha q mérete n legalább 3, mivel izomorf SO ( n )-vel az algebrai zárás felett . A G csoport k -rangja megegyezik a q alakú Witt-indexszel (egy izotróp altér maximális dimenziója k felett ) [25] . Így egy egyszerű G csoport akkor és csak akkor oszlik k -ra , ha q -nak a lehető legnagyobb Witt indexe van, . $G_{\overline {k))$ ${\overline {k))$ $\lfloor n/2\rfloor$
Bármely központi egyszerű algebra A k felett egy G = SL (1, A ) reduktív csoportot határoz meg , a redukált normák magját az A * egységcsoporton (mint k feletti algebrai csoport ). Az A algebra foka az A dimenziójának négyzetgyökét jelenti k -vektortérként . Itt G egyszerű, ha A n foka legalább 2, mivel izomorf SL ( n ) felett . Ha A -nak r indexe van (ami azt jelenti, hogy A izomorf a k feletti r fokú D osztásalgebra mátrixalgebrájával ), akkor G k -rangja ( n / r ) – 1 [26] . Így egy egyszerű G csoport akkor és csak akkor osztódik k -re , ha A mátrixalgebra k felett . $G_{\overline {k))$ ${\overline {k))$ $M_{n/r}(D)$

Ennek eredményeként a reduktív csoportok k mező feletti osztályozásának problémája magában foglalja az összes másodfokú alak k fölé vagy az összes központi egyszerű algebra k feletti osztályozásának problémáját . Ezek a problémák egyszerűek egy algebrailag zárt k mező esetén , és érthetők néhány más mező esetében, mint például a számmezők, de sok nyitott kérdés van tetszőleges mezőkre vonatkozóan.

A k mező feletti reduktív csoportot izotrópnak mondjuk , ha k -rangja nagyobb, mint 0 (vagyis ha nem triviális hasított tórusz van benne), ellenkező esetben anizotropnak mondjuk . Egy k mező feletti félig egyszerű G csoport esetén a következő feltételek egyenértékűek:

G izotróp (azaz G a G m multiplikatív csoport egy példányát tartalmazza k felett );
G tartalmaz egy parabola alcsoportot k felett , amely nem egyenlő G -vel ;
G a G a adalékanyagcsoport egy példányát tartalmazza k felett .

Ha a k mező tökéletes, ez egyenértékű azzal, hogy G ( k ) 1-től eltérő unipotens elemet tartalmaz [27] .

Egy karakterisztikus nulla karakterisztikus nullájú k lokális mező (például a valós számok) felett összefüggő lineáris algebrai G csoport esetén a G ( k ) csoport akkor és csak akkor kompakt a klasszikus topológiában (a k mező topológiája alapján ) , ha G reduktív és anizotróp [28] . Példa: egy R feletti SO ( p , q ) ortogonális csoport min( p , q ) rangú, és akkor és csak akkor anizotrop, ha p vagy q egyenlő nullával [25] .

Egy k mező feletti G reduktív csoportot kvázi felosztottnak mondunk , ha tartalmaz egy k feletti Borel-alcsoportot . Az osztott reduktív csoport kvázi felosztása. Ha G kváziosztva van k felett, akkor G bármely két Borel-alcsoportja konjugált G ( k ) valamely elemével [29] . Példa: Egy SO ( p , q ) ortogonális csoport R felett akkor és csak akkor , és kvázi akkor és csak akkor, ha [25] . $|pq|\leqslant 1$ $|pq|\leqslant 2$

Félig egyszerű csoportok felépítése absztrakt csoportokként

Egy k mező felett egyszerűen összekapcsolt , félig egyszerű G csoportra Robert Steinberg explicit definíciót adott a G ( k ) absztrakt csoportra [30] . A csoportot a k mező additív csoportjának másolata hozza létre, amelyet a G csoport (a gyökök egy alcsoportja) gyökerei indexelnek, a G csoport Dynkin diagramja által meghatározott kapcsolatokkal .

Egy tökéletes k mező fölött egyszerűen összekapcsolt, felosztott G csoporthoz Steinberg meghatározza a G ( k ) absztrakt csoport automorfizmuscsoportját is . Bármely automorfizmus egy belső automorfizmus , egy átlós automorfizmus (ami egy maximális tórusz megfelelő pontjával való konjugációt jelent ), egy gráfautomorfizmus (amely egy Dynkin-diagram automorfizmusának felel meg) és egy mező automorfizmus (egy automorfizmusból eredő) terméke. a mező k ) [31] . ${\overline {k))$

Egy k -egyszerű algebrai G csoportra a Tits-féle egyszerűségi tétel kimondja, hogy a G ( k ) absztrakt csoport enyhe körülmények között közel áll egy egyszerű csoporthoz. Nevezetesen tegyük fel, hogy a G csoport izotróp egy k mező felett , és tegyük fel, hogy a k mezőnek legalább 4 eleme van. Legyen a G ( k ) absztrakt csoport egy alcsoportja, amelyet a G -ben található G a additív csoport k feletti k - pontos másolatai generálnak . (Feltételezve, hogy a G csoport izotróp k -ra , a csoport nem triviális, sőt Zariski sűrű is G -n , ha k végtelen.) Ekkor a csoport faktorcsoportja a középpontjához képest egyszerű (absztrakt csoportként) [32] [33] . A bizonyítás a párok (B, N) elrendezését használja Jacques Tits által . ${\displaystyle G(k)^{+))$ ${\displaystyle G(k)^{+))$ ${\displaystyle G(k)^{+))$

A 2. vagy 3. sorrendű mezők kivételei jól fejlettek. Ha k = F 2 , Tits egyszerűségi tétele igaz marad, kivéve ha G egy A 1 , B 2 vagy G 2 típusú osztott csoport vagy egy nem osztott (azaz egységes) A 2 típusú . k = F 3 esetén a tétel igaz, kivéve azt az esetet, amikor G A 1 típusú [34] .

Egy k -egyszerű G csoport esetében a teljes G ( k ) csoport megértéséhez figyelembe vesszük a Whitehead csoportot . Egy egyszerűen összekötött és kvázi felosztott G csoport esetén a Whitehead csoport triviális, a teljes G ( k ) csoport pedig a központjának prímmodulja [35] . Általánosabban, a Kneser-Cinege sejtés azt kérdezi, hogy mely izotróp k - egyszerű csoportokra triviális a Whitehead-csoport. Az összes ismert példában W ( k , G ) Abel-féle. ${\displaystyle W(k,G)=G(k)/G(k)^{+))$

Egy anizotróp k -egyszerű G csoport esetén a G ( k ) absztrakt csoport távolról sem lehet egyszerű. Legyen például D egy osztásalgebra , amelynek középpontja k p -adikus mező . Tegyük fel, hogy D dimenziója k felett véges és nagyobb 1-nél. Ekkor G = SL (1, D ) egy anizotróp k -egyszerű csoport. Mint fentebb említettük, G ( k ) kompakt a klasszikus topológiában. Mivel ez is egy teljesen szétkapcsolt tér , G ( k ) profinit csoport (de nem véges). Ennek eredményeként G ( k ) végtelen sok véges indexű normál részcsoportot tartalmaz [36] .

Rácsok és aritmetikai csoportok

Legyen G egy Q racionális számok feletti lineáris algebrai csoport . Ekkor G kiterjeszthető egy affin G csoportsémára Z felett, és ez meghatároz egy absztrakt G csoportot ( Z ). Az aritmetikai csoport a G ( Q ) csoport bármely olyan alcsoportját jelenti , amely összemérhető G -vel ( Z ). (A G ( Q ) alcsoport aritmetikaisága független a Z - struktúra megválasztásától.) Például SL ( n , Z ) az SL ( n , Q ) csoport aritmetikai alcsoportja .

Egy G Lie csoport esetében a G - beli rács a G csoport diszkrét Γ részcsoportját jelenti úgy, hogy a G /Γ sokaság véges térfogatú (figyelembe véve a G -invariáns mértéket). Például egy diszkrét Γ részcsoport egy rács, ha G /Γ kompakt. Margulis aritmetizálási tétele különösen azt állítja, hogy egy legalább 2-vel egyenlő valós rangú egyszerű G Lie-csoport esetén G bármely rácsa egy aritmetikai csoport.

Galois-akció Dynkin-diagramokon

A nem feltétlenül felosztott reduktív csoportok osztályozásának keresésekor az egyik lépés a Tits index , amely a problémát az anizotróp csoportok esetére redukálja. Ez a redukció általánosít néhány alapvető algebrai tételt. Például a Witt-dekompozíciós tétel kimondja, hogy egy mező feletti nem degenerált másodfokú formát az izomorfizmusig a Witt-index és egy anizotróp mag határozza meg. Hasonlóképpen, az Artin-Wedderburn-tétel a központi egyszerű algebrák mező feletti osztályozását osztásalgebrák esetére redukálja. Ezeket az eredményeket általánosítva Tits kimutatta, hogy a k mező feletti reduktív csoportot az izomorfizmusig a Tits indexe határozza meg, valamint az anizotrop mag, a hozzá tartozó anizotróp félig egyszerű k - csoport.

Egy k mező feletti G reduktív csoport esetén a Gal( k s / k ) abszolút Galois-csoport (folyamatosan) a G csoport "abszolút" Dynkin-diagramjára, azaz a G csoport Dynkin-diagramjára hat az elválasztható felett. zárás k s (ami a G csoport Dynkin-diagramja az algebrai zárás felett ). A G csoport Tits indexe a G k s csoport gyökéradataiból, a Dynkin-diagram Galois-műveleteiből, valamint a Dynkin-diagram csúcsainak Galois-invariánsainak egy részhalmazából áll. Hagyományosan a Tits indexet egy adott részhalmazban a Galois-pályák körüli kör képviseli. ${\overline {k))$

Ezekben a kifejezésekben a kvázi felosztott csoportok teljes osztályozása létezik. Ugyanis a Dynkin-diagramon a k mező abszolút Galois-csoportjának minden egyes akciójához létezik egy egyedi egyszerűen összefüggő félig egyszerű kvázi felosztott H csoport a k mező felett egy adott akcióval. (Egy kvázi felosztott csoport esetén a Dynkin-diagram bármely Galois-pályája be van karikázva.) Ezen túlmenően bármely más egyszerűen összefüggő félegyszerű G csoport k felett egy adott cselekvéssel belső alakja a H kvázi osztott csoportnak , amely azt jelenti, hogy a G csoport a Galois-kohomológia halmaz H 1 ( k , H / Z ) egy eleméhez kapcsolódik , ahol Z a H csoport középpontja . Más szavakkal, G a H csoport torziója, amely valamilyen H / Z -torzorral van társítva k felett , a következő részben leírtak szerint.

Példa: Legyen q egy nem-degenerált másodfokú alak, páros 2 n dimenzióval egy k mező felett, amelynek karakterisztikája nem egyenlő 2-vel, ahol (ezek a korlátozások elhagyhatók). Legyen G egy egyszerű SO ( q ) csoport k felett . A G csoport abszolút Dynkin-diagramja egy D n típusú csoport úgy, hogy az automorfizmuscsoport 2-es rendű, és a D n diagram két "ágát" kapcsolja át . Egy k mező abszolút Galois-csoportjának hatása a Dynkin-diagramon akkor és csak akkor triviális, ha a q alakú (előjeles) d diszkrimináns a k */( k *) 2 mezőben triviális. Ha d nem triviális, akkor a Dynkin-diagramon a Galois-műveletben van kódolva: a Galois-csoport 2-es indexű részcsoportja, amely identitásként működik, a csoport . Egy G csoport akkor és csak akkor osztódik fel, ha q -nak a lehetséges legnagyobb Witt-indexe van n , és G akkor és csak akkor, ha q Witt indexe legalább n − 1 [25] . $n\geqslant 5$ $\operatorname {Gal} (k_{s}/k({\sqrt {d))))\subset \operatorname {Gal} (k_{s}/k)$

Torsorok és a Hasse-elv

A torzor egy kmező felettiGaffin csoportséma eseténegykfelettiXaffin sémátGcsoportműveletével, úgy, hogyizomorf egy olyan csoporthoz, ahola csoportművelet bal oldali átvitele önmagán történik. A torzort úgy is tekinthetjük, mint egy fő G-köteget kfelett,ha az fppf topológiát ak, vagy az étale topológiát , ha aGsimak. AGalois-kohomológia nyelvén H1(k,G-nek nevezik aztG-torzorokosztályainak izomorfizmusak $X_{\overline {k))$ $G_{\overline {k))$ $G_{\overline {k))$

Torzorok akkor keletkeznek, amikor egy adott Y algebrai objektum alakjait egy k mező fölé próbáljuk besorolni , ami azt jelenti, hogy az X objektumok k mező fölé kerülnek, amelyek a k mező algebrai záródása során Y - val izomorfokká válnak . Ugyanis az ilyen formák (az izomorfizmusig) egy az egyben megfelelnek a H 1 ( k ,Aut( Y ) halmaznak). Például a k feletti n dimenziójú (nem degenerált) másodfokú alakokat H 1 ( k , O ( n ) osztályozza ) , a k feletti n fokú központi egyszerű algebrákat pedig H 1 ( k , PGL ( n ) osztályozza ) ). Egy adott G algebrai csoport k -formáit is (amit néha G "torziójának" neveznek ) a H 1 ( k ,Aut( G )) osztályoz . Ezek a problémák a G -torzorok szisztematikus tanulmányozását teszik szükségessé, különösen a G reduktív csoportok esetében .

Amikor csak lehetséges, megpróbáljuk osztályozni a G -torsorokat kohemológiai invariánsok segítségével , amelyek Galois-féle kohemológiai invariánsok M , H a ( k , M ) Abel - együttható csoportokkal . Ebben az irányban Steinberg bebizonyította a Serra I sejtést : egy összefüggő lineáris G algebrai csoportra egy tökéletes kohomológiai dimenziójú mező felett, H 1 ( k , G ) = 1 [37] (véges esete). mező korábban Lenga tételként volt ismert ). Ebből például az következik, hogy egy véges mező felett bármely reduktív csoport kvázi felhasad.

A Serra II sejtés azt jósolja, hogy egy egyszerűen összefüggő félig egyszerű G csoportra egy kohomológiai dimenziójú mező felett legfeljebb 2 H 1 ( k , G ) = 1. A sejtés egy tisztán képzeletbeli számmezőről ismert (amely Kohomológiai dimenziója van 2) . Általánosabban fogalmazva, bármely k számmezőre Martin Kneser, Günther Harder és Vladimir Chernousov (1989) bebizonyította a Hasse-elvet – egy k mező felettegyszerűen összekapcsolt félig egyszerű G csoportra a leképezés

H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)

bijektíven [38] . Itt v átfut a k mező minden helyén , és k v a megfelelő helyi mező (esetleg R vagy C ). Ráadásul a megjelölt ponthalmaz triviális minden nem archimédeszi k v lokális mezőre , ezért csak a k mező valós helyei jelentősek. A pozitív karakterisztikájú globális k mező hasonló eredményét korábban Harder (1975) bizonyította – bármely egyszerűen összefüggő félegyszerű G csoportra egy k mező felett , triviális (mivel k -nek nincs valós helye) [39] [40] . $H^{1}(k_{v},G)$ $H^{1}(k,G)$

A G csoport k számmező feletti adjunkt ábrázolásának egy kicsit eltérő esetben a Hasse-elv gyengébb formában érvényes: a természetes leképezés.

H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)

injektív módon [39] . G = PGL ( n ) esetén ez ekvivalens az Albert-Brauer-Hasse-Noether tétellel , amely szerint egy számmező feletti egyszerű központi algebrát helyi invariánsok határoznak meg.

A félig egyszerű csoportok számmezőn alapuló osztályozása a Hasse-elv alapján jól fejlett. Például pontosan három Q -alakja van az E 8 kivételes csoportnak, amelyek megfelelnek az E 8 csoport három valós formájának .

Lásd még

A hazugság típusú csoportok véges egyszerű csoportok, amelyeket véges mezők feletti egyszerű algebrai csoportokból kapunk.
Általánosított zászló sokaság , Bruhat dekompozíció , Schubert sokaság , Schubert kalkulus
Schur Algebra , Deligne-Lustig elmélet
Valós forma (Lee-elmélet)
Weil sejtése a Tamagawa számokra
Langlands osztályozás , Langlands kettős csoport , Langlands program , Langlands geometriai megfeleltetés
Különleges csoport
Geometriai invariáns elmélet , Haboush tétel

Jegyzetek

↑ SGA 3 v3, 2011 , p. Definíció XIX.1.6.1.
↑ Az alap bővítéséről (vagy cseréjéről) lásd: Hartshorne's Algebraic Geometry, 124. oldal.
↑ Milne, 2017 , p. 21.60. javaslat.
↑ Conrad, 2014 , p. javaslat után 5.1.17.
↑ Borel, 1991 , p. 18.2. i.
↑ Milne, 2017 , p. 22.42. tétel.
↑ Milne, 2017 , p. Következmény 22.43.
↑ Demazure, Gabriel, 1970 , p. Tétel IV.3.3.6.
↑ Milne, 2017 , p. 12.12. tétel.
↑ Milne 12. , 2017 , p. 21.11. tétel.
↑ Milne, 2017 , p. Következmény 21.12.
↑ Milne, 2017 , p. 17.53. javaslat.
↑ Borel, 1991 , p. Javaslat 21.12.
↑ Chevalley, 2005 .
↑ Springer, 1998 , p. 9.6.2, 10.1.1.
↑ Milne, 2017 , p. Tételek 23.25, 23.55.
↑ Milne, 2017 , p. Következmény 23.47.
↑ SGA 3 v3, 2011 , p. XXV.1.1. tétel.
↑ Conrad, 2014 , p. 6.1.16., 6.1.17. tétel.
↑ Springer, 1979 , p. szakasz 5.1.
↑ Milne, 2017 , p. 22.2. Tétel.
↑ Jantzen, 2003 , p. II.4.5. tétel, Következmény II.5.11.
↑ Jantzen, 2003 , p. szakasz II.8.22.
↑ Riche, Williamson, 2018 , p. szakasz 1.8.
↑ 1 2 3 4 Borel, 1991 , p. szakasz 23.4.
↑ Borel, 1991 , p. szakasz 23.2.
↑ Borel, mellek, 1971 , p. Corollaire 3.8.
↑ Platonov, Rapinchuk, 1991 , p. 127, 1. tétel.
↑ Borel, 1991 , p. 20.9(i) tétel.
↑ Steinberg, 2016 , p. 8. tétel.
↑ Steinberg, 2016 , p. 30. tétel.
↑ Cicik, 1964 , p. Főtétel.
↑ Gille, 2009 , p. bevezetés.
↑ Cicik, 1964 , p. szakasz 1.2.
↑ Gille, 2009 , p. 6.1. tétel.
↑ Platonov, Rapinchuk, 1991 , p. 552 9.1.
↑ Steinberg, 1965 , p. 1.9. tétel.
↑ Platonov, Rapinchuk, 1991 , p. 318, 6. tétel.
↑ 1 2 Platonov, Rapinchuk, 1991 , p. 316, 4. tétel.
↑ Platonov, Rapinchuk, 1991 , p. 404 6.8.

Irodalom

Hartshorne R. Algebrai geometria. - Moszkva: Mir, 1981.
Armand Borel. Lineáris algebrai csoportok. — 2. - New York: Springer Nature , 1991. - ISBN 0-387-97370-2 . - doi : 10.1007/978-1-4612-0941-6 .
- Borel A. Lineáris algebrai csoportok. - Moszkva: Mir, 1972.
Armand Borel Elements unipotents et sous-groupes paraboliques de groupes réductifs. I. // Inventiones Mathematicae . - 1971. - T. 12 . – S. 95–104 . - doi : 10.1007/BF01404653 . — .
Claude Chevalley. Classification des groupes algebriques semi-simples. - Springer Nature , 2005. - (Összegyűjtött művek, 3. kötet). — ISBN 3-540-23031-9 .
Brian Conrad. Reduktív csoportsémák // Autour des schémas en groups . - Párizs: Société Mathématique de France , 2014. - Vol. 1. - P. 93–444. - ISBN 978-2-85629-794-0 .
Michel Demazure, Pierre Gabriel. Csoportosítja az algebrikákat. I. kötet: Géométrie algébrique, generalités, groupes commutatifs. - Párizs: Masson, 1970. - ISBN 978-2225616662 .
Demazure M., Grothendieck A. Schémas en groupes (SGA 3), I: Propriétés générales des schémas en groupes / Gille P., Polo P.. - Société Mathématique de France , 2011. - ISBN 978-2-856-29-32 2 . Az 1970-es eredeti átdolgozott és jegyzetekkel ellátott kiadása.
Demazure M., Grothendieck A. Schémas en groupes (SGA 3), II: Groupes de type multiplicatif, et structure des schémas en groupes généraux. – Berlin; New York: Springer-Verlag , 1970. - ISBN 978-3540051800 . - doi : 10.1007/BFb0059005 .
Demazure M., Grothendieck A. Schémas en groupes (SGA 3), III: Structure des schémas en groupes réductifs / Gille P., Polo P.. - Société Mathématique de France , 2011. - ISBN 978-2-856-29-324 9 . Az 1970-es eredeti átdolgozott és jegyzetekkel ellátott kiadása.

Philip Gille. Le problème de Kneser-Tits // Séminaire Bourbaki. Vol. 2007/2008 . - Société Mathématique de France , 2009. - T. 326. - S. 39–81. - (Csillag). — ISBN 978-285629-269-3 .
Jens Carsten Jantzen. Algebrai csoportok ábrázolásai . — 2. - American Mathematical Society , 2003. - ISBN 978-0-8218-3527-2 .
Milne JS algebrai csoportok: A mező feletti véges típusú csoportsémák elmélete. - Cambridge University Press , 2017. - ISBN 978-1107167483 . - doi : 10.1017/9781316711736 .
Platonov V.P., Rapinchuk A.S. Algebrai csoportok és számelmélet. - M . : "Tudomány" Ch. szerk. Fizika-Matek. Lit., 1991.
VL Popov (2001), R/r080440 , in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Simon Riche, Geordie Williamson. Dönthető modulok és a p -Canonical Basis . - Société Mathématique de France , 2018. - T. 397. - (Asterisque). - ISBN 978-2-85629-880-0 .
Tony A. Springer. Reduktív csoportok // Automorf formák, reprezentációk és L - függvények . - American Mathematical Society , 1979. - V. 1. - S. 3-27. - ISBN 0-8218-3347-2 .
Tony A. Springer. Lineáris algebrai csoportok. — 2. - Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1998. - Vol. 9. - (Matematika fejlődése). — ISBN 978-0-8176-4021-7 . - doi : 10.1007/978-0-8176-4840-4 .
- A Springer T.A. Lineáris algebrai csoportok // Algebrai geometria - 4. - 1989. - V. 55. - (Itogi nauki i tekhniki VINITI. Sovr. Prob. Math. Fundam. Irány).

Robert Steinberg. Félig egyszerű algebrai csoportok reguláris elemei // Publications Mathématiques de l'IHÉS . - 1965. - T. 25 . – 49–80 . - doi : 10.1007/bf02684397 .
Robert Steinberg. Előadások a Chevalley csoportokról. - Amerikai Matematikai Társaság , 2016. - ISBN 978-1-4704-3105-1 . - doi : 10.1090/ulect/066 .
- Steinberg R. Előadások a Chevalley-csoportokról. - Moszkva: "Mir", 1975. - (A "Matematika" gyűjtemény könyvtára).
Jacques Tits. Algebrai és absztrakt egyszerű csoportok // Annals of Mathematics . - 1964. - T. 80 . – S. 313–329 . - doi : 10.2307/1970394 .

Csoportelmélet
Alapfogalmak	Alcsoport Normál alcsoport Tényezőcsoport Munka közvetlen félig közvetlen ingyenes
Algebrai tulajdonságok	kommutatív csoport Ciklikus csoport rendelt csoport Transform Group Megoldható csoport Schreier Lemmája Lagrange-tétel Sylow tételei Egyszerű véges csoportok osztályozása
véges csoportok	Véges ciklikus csoport C n Szimmetrikus csoport S n Diéder csoport D n Váltakozó csoport A n Klein négyes csoport Mathieu csoportok M11_ _ M12_ _ M22 _ M23_ _ M24 _ Conway csoportok Co 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankó csoportok J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Fisher csoportok F22_ _ F 23 F24 _ Szörny (M)
Topológiai csoportok	Hazugságcsoportok O(n) ortogonális csoport Speciális ortogonális csoport SO(n) U(n) egységes csoport Különleges egységes csoport SU(n) Szimlektikus csoport Sp(n) Kivételes Egyszerű Lorentz csoport Poincaré csoport
Algoritmusok csoportokon	Schreier – Sims Todd – Coxeter Fourier transzformáció