Pár (B, N)
A ( B , N ) pár egy Lie típusú csoporton lévő struktúra , amely lehetővé teszi, hogy sok eredményre egységes bizonyítást adjunk ahelyett, hogy nagyszámú bizonyítást vizsgálnánk változatonként. Nagyjából elmondható, hogy a pár azt mutatja, hogy minden ilyen csoport hasonló a teljes lineáris csoporthoz . A párokat Jacques Tits matematikus vezette be , ezért néha mellrendszereknek is nevezik őket .
Definíció
A ( B , N ) pár egy G csoport B és N alcsoportjaiból álló pár, amely kielégíti az axiómákat [1]
- A B és N csoport egyesülése G -t generál .
- A B és N csoportok H metszéspontja N normál alcsoportja .
- A W = N/H csoportot a w i 2. rendű elemek S halmaza állítja elő i -re valamilyen nem üres I halmazban .
- Ha w i S eleme, w pedig W bármely eleme , akkor w i Bw benne van a Bw i wB és BwB unióban .
- Nincs w i generátor normalizálja B -t .
A definíció mögött az az elképzelés áll, hogy B a GL n ( K ) teljes lineáris csoport felső háromszögmátrixainak analógja, H az átlós mátrixok analógja, N pedig a H normalizáló analógja .
A B alcsoportot néha Borel-alcsoportnak , a H -t Cartan-alcsoportnak , a W -t pedig Weil-csoportnak nevezik . A pár ( W , S ) egy Coxeter rendszer .
A generátorok számát rangnak nevezzük .
Példák
- Tegyük fel, hogy G bármely kétszeresen tranzitív permutációs csoport egy kettőnél több elemű X halmazon . Legyen B egy G részcsoportja, amely az x pontot a helyén hagyja, és N egy olyan részcsoport, amely a két x és y pontot a helyén hagyja, vagy helyet cserél . A H alcsoport ekkor olyan elemekből áll, amelyek az x és az y pontot is a helyükön hagyják, W 2-es rendű, és nem triviális eleme permutálja x és y elemet .
- Megfordítva, ha G -nek van egy (B, N) 1-es rangú párja , akkor G -nek B cosetjeire gyakorolt hatása kétszeresen tranzitív . Így az 1. rangú BN párok többé-kevésbé megegyeznek a kettőnél több elemből álló halmaz kettős permutációjával.
- Tételezzük fel, hogy G egy teljes GL n ( K ) lineáris csoport egy K mező felett . Vegyük a felső háromszögmátrixokat B - nek , az átlós mátrixokat H -nak, az általánosított permutációs mátrixokat pedig N -nek , azaz. mátrixok pontosan egy nullától eltérő elemmel minden oszlopban és minden sorban. Van n − 1 w i generátor , amelyeket az átlós mátrix sorainak permutációjával kapott mátrixok képviselnek.
- Általánosabban, a Lie típusú bármely csoportnak van BN-párja.
- Egy lokális mező feletti reduktív algebrai csoportnak van egy BN-párja, ahol B egy iwahori alcsoport .
BN párral rendelkező csoportok tulajdonságai
A w leképezés a BwB -re egy izomorfizmus a W csoport elemeinek halmazától a G csoport B -re vonatkoztatott kettős koseteinek halmazáig . Az osztályok Bruhat dekompozíciót alkotnak G = BWB .
Ha T az S részhalmaza , akkor legyen W ( T ) W részhalmaza, amelyet T egy részhalmaza generál . Meghatározzuk , hogy G ( T ) = BW ( T ) B a T standard parabola alcsoportja . A G -nek a B -vel konjugált alcsoportokat tartalmazó alcsoportjai parabolikus alcsoportok [2] . B kosetjeit Borelnek (vagy minimális parabola-alcsoportoknak) nevezzük . Pontosan ezek a standard parabola alcsoportok.
Alkalmazások
A BN-párok felhasználhatók annak bizonyítására, hogy sok Lie-típusú csoport prím modulo központ. Pontosabban, ha G -nek van olyan BN - párja, hogy B megoldható , B összes koszettjének metszéspontja triviális, és W generátorainak halmaza nem bontható két nem üres ingázási halmazra, akkor G egyszerű, ha tökéletes (akkor megegyezik a kommutátorával ). A gyakorlatban mindezek a feltételek, a G csoport tökéletességének kivételével , könnyen ellenőrizhetők. A G csoport tökéletességének ellenőrzése bonyolult számításokat igényel (és néhány Lie típusú kis csoport nem tökéletes). Azonban általában sokkal könnyebb megmutatni, hogy egy csoport tökéletes, mint megmutatni, hogy egy csoport egyszerű.
Jegyzetek
- ↑ Bourbaki, 1972 , p. 27.
- ↑ Bourbaki, 1972 , p. 34.
Irodalom
- Nicholas Bourbaki . Hazugságcsoportok és hazugságalgebrák: 4–6. - Springer, 2002. - (Matematika elemei). — ISBN 3-540-42650-7 .
- N. Bourbaki . §2. Tits system // Csoportok és Lie algebrák: Coxeter csoportok és Tits rendszerek, a gyökérrendszer tükröződései által generált csoportok / fordítás. a franciákból A.I. Kostrikin és A.N. Tyurin. - Moszkva: "Mir", 1972. - S. 26-38. — (A matematika elemei).
- Jean-Pierre Serre . fák. - Springer, 2003. - ISBN 3-540-44237-5 .