Helyi mező

A helyi mező egy meghatározott típusú mező topológiával , amely gyakran mezők kitöltéseként jelenik meg.

Definíció

A lokálisan kompakt , nem diszkrét topológiájú topológiai mezőt lokálisnak nevezzük .

Típusok

A helyi mezőknek két fő típusa van: azok, ahol az abszolút érték arkhimédeszi , és azok, ahol nem. Az előbbieket archimédeszi lokális mezőknek , míg az utóbbiakat nem archimédesi lokális mezőknek nevezik .

Bármely helyi mező izomorf (topológiai mezőként) a következő mezők egyikével:

Archimedesi lokális mezők ( a karakterisztikája nulla): a valós számok mezője és a komplex számok mezője . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$
Karakterisztikus nulla karakterisztikus lokális mezői: p -adikus számok és véges kiterjesztéseik . $\Q_p$
Nem archimédeszi lokális karakterisztikamezők : véges mező feletti formális Laurent-sorok és véges kiterjesztéseik . $p\neq 0$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$

Tulajdonságok

Általános tulajdonságok

A lokális mező additív csoportja , mint minden lokálisan kompakt topológiai csoport , egyedi (pozitív számmal való szorzásig) Haar-mértékkel rendelkezik μ.
Bármely helyi mezőben megadhat egy abszolút értéket úgy, hogy $K$ $|a|$ $|a|={\frac {\mu (aX)}{\mu (X)))$

néhány (és így bármely) mérhető részhalmazhoz egy nem nulla véges Haar mértékkel.

X\subset K

Nem archimédeszi mezők

Abszolút értékű nem archimédeszi lokális mezőben a következő definíciók adhatók meg: $K$ $|{*}|$
- Egész számok gyűrűje ${\mathcal {O}}=\{a\in K:|a|\leqslant 1\}.$
  - Egy diszkrét normált gyűrűt és egy kompakt labdát alkot . $(K,|{*}|)$
- Az egész számok gyűrűjében lévő egységeket a következőképpen definiáljuk: . ${\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in K:|a|=1\}$
  - -ban csoportot és egységgömböt alkotnak . $(K,|{*}|)$
- Az egyetlen nullától eltérő prímideál az egész számok gyűrűjében a nyitott egységgömb $\mathfrak{m}$ $\{a\in K:|a|<1\},$

képző elemét pedig uniformizáló elemnek nevezzük .

\omega \in {\mathfrak {m))

K

A maradék mező véges, mert kompakt és diszkrét . $k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}$
Ebben az esetben hol van a maradék mező hatványa . $|\omega |={\tfrac {1}{|k|}}$ $|k|$ $k$

Minden nem nulla elem felírható így , ahol egy identitáselem, egy egész szám, amelyet egyedileg határoz meg . $a\in K$ $a=\omega ^{n}\cdot u$ $u$ $n$ $a$
- Különösen $|a|=|k|^{-n}=|\omega |^{n}.$

Lásd még

globális mezőny