Globális mezőny

A globális mező kétféle mező egyike :

az algebrai számok mezője , vagyis a racionális számok mezőjének véges kiterjesztése , $\mathbb {Q}$

vagy

függvények globális mezője , azaz véges mező feletti algebrai görbén lévő függvények mezője , vagy ezzel egyenértékű, véges kiterjesztése - egy változó racionális függvényeinek mezői véges elemmező felett . $\mathbb {F} _{q}(T)$ $\mathbb {F} _{q}$ $q$

Emil Artin és George Voples 1940-ben egy axiomatikus jellemzést adtak ezeknek a mezőknek a kitevőelméleten keresztül. [egy]

Definíció

A globális mező a következő mezők egyike:

Algebrai számok mezeje

Az algebrai számok mezője a racionális számmező véges kiterjesztése (és így algebrai kiterjesztése ) . Így egy mező, amely tartalmazza a , és véges dimenziójú vektortér felett . $F$ $\mathbb {Q}$ $F$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Függvénymező egy véges mező feletti algebrai görbén

A függvények mezője egy változaton az összes racionális függvény halmaza ezen a változaton. Egy véges mező feletti algebrai görbén (vagyis egy egydimenziós sokaságon ) azt mondjuk, hogy egy nyitott affin részhalmaz racionális függvénye két polinom aránya egy affin koordinátagyűrűben , és úgy tekintjük, hogy bármely két ilyen függvény ekvivalens, ha a nyílt affin halmazok metszéspontjában egybeesnek. Ez technikailag a racionális függvényeket bármely affin részhalmaz affin koordinátagyűrűinek relációs mezőjeként határozza meg, mivel az összes ilyen részhalmaz teljes halmaza sűrű. $V$ $U$ $U$ $V$

Analógia két mezőosztály között

Számos formai hasonlóság van a két típusú mező között. A mező típusától függetlenül minden kitöltése lokálisan tömör mező (lásd a helyi mezőt ). Minden típusú mező megvalósítható egy Dedekind-gyűrű relációs mezőjeként , amelyben minden nem nulla ideálnak véges indexe van. Minden esetben van egy "termékképlet" a nullától eltérő elemekhez : $x$

\prod \limits _{v}|x|_{v}=1.\

A kétféle mező közötti analógia erős hajtóerő volt az algebrai számelméletben . Az algebrai számmezők és a Riemann-felület közötti analógia ötlete Dedekindre és Weberre nyúlik vissza a XIX. Egy szigorúbb analógia, amelyet a globális mező gondolata fejez ki, amelyben a Riemann-felület mint egy véges mező felett definiált görbékre leképezett algebrai görbe aspektusát az 1930-as években alkották meg, ami a Riemann-hipotézishez vezetett a görbék felett. véges mezők , amelyet Weil támaszt alá 1940-ben. A terminológia Weilhez kapcsolódhat, aki részben egy analógia kidolgozására írta alapszámelméletét (1967).

Általában egyszerűbb egy függvénymező esetében dolgozni, majd megpróbálni hasonló technikát kidolgozni a numerikus mező oldalán. Drámai példa erre Arakelov elméletének kidolgozása és Faltings általi felhasználása a Mordell-sejtés bizonyítására . Az analógia befolyásolta Iwasawa elméletének és fő hipotézisének fejlődését is . Az alapvető lemma bizonyításához a Langlands program olyan módszereket is alkalmazott, amelyek a számmezőt függvénymező esetére redukálták.

Tételek

Minkowski-Hasse tétel

A Minkowski-Hasse-tétel a számelmélet egyik alapvető eredménye, amely kimondja, hogy egy globális mező két másodfokú alakja akkor és csak akkor ekvivalens, ha lokális mezőkkel ekvivalensek, azaz ekvivalensek a mező bármely befejezésében .

Artin-féle kölcsönösség törvénye

Artin reciprocitási törvénye magában foglalja a globális mező abszolút Galois-csoportjának abelianizációjának leírását , amely a Hasse-elven alapul . A kohomológia szempontjából a következőképpen írható le: $K$

Legyen egy helyi mező Galois kiterjesztése Galois csoporttal . Ekkor a helyi reciprocitás törvény írja le a kanonikus izomorfizmust $L_{v}/K_{v}$ $G$

\theta _{v}:K_{v}^{\times }/N_{L_{v}/K_{v))(L_{v}^{\times })\ to G^{\mathrm {ab}},

amelyet helyi Artin szimbólumnak neveznek . [2] [3]

Legyen a globális mező Galois kiterjesztése , és legyen az ideles osztálycsoportja . A különböző leképezések egyetlen globális szimbólummá állíthatók össze az idel osztály helyi összetevőinek termékén keresztül. Artin „viszonossági” törvényének egyik állítása az, hogy ez kanonikus izomorfizmushoz vezet [4] [5] $L/K$ $C_{L}$ $L$ ${\displaystyle \theta _{v))$ $K_{v}$

Jegyzetek

↑ Artin & Whaples, 1945 és Artin & Whaples, 1946
↑ Serre (1967) 140. o
↑ Serre (1979) 197. o
↑ Neukirch (1999) 391. o
↑ Jurgen Neukirch , Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, p. 408. Valójában a kölcsönösségi törvény pontosabb változata követi nyomon az elágazást.

Linkek

Artin, Emil & Whaples, George (1945), Mezők axiomatikus jellemzése az értékelések termékképletével , Bull. amer. Math. szoc. T. 51: 469-492 , DOI 10.1090/S0002-9904-1945-08383-9
Artin, Emil & Whaples, George (1946), Megjegyzés a mezők axiomatikus jellemzéséhez , Bull. amer. Math. szoc. T. 52: 245-247 , DOI 10.1090/S0002-9904-1946-08549-3
JWS Cassels , "Global fields", in JWS Cassels és A. Frohlich (szerk.), Algebraic number theory , Academic Press , 1973. II. fejezet, pp. 45-84.
JWS Cassels, "Local fields", Cambridge University Press , 1986, ISBN 0-521-31525-5 . 56. o.
Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander & Wingberg, Kay (2008), Cohomology of Number Fields , vol. 323 (második kiadás), Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , Berlin: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-37888-4