Langlands program

A matematikában a Langlands-program a számelmélet és a geometria közötti összefüggésekről szóló messzire mutató és befolyásos hipotézisek hálózata . Robert Langlands javasolta 1967-ben és 1970-ben. Az algebrai számelmélet Galois-csoportjait az automorf formákkal és az algebrai csoportok lokális mezők és adelák feletti reprezentációelméletével kívánja összefüggésbe hozni . A Langlands programot, amelyet széles körben a modern matematikai kutatás legnagyobb projektjének tartanak, Edward Frenkel írta le. mint "a matematika nagy egységes elmélete" [1] .

Langlands megkapta a 2018 -as Abel-díjat a Langlands programért.

Kontextus

A Langlands program a korábban kidolgozott gondolatokra épül: a néhány évvel korábban Harish-Chandra és Israel Gelfand által, 1963-ban megfogalmazott parabolikus formák filozófiájára , Harish-Chandra félig egyszerű hazugságcsoportokról szóló munkájára , és szakszóval a Selberg-nyomképletre . stb.

Langlands munkásságának fő újdonsága a technikai mélység mellett az automorf formák elmélete és a reprezentációelmélet és a számelmélet közötti közvetlen kapcsolatra vonatkozó sejtésekből állt, különös tekintettel a morfizmusok közötti megfelelésre ezen elméletekben ( funkcionalitás ).

Például Harish-Chandra munkájában az az elv található, hogy amit egy félig egyszerű (vagy reduktív) hazugságcsoportért meg lehet tenni, azt mindenkiért meg kell tenni. Ezért, miután felismerték néhány alacsony dimenziós hazugság-csoport szerepét, például a moduláris formák elméletében, és utólag az osztálymezőelméletben , megnyílt az út legalább az általános eset feltételezése előtt . $\mathrm {GL} (2)$ $\mathrm {GL} (1)$ $\mathrm {GL} (n)$ $n>2$

A csúcsforma ötlete a moduláris görbék csúcsaiból származik , de jelentése is volt, a spektrumelméletben diszkrét spektrumként tekintenek , ellentétben az Eisenstein sorozat folytonos spektrumával . Ez sokkal technikaibb lesz a nagy Lie csoportok számára, mivel a parabolikus alcsoportok száma több.

Mindezekben a megközelítésekben nem volt hiány technikai módszerekben, amelyek gyakran induktív jellegűek, és többek között Levy-dekompozíción alapultak , de a terület nagyon igényes volt és marad [3] .

A moduláris formák oldalán olyan példák voltak , mint Hilbert moduláris formái, Siegel moduláris formái és théta sorozatok .

A hipotézis tárgyai

Számos kapcsolódó Langlands-hipotézis létezik. Sok különböző területen sok különböző csoport létezik, amelyekre vonatkozóan kimondhatók, és minden területre több különböző hipotézis létezik [2] . A Langland-sejtés egyes változatai határozatlanok, vagy olyan entitásoktól függnek, mint például a Langlands-csoportok , amelyek létezése nem bizonyított, vagy egy L - csoporttól, amelynek több nem egyenértékű definíciója van. Ráadásul Langlands hipotézisei azóta fejlődtek, hogy Langlands 1967-ben először felvázolta őket.

Különféle típusú objektumok vannak, amelyekre Langlands hipotézisek fogalmazhatók meg:

Reduktív csoportok ábrázolása lokális mezőkön (különböző alesetekkel, amelyek megfelelnek az arkhimédeszi lokális mezőknek, a p - adikus lokális mezőknek és a funkciómezők kiegészítéseinek )
Automorf formák reduktív csoportokon lokális mezők felett ( számmezőknek vagy függvénymezőknek megfelelő részesetekkel ).
Mezők vége . Langlands eredetileg nem foglalkozott ezzel az esettel, de hipotéziseinek vannak analógjai.
Általánosabb mezők, például a komplex számok mezője feletti függvénymezők.

Hipotézisek

Langlands hipotéziseit többféleképpen is bemutathatjuk, amelyek szorosan összefüggenek, de nem nyilvánvalóan egyenértékűek.

Kölcsönösség

A program kiindulópontjának az Artin-féle kölcsönösségi törvényt tekinthetjük , amely általánosítja a reciprocitás másodfokú törvényét . Artin reciprocitási törvénye érvényes egy algebrai számmező bármely Galois-féle kiterjesztésére, amelynek Galois-csoportja Abeli - féle ; hozzárendel néhány L - függvényt ennek a Galois-csoportnak az egydimenziós reprezentációihoz, és azt állítja, hogy ezek az L - függvények azonosak néhány Dirichlet L -sorozattal vagy általánosabb sorozattal, amelyet Hecke-karakterekből építettek fel (azaz a Riemann-zéta-függvény néhány analógjával , mint például az L ). A különböző típusú L - függvények közötti pontos megfelelés alkotja az Artin-féle kölcsönösségi törvényt.

A nem-abeli Galois-csoportok és 1-nél nagyobb dimenzió reprezentációi esetén az L-függvények természetes módon is definiálhatók: Artin L -függvények .

Langlands célja az volt, hogy megtalálja a Dirichlet-féle L-függvények megfelelő általánosítását, amely lehetővé tenné Artin megfogalmazásának általánosítását. Hecke korábban a Dirichlet L -függvényeket automorf formákkal társította ( holomorf függvények a felső félsíkon , amelyek bizonyos funkcionális egyenleteket kielégítenek). Langlands ezután automorf cuspidalis reprezentációkra általánosította őket , amelyek az adele gyűrű feletti általános lineáris csoport bizonyos végtelen dimenziós irreducibilis reprezentációi . (Ez a gyűrű egyidejűleg nyomon követi az összes befejezést , lásd a p-adic számokat .) $\mathbb {C}$ $\mathrm {GL} (n)$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Langlands automorf L-függvényeket kapcsolt ezekhez az automorf reprezentációkhoz, és azt sejtette, hogy minden Artin L - függvény, amely egy számmező Galois-csoportjának véges dimenziós ábrázolásából származik, egyenlő valamilyen L -függvénnyel, amely egy automorf cuspidális reprezentációból származik. Ez az ő kölcsönösségi hipotéziseként ismert .

Durván fogalmazva, a reciprocitás hipotézis megfeleltetést ad egy reduktív csoport automorf reprezentációi és a Langlands-csoportból L-csoportokba való homomorfizmusok között . Ennek számos változata létezik, részben azért, mert a Langlands-csoport és az L -csoport definíciói nem rögzítettek.

Ez várhatóan egy lokális mező feletti reduktív csoport megengedett irreducibilis reprezentációinak L -csomagjainak paraméterezését adja. Például a valós számok területén ez a megfelelés a valós reduktív csoportok reprezentációinak Langlands-féle osztályozása . Globális mezők felett ennek a megfelelésnek az automorf formák paraméterezését kell megadnia.

Funkcionalitás

A funkcionalitási sejtés azt állítja, hogy egy megfelelő L -csoportú homomorfizmusnak megfeleltetést kell adnia az automorf formák (globális esetben) vagy reprezentációk (lokális esetben) között. Durván szólva, a Langlands-ekvivalencia-sejtés a funkcionalitási sejtés speciális esete, amikor az egyik reduktív csoport triviális.

Általános funkcionalitás

Langlands általánosította a funkcionalitás gondolatát: az általános lineáris csoport helyett más kapcsolódó reduktív csoportok is használhatók . Ezen túlmenően egy ilyen csoport birtokában Langlands létrehoz egy duális csoportot , majd minden egyes automorf cuspidális reprezentációhoz és minden véges dimenziós reprezentációhoz definiál egy L - függvényt. Egyik sejtése szerint ezek az L -függvények eleget tesznek néhány funkcionális egyenletnek, amely általánosítja más ismert L - függvények funkcionális egyenleteit . $\mathrm {GL} (n)$ $G$ $^{L}G$ $G$ $^{L}G$

Ezután megfogalmazza a funkcionalitás nagyon általános elvét . Adott két reduktív csoport és egy (jó) morfizmus a megfelelő L -csoportok között , a funkcionalitási elv az automorf reprezentációikat úgy kapcsolja össze, hogy azok kompatibilisek legyenek L - függvényeikkel. Ebből sok más létező hipotézis következik. Ez a természete az indukált reprezentáció konstrukciójának, amit az automorf formák hagyományosabb elméletében " emelésnek " neveztek , és amely speciális esetekben ismert, ezért kovariáns (míg a korlátozott reprezentáció kontravariáns). A közvetlen konstrukció jelzésére tett kísérletek csak néhány feltételes eredményt hoztak.

Mindezek a sejtések megfogalmazhatók általánosabb mezőkre a helyett : az algebrai számok mezője (az eredeti és legfontosabb eset), a lokális mezők és a függvénymezők (a véges kiterjesztések a racionális függvények mezői egy véges elemes mező felett ). $\mathbb {Q}$ $\mathbb {F} _{p}(t)$ $p$

Geometriai hipotézisek

Az úgynevezett geometrikus Langlands program, amelyet Gerard Lomont javasolt Vladimir Drinfeld ötletei nyomán , a szokásos Langlands-program geometriai újrafogalmazásából fakad. Egyszerű esetekben egy algebrai görbe étale alapcsoportjának -adic reprezentációit a származtatott kategória objektumaihoz kapcsolja -adic sheaves vektorkötegek moduljain a görbe felett. $\ell$ $\ell$

Jelenlegi állapot

Langlands sejtése az osztálytérelméletből következik (és lényegében egyenértékű azzal) . $\mathrm {GL} (1,K)$

Langlands bebizonyította a Langland-sejtéseket az arkhimédeszi lokális mezők és csoportok esetében , megadva a Langlands-féle besorolást az ezekre a mezőkre vonatkozó irreducibilis reprezentációkról. $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

A Lie-típusú csoportok véges mezők feletti irreducibilis reprezentációinak Lustig-féle osztályozása a véges mezőkre vonatkozó Langland-sejtés analógjának tekinthető.

Andrew Wiles racionális számok feletti félig besorolható elliptikus görbék modularitásának Andrew Wiles által adott bizonyítéka a Langlands-reciprocitási sejtés példájaként tekinthető, mivel a fő gondolat az elliptikus görbékből adódó Galois-reprezentációk moduláris formákhoz való viszonyítása. Bár Wiles eredményeit alapvetően sok különböző irányban általánosították, a teljes Langland-sejtés nem bizonyított. $\mathrm {GL} (2,\mathbb {Q} )$

Laurent Lafforgue bebizonyította Lafforgue tételét , a Langland-sejtést a függvénymezők általános lineáris csoportjára . Ez a munka folytatta Drinfeld korábbi munkáját, aki bebizonyította az eset sejtését . $\mathrm {GL} (n,K)$ $K$ $\mathrm {GL} (2,K)$

Helyi Langlands sejtések

Philip Kutsko 1980-ban bebizonyította a helyi langlandi sejtéseket az általános lineáris csoportra a helyi mezőkre vonatkozóan. $\mathrm {GL} (2,K)$

Gerard Lomon , Mikhail Rapoport , Ulrich Stüler 1993-ban bebizonyította a lokális Langlands-sejtéseket az általános lineáris csoportra a pozitív karakterisztikájú lokális mezőkre. Bizonyításuk a globális érvelést használja. $\mathrm {GL} (n,K)$ $K$

Richard Taylor , Michael Harris 2001-ben bebizonyította a lokális Langlands sejtéseket az általános lineáris csoportra a 0 karakterisztikus lokális mezőkre . Guy Henniart 2000-ben újabb bizonyítékot adott. Mindkét bizonyítás a globális argumentumot használja. Peter Scholze 2013-ban újabb bizonyítékkal szolgált. $\mathrm {GL} (n,K)$ $K$

Alapvető lemma

2008-ban Ngo Bao Chau bebizonyította az alapvető lemmát , amelyet eredetileg Langlands javasolt 1983-ban, és Langlands [4] [5] programjában néhány fontos sejtést kellett bizonyítania .

Jegyzetek

↑ A Math Quartet egyesíti az egységes elméletet . Quanta (2015. december 8.). Letöltve: 2018. július 13. Az eredetiből archiválva : 2021. június 23. (határozatlan)
↑ 1 2 Frenkel, Edward (2015), Szerelem és matematika. A rejtett valóság szíve , Péter, ISBN 978-5-496-01121-1
↑ "Minden, ahogy apám fogalmazott, egy kicsit nehéz: vannak Hitchin modulusok és tükörszimmetriánk, A-bránok, B-bránok, automorf tárcsák... Ha megpróbáljuk nyomon követni az összes összetevőt, könnyen megteheti. fejfájás! Higgye el, még a szakemberek között is csak kevesen dicsekedhetnek azzal, hogy megértik ennek a kialakításnak az összes aspektusát .
↑ Ham Chau. Ngo Bao Chau, sommite mondiale des maths (francia) . Le Courrier du Vietnam (2009. február 15.). Letöltve: 2018. július 13. Az eredetiből archiválva : 2011. szeptember 28..
↑ Langlands, Robert P. (1983), Les debuts d'une formula des traces stable , vol. 13, Publications Mathematiques de l'Universite Paris VII [Mathematical Publications of the University of Paris VII], Paris: Universite de Paris VII UER de Mathematiques , < http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/endoscopy. html#debuts > Archiválva : 2018. április 1. a Wayback Machine -nél

Linkek

Arthur, James (2003), A funkcionálisság elve , American Mathematical Society. Bulletin. New Series 40 (1): 39–53, ISSN 0002-9904 , DOI 10.1090/S0273-0979-02-00963-1
Bernstein, J. & Gelbart, S. (2003), An Introduction to the Langlands Program , Boston: Birkhauser, ISBN 3-7643-3211-5
- J. Bernstein, St. Gelbart. Bevezetés a Langlands Programba. - Moszkva - Izhevsk, 2008.
Gelbart, Stephen (1984), A Langlands program elemi bevezetése , American Mathematical Society. Bulletin. Új sorozat , 10. kötet (2) : 177–219, ISSN 0002-9904
Frenkel, Edward (2005), Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory, arΧiv : hep-th/0512172 .
Gelfand, I. M. (1963), Automorf függvények és a reprezentációk elmélete , Proc. Internat. Congr. Matematikusok (Stockholm, 1962) , Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, p. 74–85 , < http://mathunion.org/ICM/ICM1962.1/ > . Letöltve: 2018. július 13. Archiválva : 2011. július 17. a Wayback Machine -nél
Harris, Michael & Taylor, Richard (2001), The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties , vol. 151, Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-09090-0 , < https://books.google.com/books?id=sigBbO69hvMC >
Henniart, Guy (2000), Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL(n) sur un corps p-adique , Inventiones Mathematicae 139 (2): 439–455, ISSN 0020-9910 , DOI 10.0500220/s0502020
Kutzko, Philip (1980), The Langlands Conjecture for Gl_2 of a Local Field , Annals of Mathematics 112. kötet (2): 381–412 , DOI 10.2307/1971151.
Langlands, Robert (1967), Levél Prof. Weil , < http://publications.ias.edu/rpl/section/21 >
Langlands, R.P. (1970), Problémák az automorf formák elméletében , Előadások a modern elemzésről és alkalmazásokról, III . 170, Lecture Notes in Math, Berlin, New York: Springer-Verlag , p. 18–61, ISBN 978-3-540-05284-5 , doi : 10.1007/BFb0079065 , < http://publications.ias.edu/rpl/section/21 >
Laumon, G.; Rapoport, M. & Stuhler, U. (1993), D-elliptikus tárcsák és a Langlands-levelezés , Inventiones Mathematicae T. 113 (2): 217–338, ISSN 0020-9910 , DOI 10.1007/BF082443
Scholze, Peter (2013), The Local Langlands Correspondence for GL(n) over p -adic fields , Inventiones Mathematicae T. 192 (3): 663–715 , DOI 10.1007/s00222-012-0420-5
Solomon Friedberg. Mi az… a Langlands program? // Az AMS közleményei . - 2018. - Kt. 65. - P. 663-665. - doi : 10.1090/noti1686 .
Vlagyimir Koroljov. A nem csatlakoztatott . N+1 (2018. március 23.). Letöltve: 2018. július 13. (határozatlan)

Linkek

Robert Langlands munkája
Robert Langlands. Funkcionalitás és kölcsönösség