L-funkció

Az L - függvény egy meromorf függvény a komplex síkon , amely számos matematikai objektumtípus egyikéhez kapcsolódik . Az L-sorozat egy Dirichlet-sorozat , amely általában a félsíkon konvergál , és amely analitikusan kiterjeszthető egy L-függvényre a teljes komplex síkon.

Az L-függvény elmélet a modern analitikus számelmélet nagyon lényeges, bár még mindig nagyrészt hipotetikus részévé vált . Ebben a Riemann-zéta-függvény és a Dirichlet-karakterek L-sorozatának tág általánosításai vannak megszerkesztve , és általános tulajdonságaik az esetek túlnyomó többségében még nem állnak rendelkezésre szisztematikus bemutatás során.

Épület

Megkülönböztetjük az L-sorozatot , azaz a sorozaton keresztüli reprezentációkat (például a Riemann-zéta-függvény Dirichlet-sorát ), és az L -függvényeket, vagyis egy függvény analitikus folytatásait a teljes komplex síkon. Az általános konstrukció az L -sorozattal kezdődik , amelyet először Dirichlet radként határoztak meg, és ezek felbontását egy Euler -szorzatra, amelynek indexe prímszámokon halad át. A megfontolás megköveteli a sorozatok konvergenciájának bizonyítását a komplex számok mezőjének valamely jobb oldali félsíkjában. Ekkor megkérdezik, hogy a definiált függvény analitikusan kiterjeszthető-e a teljes komplex síkra (esetleg több pólus megjelenésével ).

A komplex sík hipotetikus meromorf kiterjesztését L - függvénynek nevezzük . A klasszikus esetekben már ismert, hogy az L -függvény értékei és viselkedése a nulláknál és a pólusoknál hasznos információkat tartalmaz . Az " L -függvény" általános kifejezés itt sokféle zéta-függvényt is magában foglal . A Selberg osztály egy kísérlet az L - függvények összes főbb tulajdonságának leírására egy axiómakészlet segítségével, hogy az osztály tulajdonságait együtt, és nem külön-külön vizsgáljuk.

Hipotetikus információ

Az alábbiakban felsoroljuk az ismert L - függvények jellemzőit, amelyeket általánosságban kívánatos látni:

• nullák és pólusok elhelyezkedése;
• Funkcionális egyenlet, néhány függőleges vonal figyelembevételével ;
• érdekes értékek egész számokban, amelyek az algebrai K-elmélet paramétereihez kapcsolódnak

A részletes munkát számos elfogadható hipotézis hozta létre, például az L - függvényekre érvényes funkcionális egyenlet pontos típusával kapcsolatban. Mivel a Riemann-zéta-függvény pozitív páros egész számokban (és negatív páratlan egészekben) lévő értékeit Bernoulli-számokhoz köti , folyamatban van ennek a jelenségnek a megfelelő általánosítása. Ebben az esetben olyan p-adic L-függvényekre kaptunk eredményeket, amelyek egy bizonyos Galois-modult írnak le.

A nullák eloszlásának statisztikái azért érdekesek, mert olyan problémákhoz kapcsolódnak, mint az általánosított Riemann-hipotézis , a prímszámok eloszlása ​​stb. A véletlen mátrixelmélettel és a kvantumkáosszal való összefüggések is érdekesek. Az eloszlások fraktálszerkezete is érdekes [2] . A nullák eloszlásának önhasonlósága meglehetősen figyelemre méltó, és nagy, 1,9 -es fraktáldimenzió jellemzi. Ez a meglehetősen nagy fraktáldimenzió a nullák felett van, és legalább tizenöt nagyságrendet fed le a Riemann-zéta-függvényre, valamint más, különböző rendű és vezetőképességű L-függvények nulláira.

Birch és Swinnerton-Dyer hipotézise

Az egyik fontos példa, mind az általánosabb L -függvények története, mind a még nyitott kutatási probléma szempontjából Birch és Swinnerton-Dyer sejtése . A sejtés megmondja, hogyan számítható ki egy elliptikus görbe rangja a racionális számok mezeje (vagy egy másik globális mező ) felett, vagyis az azt alkotó szabad racionális pontcsoportok száma. Az ezen a területen végzett korábbi munkák az L - függvények jobb ismeretéhez kapcsolódnak. Olyan volt, mint egy paradigma példája az L - függvények kialakulóban lévő elméletében.

Az általános elmélet felemelkedése

Ez a fejlesztés több évvel megelőzte Langlands programját , és azt kiegészítőnek tekinthető: Langlands munkája elsősorban az Artin-féle L-függvényekkel , illetve az általános automorf reprezentációhoz kapcsolódó L -függvényekkel foglalkozik .

Fokozatosan világossá vált, hogy a Hasse-Weil zéta függvény konstrukciója milyen értelemben teszi működőképessé a megengedhető L - függvények biztosítását analitikus értelemben: az analízisnek kell lennie valamilyen hozzájárulásnak, ami "automorf" elemzést jelentett. Az általános eset most fogalmi szinten fog össze számos különböző kutatási programot.

Lásd még

• Általános Riemann-hipotézisek
• Automorf L-funkció
• Modularitás tétel
• Artin hipotézise

Linkek

1. ↑ Jorn Steuding, Bevezetés az L-függvények elméletébe, Preprint, 2005/06
2. ↑ O. Shanker. Véletlenszerű mátrixok, általánosított zéta-függvények és nulla eloszlások önhasonlósága  // J. Phys  . V: Matek. Gen. : folyóirat. - 2006. - 20. évf. 39 , sz. 45 . - P. 13983-13997 . - doi : 10.1088/0305-4470/39/45/008 . - Iránykód .