Modularitás tétel

A modularitási tétel egy matematikai tétel , amely fontos kapcsolatot létesít a racionális számok mezője feletti elliptikus görbék és a moduláris alakzatok között, amelyek egy komplex változó bizonyos analitikai függvényei . 1995 -ben Andrew Wiles Richard Taylor segítségével bebizonyította ezt a tételt minden félig kiszámítható elliptikus görbére a racionális számok területén. A tétel fennmaradó (nem félisztázható) eseteinek bizonyítása Christoph Breuil munkájának eredménye volt. , Brian Conrad, Fred Diamondés Richard Taylor. 2001 - ig (a teljes bizonyítást 1999 -ben szerezték meg ) a tételt Taniyama-Shimura-Weil sejtésnek (vagy Taniyama-Shimura-Weil sejtésnek ) hívták.

A modularitási tétel a Langlands program része , amely kifejezetten arra irányul, hogy megtalálja az automorf formák vagy automorf reprezentációk (a moduláris forma kényelmes általánosítása) kapcsolatát az algebrai geometriában általánosabb objektumokkal , például elliptikus görbékkel egy algebrai számmező felett. A programban szereplő hipotézisek többsége még nem bizonyított.

Megfogalmazás

Ha egy prímszám és egy elliptikus görbe fölött ( a racionális számok mezője ), akkor az egyenletet egyszerűsíthetjük a modulo definiálásával ; bármely véges értékhalmaz esetén elliptikus görbét kaphatunk egy véges elemmező felett . Vezessünk be egy sorozatot , amely az elliptikus görbe fontos invariánsa . Bármely moduláris forma számsort is ad ( a Fourier transzformációt használva ). Modulárisnak nevezzük azt az elliptikus görbét, amelynek sorrendje egybeesik a moduláris formával. $p$ $E$ $\mathbb {Q}$ $E$ $p$ $p$ $F_{p}$ $n_{p}$ $a_{p}=n_{p}-p$ $E$

A modularitási tétel kimondja, hogy minden elliptikus görbe moduláris. $\mathbb {Q}$

Történelem

Ezt az állítást először Yutaka Taniyama terjesztette fel hipotézisként 1955 szeptemberében . Goro Shimurával együtt 1957 -ben kicsit finomított a megfogalmazáson , de pszichés problémák miatt nem tudta folytatni [1] [2] .

Az 1960 -as években a hipotézis bekerült a matematikai hipotézisek egyesítését célzó Langlands programba. A francia Andre Weil az 1970 -es években emlékezett a hipotézisre, és megkezdte aktív tanulmányozását , ezért ezt a hipotézist gyakran Taniyama-Shimura-Weil hipotézisnek nevezik .

A hipotézis csak akkor vált széles körben érdekeltté, amikor 1985-ben Gerhard Freiazt javasolta, hogy a Taniyama-Shimura sejtés (akkor így hívták) Fermat utolsó tételének általánosítása , mert a Fermat utolsó tételével szembeni bármilyen ellenpélda végül nem moduláris elliptikus görbéhez vezet. 1986- ban Ken Ribetigazolta ezt a feltételezést. 1995 -ben Andrew Wiles és Richard Taylor bebizonyították a Taniyama-Shimura tétel speciális esetét (a félig kiszámítható elliptikus görbék esete), ami elég volt Fermat utolsó tételének [3] bizonyításához .

A modularitási tételt Christoph Breuil munkája eredményeként 1999 -ben teljesen bebizonyították., Brian Conrad, Fred Diamondés Richard Taylor , aki Wiles munkásságára építve bebizonyította a fennmaradó (nem félig stabil) eseteket.

A modularitástételből a számelmélet egyéb tételei is következnek, hasonlóan Fermat utolsó tételéhez. Például: "egy szám kockája nem írható fel két olyan másodlagos szám összegeként , amelyek egy természetes szám -edik hatványai, ha " [4] . $n$ $n\geqslant 3$

1996 márciusában Wiles megkapta a Wolf-díjat Robert Langlandsszel együtt . Bár egyikük sem igazolta teljesen a tételt, azt állították, hogy jelentős mértékben hozzájárultak a további bizonyításhoz [5] .

Jegyzetek

↑ Stewart, 2016 , p. 196.
↑ Taniyama 1958 -ban öngyilkos lett , és meglehetősen rejtélyes feljegyzést hagyott maga után. Körülbelül egy hónappal később menyasszonya, Misako Suzuki öngyilkosságot követett el, és egy cetlit hagyott hátra, amely szerint újra találkoznia kell vőlegényével.
↑ Szolovjov Yu.P. Taniyama sejtése és Fermat utolsó tétele (neopr.) // Soros Educational Journal. - 1998. - február. - S. 135-138 .
↑ Az esetet még Euler és maga Fermat is ismerte. $n=3$ $n=4$
↑ Stewart, 2016 , p. 200.

Linkek

Darmon, Henry. A teljes Shimura-Taniyama-Weil sejtés bizonyítékát hirdették ki, Notices of the American Mathematical Society, Vol. 46 (1999), 3. sz. 11. Tartalmazza a tétel bevezetését és bizonyításának áttekintését.
Conrad, Brian, Fred Diamond, Richard Taylor. Egyes potenciálisan Barsotti-Tate Galois-reprezentációk modularitása , Journal of the American Mathematical Society 12 (1999), pp. 521-567. A tétel bizonyítása adott.

Irodalom

Ian Stewart . A legnagyobb matematikai feladatok. — M. : Alpina non-fiction, 2016. — 460 p. — ISBN 978-5-91671-507-1 .