Automorf funkció

Az automorf függvény olyan függvény , amely valamely tartományban analitikus , és kielégíti a relációt ebben a tartományban , ahol a komplex sík lineáris-tört transzformációi  csoportjának valamely megszámlálható alcsoportjának eleme .

Történelem

Az automorf függvények osztályát, amely általánosítja az elliptikus függvények osztályát, Henri Poincaré francia matematikus vezette be és tanulmányozta az 1880-as években.

A 19. század során Európa szinte valamennyi kiemelkedő matematikusa részt vett az elliptikus függvények elméletének kidolgozásában, amely rendkívül hasznosnak bizonyult a differenciálegyenletek megoldásában . Mindazonáltal ezek a függvények nem teljesen igazolták a hozzájuk fűzött reményeket, és sok matematikus elkezdett gondolkodni azon, hogy lehetséges-e az elliptikus függvények osztályát úgy bővíteni, hogy az új függvények alkalmazhatók legyenek azokra az egyenletekre, ahol az elliptikus függvények haszontalanok.

Poincaré erre az ötletre először Lazar Fuchs , a lineáris differenciálegyenletek legkiemelkedőbb szakértőjének cikkében talált rá ( 1880 ). Poincaré több év alatt továbbfejlesztette Fuchs gondolatát, megalkotva a függvények új osztályának elméletét, amelyet a Poincaré számára prioritást élvező kérdések iránt szokásos közömbösséggel fuksziánus függvényeknek ( franciául  les fonctions fuchsiennes ) javasolt nevezni - bár minden oka megvolt arra, hogy ennek az osztálynak saját nevet adjon. Az ügy azzal zárult, hogy Felix Klein javasolta az "automorf függvények" elnevezést, amely a tudományban rögzült [1] . Poincaré levezette ezeknek a függvényeknek a sorozatokba való kiterjesztését, és bebizonyította az összeadási tételt. Ezeket a felfedezéseket „joggal tekinthetjük a 19. századi komplex változó analitikus függvényeinek elmélete teljes fejlődésének csúcsának” [2] .

Az automorf függvények elméletének kidolgozása során Poincaré felfedezte kapcsolatukat Lobacsevszkij geometriájával , ami lehetővé tette számára, hogy geometriai nyelven felmutassa e függvények elméletének számos kérdését. Kiadta Lobacsevszkij geometriájának vizuális modelljét , amellyel a függvényelméletről illusztrált anyagot.

Poincaré munkája után az elliptikus függvények a tudomány kiemelt irányából egy erősebb általános elmélet korlátozott speciális esetévé váltak. A 20. században Poincare eredményeit több változó függvényeinek esetére is kiterjesztették (lásd pl. moduláris függvények ). Kísérleteket tettek az automorf függvények osztályának ( automorf formák ) általánosítására.

Alkalmazás

Az automorf függvényeket széles körben használják az egzakt tudományok számos területén [3] . Különösen:

• Lehetővé teszik bármilyen lineáris differenciálegyenlet megoldását algebrai együtthatókkal.
• Bebizonyosodott az algebrai görbék uniformizálásának lehetősége , azaz automorf függvényeken keresztüli ábrázolása. Ez a 22. Hilbert-probléma , amelyet Poincaré oldott meg 1907 -ben .
• Ennek az elméletnek a módszereit hatékonyan alkalmazzák az algebrai geometriában , az algebrai csoportok elméletében, a varietaelméletben , sőt a számelméletben is .

Irodalom

• Golubev VV Egyértékű analitikai függvények. Automorf függvények . Moszkva: Fizmatlit, 1961.
• Klein F. Előadások a matematika fejlődéséről a 19. században . I. kötet, 8. fejezet M.-L.: GONTI, 1937. 432 p.
• Kolmogorov A. N., Juskevics A. P. (szerk.). századi matematika, három kötetben. - M .: Nauka, 1978-1987. - T. 2.
• Poincare A. Válogatott művek, három kötetben. 3. kötet M .: Nauka, 1971-1974.
• Ford L. P., Automorf függvények, ford. angolból, M.-L., 1936;
• Shimura G. Bevezetés az automorf függvények aritmetikai elméletébe. M.: Mir, 1973.
• Golubev VV Előadások a differenciálegyenletek analitikai elméletéről. - M. - L .: GOSTEKHTEORIZDAT, 1941. - 400 p.

Linkek

• Silvestrov VV Automorf függvények - a periodikus függvények általánosítása  // Soros Educational Journal. - 2000. - 3. sz . - S. 124-127 .

Jegyzetek

1. ↑ Poincare A. Válogatott művek három kötetben, rendelet. op. - T. 3. - S. 690-695.
2. ↑ Kolmogorov A. N., Juskevics A. P. (szerk.). A 19. század matematikája. Rendelet. op. - T. 2. - S. 247.
3. ↑ Silvestrov V. V. Automorf függvények - a periodikus függvények általánosítása  // Soros Educational Journal. - 2000. - 3. sz . - S. 124-127 .