Hasse-Weil zéta függvény

A Hasse-Weyl- zéta-függvény a Riemann-zéta-függvény analógja , amely összetettebb módon épül fel a sokaság véges mezőben lévő pontjaiból. Ez egy összetett analitikus függvény, amely elliptikus görbéknél az 1. pont közelében való viselkedése szorosan összefügg ennek az elliptikus görbének a racionális pontjainak csoportjával.

A Hasse-Weyl zéta függvény globális L-függvényként

A Hasse-Weyl zéta függvény, amely egy algebrai számmező felett definiált algebrai változathoz kapcsolódik, az L - függvények két legfontosabb típusának egyike . Az ilyen L -függvényeket globálisnak nevezzük , mivel a lokális zéta-függvények Euler-szorzataként vannak definiálva . Ezek alkotják a globális L - függvények két fő osztályának egyikét, a másikat pedig az automorf reprezentációkhoz kapcsolódó L -függvények . Hipotetikusan feltételezzük, hogy a globális L -függvénynek csak egy alapvető típusa létezik , két leírással (az egyik algebrai változatból, a másik egy automorf reprezentációból származik); ez a Taniyama-Shimura sejtés tág általánosítása lenne, amely a számelmélet legmélyebb és legfrissebb eredménye (2009-ben) . $V$ $K$

A Hasse-Weil zéta függvény leírása Euler-szorzatának véges számú tényezőjéig viszonylag egyszerű. Ez Hasse és Weyl kezdeti megfontolásaiból származott , amelyet az az eset motivált, ahol az egyetlen pont és a Riemann-zéta-függvény. $V$

Ha u egy nem szinguláris projektív változat , akkor szinte minden prímre modulo redukciót vehetünk figyelembe, azaz véges mező feletti algebrai változatot . Szinte mindenki számára nem lesz különleges. A Dirichlet -sort komplex változóként definiáljuk , amely a lokális zéta-függvények összes prímszámának végtelen szorzata . Ekkor a mi definíciónk szerint csak a to racionális függvényével való szorzásig jól definiált a formájú véges számú argumentumban . $K=\mathbb {Q}$ $V$ $p$ $V$ $p$ $V_{p}$ $\mathbb {F} _{p}$ $p$ $V_{p}$ $Z_{V/\mathbb {Q} }(s)$ $s$ $\zeta _{V,p}(p^{-s})$ $Z(s)$ ${\displaystyle p^{-s))$

Mivel ez a határozatlanság viszonylag ártalmatlan, és mindenhol meromorf kiterjedésű , van olyan értelemben, hogy a tulajdonságok lényegében függetlenek tőle. Konkrétan, bár a funkcionális egyenlet pontos formája ,-re minden bizonnyal függ a hiányzó tényezőktől, egy ilyen funkcionális egyenlet megléte nem függ ezektől a tényezőktől. $Z(s)$ $Z(s)$

A Hasse-Weil zéta-függvény világosabb meghatározását az étale kohomológia fejlődése tette lehetővé ; szépen elmagyarázzák, mit kell tenni a hiányzó tényezőkkel, gyenge redukcióval. Az elágazáselméletben látott általános elvek szerint a gyenge redukciójú prímek jó információt hordoznak ( vezetőelmélet ). Ez megnyilvánul az étalek elméletében a jó redukció Ogg-Neron-Shafarevich-kritériumában , nevezetesen, hogy bizonyos értelemben jó redukció van minden prímszámban , amelyre a csoport étale kohomológiájára vonatkozó Galois-reprezentáció elágazásmentes . Számukra a lokális zéta-függvény definíciója visszaállítható a karakterisztikus polinom alapján, ahol a Frobenius-endomorfizmus -re . Mi történik, ha elágazik , az nem triviális a tehetetlenségi csoportban . Az ilyen prímeknél a definíciót úgy kell korrigálni , hogy a triviális reprezentációval azon reprezentáció legnagyobb hányadosát vesszük , amelyre a tehetetlenségi csoport hat . Ezzel a finomítással a definíció sikeresen frissíthető szinte az összesről az Euler termék összes szereplőjére . A funkcionális egyenlet következményeit Serre és Deligne dolgozta ki az 1960-as évek végén; maga a funkcionális egyenlet egyáltalán nem bizonyított. $p$ $\rho$ $V$ $\rho (\operátornév {Frob} (p)),$ $\operatorname {Frob} (p)$ $p$ $p$ $\rho$ $I(p)$ $\rho$ $Z(s)$ $p$ $p$

Példa: elliptikus görbe a racionális számok mezője felett

Legyen elliptikus görbe c vezető felett , és tetszőleges prímszám. Ekkor jó redukciója van mindenre , nem osztja , szorzós redukciója van, ha oszt , de nem oszt , és additív redukciója van más esetekben (vagyis ha osztja ). Ekkor a Hasse-Weil zéta-függvény felveszi a formát $E$ $\mathbb {Q}$ $N$ $p$ $E$ $p$ $N$ $p$ $N$ $p^{2}$ $N$ $p^{2}$ $N$ $E$

Z_{E/\mathbb {Q} }(s)={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{L(s,E))).\,

Itt van a szokásos Riemann zéta-függvény, és L - nek hívják - a függvény , amelynek alakja van $\zeta (s)$ $L(s,E)$ $E/\mathbb {Q}$

L(s,E)=\prod \limits _{p}L_{p}(s,E)^{-1}\,

hol adott , $p$

L_{p}(s,E)={\begin{cases}(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}),&{\text{ if )) p\nmid N\\(1-a_{p}p^{-s}),&{\text{ if }}p\mid N{\text{ and }}p^{2}\nmid N\\ 1,&{\text{ if }}p^{2}\mid N\end{cases}}

ahol jó redukció esetén és multiplikatív redukció esetén attól függően, hogy nem osztott multiplikatív redukció választja el -ben . ${\displaystyle a_{p}=p+1-{\text{pontok száma }}E{\bmod {p}}}-ben$ $a_{p}=\pm 1$ $E$ $p$

Hasse-Weyl hipotézis

A Hasse-Weil sejtés azt állítja, hogy a Hasse-Weil zéta függvényt analitikusan ki kell terjeszteni egy meromorf függvényre a teljes komplex síkon, és ki kell elégítenie a Riemann zéta függvény funkcionális egyenletéhez hasonló funkcionális egyenletet. A racionális számok feletti elliptikus görbék esetében a Hasse-Weil-sejtés következik a modularitási tételből .

Lásd még

Aritmetikai zéta függvény

Irodalom

Koblitz N. Bevezetés az elliptikus görbékbe és a moduláris formákba. - Novokuznyeck: IO NFMI, 2000. - S. 99. - 312 p. - ISBN 5-8032-3325-0 .
[Ült. művek J. Berstein és St. Gelbart szerkesztésében Bevezetés a Langlands Programba] = An Introduction to the Langlands Program. - Moszkva, Izhevsk: Kutatóközpont "Szabályos és kaotikus dinamika", 2008. - P. 118. - 368 p. — ISBN 978-5-93972-697-9 .

L -függvények a számelméletben
Elemző példák	Riemann zéta függvény L -Dirichlet függvények Hecke karakterek L -függvényei Automorf L -függvények Selberg osztály
Algebrai példák	Dedekind zéta függvények Artin L -függvények Hasse-Weyl L -függvények Motive L -függvények
Tételek	Az osztályok számának analitikai képlete Riemann-von Mangoldt formula Weil hipotézisei
Elemző hipotézisek	Riemann hipotézis Általános Riemann-hipotézisek Lindelöf hipotézis Ramanujan hipotézis Artin hipotézise
Algebrai sejtések	Birch-Swinnerton-Dyer hipotézis Deligne sejtése Beilinson hipotézisei Bloch-Kato sejtés Langlands hipotézis
p - adic L -függvények	Az Iwasawa elmélet fő hipotézise Selmer Group Euler rendszer