Artin L-funkció

Az Artin L-függvény a Dirichlet-sorozat egy típusa , amely egy számmező - kiterjesztés Galois-csoportjának ábrázolásához kapcsolódik . Ezeket a funkciókat Emil Artin vezette be 1923-ban , az osztálytérelméleti munkája kapcsán . E függvények alapvető tulajdonságai, különösen az alábbiakban ismertetett Artin-sejtés , ellenállónak bizonyultak az egyszerű bizonyítékokkal szemben. A javasolt nem- abeli osztálytérelmélet egyik célja az Artin-féle komplex-analitikus L -függvények beépítése egy szélesebb elméletbe, amely az automorf formákból és a Langlands-programból következne . Eddig egy ilyen elméletnek csak egy kis része épült szilárd alapokra. $\rho$ $G$

Definíció

Legyen csoportreprezentáció egy véges dimenziós komplex vektortérben , ahol a számmező véges kiterjesztésének Galois-csoportja . Az Artin L -függvény ekkor egyenlő az Euler-tényezők végtelen szorzatával az összes prímideál felett . A mező egész számainak gyűrűjéből származó minden prímideál esetén az Euler-tényező könnyen meghatározható, ha nem elágazó -ban ( ami szinte mindenre igaz ). Ebben az esetben a Frobenius elem a konjugált osztályként van definiálva a -ban . Ezért a mátrix karakterisztikus polinomja jól meghatározott. Az Euler-szorzó a karakterisztikus polinom enyhe, szintén jól meghatározott módosítása: $\rho :G\to \mathrm {GL} (V)$ $G$ $V$ $G$ $L/K$ $L(\rho ,s)$ $P$ $P$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$ $P$ $L$ $P$ $\mathrm {Frob} _{P}$ $G$ $\rho (\mathrm {Frob} _{P})$ $P$

\operátornév {charpoly} (\rho (\mathrm {Frob} _{P}))^{-1}=\operátornév {det} [Et\rho (\mathrm {Frob} _{P})] ^{-1},

racionális függvényeként , ahol egy komplex változó, mint a szokásos Riemann zéta függvényben . (Itt az ideális norma ). $t$ ${\displaystyle t=N(P)^{-s))$ $s$ $N$

Ha elágazik, akkor a tehetetlenségi csoport , amely egy részcsoportja , hasonló konstrukciót használunk, de az altér pontonként invariáns a hatása alatt . $P$ $én$ $G$ $V$ $én$

Ahogy az Artin-féle reciprocitási törvény mutatja , amikor egy Abel-csoport , az Artin-féle L - függvények Dirichlet L -függvényei -re , általános esetben pedig Hecke L -függvényei . Nem triviális különbségek jelennek meg egy nem Abeli csoport és reprezentációja esetén. $G$ $K=\mathbb {Q}$ $G$

Egy példa egy alkalmazásra a Dedekind zéta függvények faktorizálása egy számmező esetében, amely a racionális számok Galois-bővítése . Mivel a reguláris reprezentáció irreducibilis reprezentációkra bomlik , a Dedekind zéta függvény az Artin-féle L -függvények szorzataként is reprezentálható bármilyen irreducibilis reprezentáció esetén . $G$

Pontosabban, ha a fok Galois - féle kiterjesztése a -nek irreducibilis reprezentációja , akkor a bővítés abból következik, hogy $L/K$ $n$ $\rho$ $\operatorname {Gal} (L/K)$ $\zeta _{L}(s)=L(\rho _{\text{regular)),s)=\prod \limits _{\rho }L(\rho ,s)^{\deg( \rho )}$

L(\rho ,s)=\prod \limits _{P\in K}{\frac {1}{\det[EN(P)^{-s}\rho (\mathrm {Frob} _ {P}){\scriptstyle |V_{P,\rho }}]}}),

-\ln \det[EN(P)^{-s}\rho (\mathrm {Frob} _{P})]=\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\ frac {\operatorname {tr} (\rho (\mathrm {Frob} _{P})^{m})}{m}}N(P)^{-sm}

\sum \limits _{\rho {\text{ irreducible))}\deg(\rho )\operatorname {tr} (\rho (\sigma ))={\begin{cases}n{\text{ a következővel: }}\sigma =1\\0{\text{ egyébként }},\end{cases}}

-\sum _{\rho {\text{ irreducible))}\deg(\rho )\ln \det[EN(P^{-s})\rho (\mathrm {Frob} _{P} )]=n\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N(P)^{-sfm}}{fm}}=-\ln[(1-N(P)^{- sf})^{n/f}]

ahol az irreducibilis reprezentáció foka a reguláris reprezentációban, a sorrend , és az elágazó prímeknél a helyére kerül. $\deg(\rho )$ $f$ $\mathrm {Frob} _{P}$ $n$ $n/e$

Mivel a karakterek ortonormális alapot képeznek, néhány analitikai tulajdonság bizonyítása után megkapjuk a Csebotarev-féle sűrűségtételt Dirichlet prímszámtételének általánosításaként aritmetikai progresszióban . $L(\rho ,s)$

Funkcionális egyenlet

Az Artin L-függvényei kielégítik a funkcionális egyenletet . A függvényhez kapcsolódik , ahol a komplex konjugált reprezentációját jelöli . Pontosabban helyébe , amelyben megszorozzuk néhány gamma-tényezővel , és akkor teljesül a meromorf függvények közötti kapcsolat $L(\rho ,s)$ $L(\rho ^{*},1-s)$ $\rho ^{*}$ $L$ $\Lambda (\rho ,s)$ $L$

\Lambda (\rho ,s)=W(\rho )\Lambda (\rho ^{*},1-s)

ahol egy komplex szám 1 modulussal, amelyet Artin gyökérszámnak neveznek . Kétféle tulajdonságát tekintve alaposan tanulmányozták. Először Langlands és Deligne bontotta a helyi Langlands-Deligne állandók szorzatára ; Ez az automorf reprezentációkkal való hipotetikus összefüggések kapcsán fontos . Másodszor, az az eset, amikor és ekvivalens reprezentációk , pontosan megfelel annak az esetnek, amikor a funkcionális egyenlet mindkét oldalán ugyanazokkal az L -függvényekkel rendelkezik . Ez algebrai értelemben az az eset, amikor egy valós reprezentáció vagy egy kvaternió reprezentáció . Az Artin gyökérszám ebben az esetben . Az a kérdés, hogy pontosan melyik jel játszódik le , a Galois-modulus elméletéhez kapcsolódik ( Perlis 2001 ). $W(\rho )$ $\rho$ $\rho ^{*}$ $\rho$ $\pm 1$

Artin hipotézise

Artin sejtése szerint ha egy nem triviális irreducibilis reprezentáció, akkor az Artin-féle L - függvény a teljes komplex síkon analitikus [1] . $\rho$ $L(\rho ,s)$

Ismeretes, hogy az egydimenziós ábrázolásoknál az Artin L - függvény a Hecke-karakterhez kapcsolódik - és különösen a Dirichlet L -függvényhez . [1] Artin bebizonyította azt az általánosabb állítást, hogy Artin sejtése igaz minden egydimenziós reprezentációval előidézett reprezentációra. Ha a Galois-csoport szuperoldható , vagy általánosabban monomiális , akkor minden reprezentációjuk olyan, hogy Artin sejtése érvényes.

André Weil bebizonyította Artin sejtését a függvénymezők esetében .

A kétdimenziós reprezentációkat alcsoportjaik képei szerint osztályozzák: lehetnek ciklikusak, diéderek, tetraéderek, oktaéderek vagy ikozaéderek. Artinnak a ciklikus és a kétéderes esetre vonatkozó sejtése könnyen levonható Hecke munkájából . Langlands az alapváltoztatást használta a tetraéderes eset bizonyítására, Tunnel pedig kiterjesztette munkáját az oktaéderes esetre; Wiles ezeket az eseteket használta a Taniyama-Shimura sejtés bizonyításához . Richard Taylor és mások némi haladást értek el ebben a ( eldönthetetlen ) ikozaéderes ügyben; ez ma már a kutatás aktív területe.

Brouwer indukált karaktertételéből következik, hogy az összes Artin - féle L -függvény Hecke L -függvényeinek egész hatványainak szorzatára bomlik , és ezért az egész komplex síkon meromorf .

Langlands (1970 ) rámutatott, hogy Artin sejtése a Langlands-program meglehetősen erős eredményeiből következik, amelyek a GL(n) automorf reprezentációival kapcsolatos L-függvényekre vonatkoznak . Pontosabban, a Langlands-sejtések az adele-csoport automorf reprezentációját társítják a Galois-csoport minden -dimenziós irreducibilis reprezentációjához, amely cuspidális reprezentáció , ha a Galois-reprezentáció irreducibilis, így a Galois-reprezentáció L - Artin-függvénye ugyanaz. mint az automorf reprezentáció automorf L -függvénye. Artin sejtése tehát azonnal következik abból az ismert tényből, hogy a cuspidalis automorf reprezentációk L -függvényei holomorfok. Ez volt Langlands munkájának egyik fő motívuma. $n\geqslant 1$ $\operatorname {GL} _{n}(A_{\mathbb {Q} })$ $n$

Dedekind hipotézise

A gyengített sejtés (néha Dedekind-sejtésnek is nevezik) azt állítja, hogy ha egy számmező kiterjesztése, akkor a Dedekind - zéta-függvényeik hányadosa egy teljes függvény . $M/K$ $\zeta _{M}(s)/\zeta _{K}(s)$

Az Aramata-Brauer tétel kimondja, hogy a sejtés igaz marad, ha a kiterjesztés Galois-féle kiterjesztésű. $M/K$

Általánosabban, legyen vége a Galois-zárásnak , és legyen a Galois-csoport . A hányados egyenlő az Artin L -függvénnyel , amely a komplex beágyazások helyben őrző műveletéhez társított természetes reprezentációhoz kapcsolódik . Így Artin sejtése Dedekind sejtését jelenti. $N$ $M$ $K$ $G$ $N/K$ $\zeta _{M}(s)/\zeta _{K}(s)$ $G$ $M$ $K$

A sejtést Uchida és van der Waal 1975- ben igazolta abban az esetben, amikor egy önállóan megoldható csoport . $G$

Linkek

↑ 1 2 Martinet (1977) 18. o

Artin, E. Uber eine neue Art von L Reihen (neopr.) // Hamb. Math. Abh.. - 1923. - T. 3 . Összegyűjtött munkáiban újranyomva, ISBN 0-387-90686-X . Angol fordítás: Artin L-Functions: A Historical Approach N. Snyder.
Artin, Emil (1930), Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren. , Abhandlungen Hamburg 8. kötet: 292–306 , DOI 10.1007/BF02941010
Tunnell, Jerrold. Artin sejtése oktaéderes típusú ábrázolásokhoz (angol) // Bull. amer. Math. szoc. : folyóirat. - 1981. - 1. évf. 5 , sz. 2 . - 173-175 . o . - doi : 10.1090/S0273-0979-1981-14936-3 .
Gelbart, István Automorf formák és Artin sejtése // Egy változó moduláris függvényei, VI (Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn., Bonn, 1976) (angol) . - Berlin: Springer, 1977. - 20. évf. 627.-P. 241-276. — (Matek jegyzetei.).
Langlands, Robert (1967), Levél Prof. Weil , < http://publications.ias.edu/rpl/section/21 >
Langlands, R.P. (1970), Problémák az automorf formák elméletében , Előadások a modern elemzésről és alkalmazásokról, III . 170, Lecture Notes in Math, Berlin, New York: Springer-Verlag , p. 18–61, ISBN 978-3-540-05284-5 , doi : 10.1007/BFb0079065 , < http://publications.ias.edu/rpl/section/21 >
Martinet, J. (1977), Character theory and Artin L-functions, in Frohlich, A. , Algebraic Number Fields, Proc. Symp. London Math. Soc., Univ. Durham 1975 , Academic Press, p. 1–87., ISBN 0-12-268960-7
Prasad, Dipendra & Yogananda, CS (2000), Bambah, RP; Dumir, VC & Hans-Gill, RJ, szerk., A Report on Artin's Holomorphy Conjecture , Birkhauser Basel, p. 301–314, ISBN 978-3-0348-7023-8 , doi : 10.1007/978-3-0348-7023-8_16 , < http://www.math.tifr.res.in/~dprasad/artin.pdf >

Külső linkek

Perlis, R. (2001), Artin gyökérszámok , Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

L -függvények a számelméletben
Elemző példák	Riemann zéta függvény L -Dirichlet függvények Hecke karakterek L -függvényei Automorf L -függvények Selberg osztály
Algebrai példák	Dedekind zéta függvények Artin L -függvények Hasse-Weyl L -függvények Motive L -függvények
Tételek	Az osztályok számának analitikai képlete Riemann-von Mangoldt formula Weil hipotézisei
Elemző hipotézisek	Riemann hipotézis Általános Riemann-hipotézisek Lindelöf hipotézis Ramanujan hipotézis Artin hipotézise
Algebrai sejtések	Birch-Swinnerton-Dyer hipotézis Deligne sejtése Beilinson hipotézisei Bloch-Kato sejtés Langlands hipotézis
p - adic L -függvények	Az Iwasawa elmélet fő hipotézise Selmer Group Euler rendszer