Birch-Swinnerton-Dyer hipotézis

A Birch-Swinnerton-Dyer hipotézis egy matematikai hipotézis az elliptikus görbék tulajdonságairól , az egyik Millenniumi Problémáról , melynek megoldásáért az Agyag Intézet 1 millió dollár díjat ajánlott fel .

Arra a kérdésre keresve a választ, hogy az algebrai egyenletek formájában megjelenő diofantin egyenletek milyen feltételek mellett kínálnak megoldásokat egész számokban és racionális számokban [1] , Brian Birch és Peter Swinnerton-Dyer az 1960-as évek elején azt javasolta, hogy az elliptikus görbe rangja meghaladja a egy mező egyenlő a nulla Hasse-Weyl zéta függvények nagyságrendjével a pontban . Pontosabban a sejtés azt állítja, hogy van egy nem nulla határ , ahol az érték a görbék finom aritmetikai invariánsaitól függ. A numerikus kísérletek adatai alapján feltételeztük [2] , hogy az aszimptotika igaz. $r$ $E$ $K$ $L(E,s)$ $s=1$ ${\displaystyle B_{E}=\lim \limits _{s\to 1}{\frac {L(E,s)}{(s-1)^{r))))$ $B_{E}$

\prod _{p\leq x}{\frac {N_{p}}{p}}\approx C\log(x)^{r}{\mbox{ itt: }}x\rightarrow \infty

ahol az egész pontok száma a görbén a rank modulo , egy állandó. $N_p$ $E$ $r$ $p$ $C$

A sejtés az egyetlen viszonylag egyszerű általános módszer az elliptikus görbék rangjának kiszámítására .

A legfontosabb eredmények

1977 -ben John Coates és Andrew Wiles bebizonyította azt az állítást, amely az elliptikus görbék nagy osztályára igaz, hogy ha a görbe végtelen sok racionális pontot tartalmaz, akkor . $E$ $L(E,1)=0$

1986- ban Benedict Gross és Don Zagier kimutatta, hogy ha egy moduláris elliptikus görbe elsőrendű nulla pontban, akkor van egy végtelen rendű racionális pontja ( Gross–Zagier tétel ); $s=1$

1989 -ben Viktor Kolyvagin kimutatta, hogy egy moduláris elliptikus görbe , amely nem egyenlő nullával, 0-s, és egy moduláris elliptikus görbe , amelynek s = 1-nél elsőrendű nulla, 1-es rangja van. $E$ $L(E,1)$ $E$ $L(E,1)$

1991 -ben Karl Rubin kimutatta, hogy ha az elliptikus görbe -sora s = 1-nél nem nulla, akkor a Tate-Shafarevich-csoport p-része az előrejelzett elliptikus görbékre, amelyeket egy képzeletbeli másodfokú mező felett határoztunk meg komplex szorzással -val. Birch sejtés és Swinnerton-Dyer sorrendje az összes prímszámra . $K$ $K$ $L$ $p>7$

1999- ben Christoph Breuil , Brian Conrad , Fred Diamond és Richard Taylor bebizonyította a modularitási tételt (hogy a racionális számok felett meghatározott összes elliptikus görbe moduláris), ez kiterjeszti a 2. és 3. eredményt a racionális számok feletti összes elliptikus görbére, és megmutatja, hogy a Az összes elliptikus görbe függvényei s = 1-re vannak definiálva. $L$ $K$

2015 -ben Arul Shankar és Manjul Bhargava bebizonyította, hogy a Mordell–Weil csoport átlagos rangja egy elliptikus görbe felett 7/6-dal határolt. $K$

Irodalom

Koblitz N. Bevezetés az elliptikus görbékbe és a moduláris formákba / szerkesztette: Yu. I. Manin . - M .: Mir , 1988.
Ireland K., Rosen M. Klasszikus bevezetés a modern számelméletbe. - M .: Mir , 1987.
Ian Stewart . A legnagyobb matematikai feladatok. — M. : Alpina non-fiction, 2015. — 460 p. - ISBN 978-5-91671-318-3 .
Birch, Brian ; Swinnerton-Dyer, Peter (1965). "Megjegyzések az elliptikus görbékről (II)". J. Reine Angew. Math. 165 (218): 79-108. DOI : 10.1515/crll.1965.218.79 .