Hipotézis (matematika)

A matematikai hipotézis egy  olyan állítás , amely a rendelkezésre álló információk alapján nagy valószínűséggel igaznak tűnik , de amelyre nem lehet matematikai bizonyítékot szerezni [1] [2] . A matematikai hipotézis nyitott matematikai probléma , és minden megoldatlan matematikai probléma, amely megoldhatósági probléma , hipotézis formájában megfogalmazható. Azonban nem minden matematikai probléma fogalmazható meg hipotézisként. Például lehetetlen megjósolni egy bizonyos egyenletrendszer konkrét megoldását vagy egy optimalizálási feladatot 2208 ismeretlenre, de egy ilyen megoldás nemcsak gyakorlati, hanem tulajdonképpeni matematikai eredmény is lehet [3] .

A Riemann-hipotézis , a Fermat-féle utolsó tétel , a Waring-hipotézis és számos más matematikai hipotézis jelentős szerepet játszott a matematikában, mivel ezek bizonyítására tett kísérletek új kutatási területek és módszerek létrehozásához vezettek.

Matematikai és természettudományi hipotézis

A természettudományi hipotézisektől eltérően a matematikai hipotézis logikailag igazolható valamilyen axiómarendszerben , ami után tétellé válik, e megszorítások mellett igaz, „mindörökké”. Tipikus példa Newton tudományos öröksége , aki kijelentette, hogy "nem talál fel hipotéziseket", és aki a fizikában arra törekedett , hogy ne lépje túl a matematikai modell kereteit . Newton matematikai tételei az ókori Pitagorasz-tételhez hasonlóan a mai napig érvényben vannak, azonban klasszikus mechanikája és a gravitációelmélet a speciális és általános relativitáselmélet megjelenése után megcáfolt fizikai hipotézisekké váltak. Ha egy eldönthető matematikai hipotézis vagy bizonyítható, vagy megcáfolható, akkor egy természettudományos hipotézis esetében a természettudományi ismeretek relativitásából adódóan az igazolhatóság és a falszifikálhatóság tulajdonságai nem zárják ki egymást [4] . A newtoni mechanika nem alkalmazható a fénysebességhez közeli sebességeknél, de nagyon nagy pontossággal írja le a Naprendszer legtöbb testének mozgását. Ezért a fizikában általában nem hipotézisek cáfolatáról beszélünk, hanem az elmélet alkalmazhatóságának korlátozásáról.

Matematikai hipotézisek feloldása

Bizonyítás

A matematika formális bizonyításokon alapul. Bármennyire is meggyőzőnek tűnik a hipotézis, bármennyi példát is hoznak alátámasztására, a hipotézist egy ellenpéldával meg lehet cáfolni. A modern matematikai folyóiratok időnként kutatási eredményeket közölnek arról a tartományról, amelyen belül a hipotézis érvényességét tesztelik. Például a Collatz-sejtést 1,2 × 10 12 - ig minden egész számra tesztelték , de ez a tény önmagában nem ad semmit a sejtés bizonyítására.

Egy hipotézis bizonyításához olyan matematikai bizonyítást kell bemutatni , amely egy bizonyos axiómarendszeren alapuló logikailag hibátlan érveléssel a hipotézis állítását teszi az egyetlen lehetségessé, vagy az ellenkező állítás logikailag lehetetlen.

Ha egy hipotézis bebizonyosodik, akkor a matematikában tétellé válik . Egy explicit vagy implicit hipotézis cáfolata is tételsé válhat. A matematika történetében bizonyos hipotézisek implicit formában sokáig léteztek , és számos próbálkozás a kör négyzetesítésére vagy az ötödik fokú algebrai egyenlet megoldására a gyökökben utólag megcáfolt hipotézisekből indult ki, amelyek szerint ez lehetséges. .

Cáfolat

A hipotézis cáfolata is bizonyítással történik, de a hipotézisek tipikus megfogalmazásait figyelembe véve a cáfolat sokszor a legegyszerűbb bizonyítási típus - ellenpélda. Egy ilyen bizonyítás logikai szempontból a legegyszerűbb, azonban a gráfelméletben példát konstruálni vagy a számelméletben példát találni ( Euler-sejtés ) nagyon nehéz lehet. A hipotézis cáfolat után matematikatörténeti ténnyé válhat, vagy átalakulhat új matematikai hipotézissé. Például az Euler-hipotézist, miután megcáfolták, átalakult Lander-Parkin-Selfridge hipotézissé . Ebben az esetben a folyamat hasonló a természettudományi hipotézisek evolúciójához.

Megdönthetetlen hipotézisek

Egyik hipotézis esetében sem lehet bizonyítani igazát vagy hamisságát egy adott axiómarendszerben. Gödel befejezetlenségi tétele szerint minden kellően összetett axiomatikus elméletben, például az aritmetikában , vannak olyan állítások, amelyeket magán az elméleten belül nem lehet sem cáfolni, sem bizonyítani. Ezért minden aritmetikát tartalmazó matematikai elmélet tartalmaz olyan hipotéziseket, amelyek a keretei között nem cáfolhatók és nem bizonyíthatók.

Például kimutatták, hogy a Cantor -féle halmazelméleti kontinuum -hipotézis nem függ az általánosan elfogadott Zermelo-Fraenkel axiómarendszertől . Ezért ezt az állítást vagy tagadását axiómaként fogadhatjuk el anélkül, hogy ellentmondásba kerülnénk a többi axiómával, és ne lennének következmények a korábban bizonyított tételekre nézve. A geometriában ősidők óta a matematikusok kételkedtek Eukleidész párhuzamossági axiómáját illetően . Ma már ismert, hogy ha elfogadjuk az ellenkező axiómát, akkor lehetséges egy következetes Lobacsevszkij-geometria megalkotása , beleértve az abszolút geometriát is, vagyis az összes többi axióma megőrzésével.

Feltételes bizonyítások

Néhány bizonyítatlan hipotézis érvényességéből fontos következmények következnek. Ha széles körben elterjedt az a hiedelem, hogy egy hipotézis igaz, akkor a matematikusok néha bebizonyítanak olyan tételeket, amelyek csak akkor igazak, ha a hipotézis igaz, abban a reményben, hogy a hipotézis bebizonyosodik. Hasonló bizonyítások gyakoriak például a Riemann-hipotézis kapcsán.

Néhány figyelemre méltó példa

Itt vannak azok az állítások, amelyek nagy hatással voltak a matematikára, hipotézisek státuszában. Ezek egy része a mai napig hipotézis, más részük bizonyított vagy megcáfolt.

Fermat utolsó tétele

A számelméletben Fermat utolsó tétele kimondja, hogy nincs három természetes szám egyenlő , ha az egész szám nagyobb 2-nél.

Pierre de Fermat ezt a sejtést 1637-ben írta Diophantus Aritmetikájának margójára , azzal a kijelentéssel együtt, hogy van bizonyítéka, de túl nagy ahhoz, hogy beleférjen arra a margóra. [5] Az első sikeres bizonyítékot John Wiles szerezte meg 1994-ben, és 1995-ben publikálta, sok matematikus 358 évnyi erőfeszítése után. A probléma megoldására tett kísérletek a 19. században az algebrai számelmélet kifejlesztéséhez és a modularitástétel bizonyításához vezettek a 20. században.

Poincaré sejtése

A Poincaré-sejtés kimondja, hogy bármely egyszerűen összekötött kompakt 3 - sokató , határok nélkül , homeomorf egy 3 - gömbhöz . Henri Poincare 1904-ben fogalmazta meg ezt a hipotézist. Csaknem egy évszázados matematikus erőfeszítések után Grigory Perelman három tanulmányában igazolta ezt a sejtést, amelyeket 2002-ben és 2003-ban tettek közzé az arXiv webhelyen . A bizonyítás Richard Hamilton javaslatát követte , hogy a megoldáshoz a Ricci-folyamatot használják . [6] Számos matematikuscsoport tesztelte Perelman bizonyítását, és megerősítette, hogy helyes. Érdekes módon a magasabb dimenziójú szférákra vonatkozóan korábban bizonyítékokat szereztek.

A Riemann-hipotézis

Az 1859-ben javasolt Riemann-hipotézis kimondja, hogy a Riemann-zéta-függvény minden nem triviális gyökének van egy valós része, amely egyenlő 1/2-vel. A Riemann-hipotézis érvényességéből számos eredmény következik a prímek eloszlására vonatkozóan . Egyes matematikusok ezt a sejtést tartják a "tiszta matematika" legfontosabb megoldatlan problémájának . A Riemann-hipotézis szerepel a Hilbert-problémák és a Millennium-problémák listáján .

A P és NP osztályok egyenlősége

A P és NP osztályok egyenjogúságának kérdése szerepel az ezredforduló feladatsorában, és a számítástechnika egyik fő problémája . Informálisan, de egészen pontosan az a kérdés merül fel, hogy polinomiális memória segítségével polinomiális időben is megoldható-e olyan probléma, amelynek megoldása polinomiális időben igazolható. Ma az a vélemény uralkodik, hogy ez nem így van. De ha ennek a hipotézisnek a bizonyítása lehet konstruktív (csak egy algoritmust kell bemutatni, amivel sokan próbálkoznak), akkor az ellenkezőjének bizonyítása nem világos. A problémát valószínűleg először 1956-ban említették Kurt Gödel Neumann Jánosnak írt levelében . [7] A problémát pontosan 1971-ben fogalmazta meg Stephen Cook [8] , és sokan a szakterület legfontosabb nyitott problémájának tartják [9] .

Történelem

Az ókori görög matematikusok gyakran használtak gondolatkísérletet a matematikai bizonyítás módszereként, amely magában foglalta hipotézisek felállítását és azokból a következtetések levezetését a következmények levonásával a kezdeti találgatások helyességének ellenőrzése érdekében. Ma az ilyen érvelést az ellentmondásos bizonyítás módszerének nevezik . Platón a hipotéziseket az általa kidolgozott analitikus-szintetikus bizonyítási módszer premisszáinak tekintette, amelyek alkalmasak a következtetés abszolút igaz karakterére. A hipotézist mint kutatási módszert azonban Arisztotelész elvetette , aki csak az általános, szükséges és abszolút igazságokat gondolta a szillogisztikus bizonyítás premisszáinak. Ez a tudósok későbbi negatív hozzáállásához vezetett a hipotézisekhez, mint a megbízhatatlan vagy valószínű tudáshoz [4] . Csak a 19. században lehetett felülkerekedni a hipotézisek és az abszolút pontos tudás szembenállásán, és ennek következtében a hipotézisekkel szembeni elutasító magatartáson. Különösen Engels , aki egy hipotézist a "természettudomány fejlődésének" [10] formájának tekint, állást foglalt a hipotéziseknek a törvényekkel és elméletekkel, mint az igazi tudás különböző formáival való kapcsolatáról.

Jegyzetek

1. ↑ Oxford Dictionary of English  (neopr.) . – 2010.
2. ↑ JL Schwartz. Változás a konkrét és az általános között: elmélkedések a sejtések és hipotézisek szerepéről a tudomány és a  matematika tudásgenerálásában . - 1995. - 93. o.
3. ↑ A 46 hosszúságú közelítő bilineáris algoritmus 4×4-es mátrixok szorzásához  (lefelé irányuló kapcsolat)
4. ↑ 1 2 A hipotézis archiválva : 2016. március 5. a Wayback Machine -nél // New Philosophical Encyclopedia
5. ↑ Ore, Oystein (1988), Számelmélet és annak története , Dover, p. 203–204, ISBN 978-0-486-65620-5 
6. ↑ Hamilton, Richard S. Négy sokaság pozitív izotróp görbülettel  (határozatlan)  // Kommunikáció az elemzésben és a geometriában. - 1997. - V. 5 , 1. sz . - S. 1-92 .
7. ↑ Juris Hartmanis 1989, Godel, von Neumann és a P = NP probléma Archiválva : 2015. február 26., a Wayback Machine , Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 38, pp. 101-107
8. ↑ Szakács, István A tételbizonyítási eljárások összetettsége // Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing  (angol) . - 1971. - P. 151-158.
9. ↑ Lance Fortnow, A P versus NP probléma állapota Archiválva az eredetiből 2011. február 24-én. , Az ACM közleményei 52 (2009), no. 9, pp. 78-86. doi : 10.1145/1562164.1562186
10. ↑ K. Marx és F. Engels Soch., 20. kötet, p. 555