Algebrai számmező

Algebrai számmező , az algebrai számok mezője (vagy egyszerűen számmező ) a racionális számok mezőjének véges (és ezért algebrai ) kiterjesztése . Így a számmező olyan mező , amely véges dimenziós vektorteret tartalmaz és fölötte. Ugyanakkor egyes szerzők a komplex számok bármely részmezőjét számmezőnek nevezik - például M. M. Postnikov "A Galois-elméletben". $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

A számmezők, és általánosabban a racionális számok mezőjének algebrai kiterjesztései az algebrai számelmélet fő vizsgálati tárgyai .

Példák

A legkisebb és alapvető számmező a racionális számok mezője . $\mathbb {Q}$
A Gauss-féle racionális számok a számmező első nem triviális példái. Elemei a forma kifejezései ${\mathbb Q}(i)$

a+bi

ahol és a racionális számok, a képzeletbeli egység . Az ilyen kifejezések összeadhatók és szorozhatók a komplex számokkal végzett műveletek szokásos szabályai szerint , és minden nem nulla elemnek van inverze, amint az az egyenlőségből látható.

a

b

én

(a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i \right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.

Ebből következik, hogy a racionális Gauss-számok olyan mezőt alkotnak, amely egy kétdimenziós tér fölött (vagyis egy másodfokú mező ).

\mathbb {Q}

Általánosságban elmondható, hogy minden négyzet nélküli egész szám másodfokú mezőbővítést jelent . $d$ ${\mathbb Q}({\sqrt d})$ $\mathbb {Q}$
Egy kör alakú mezőt kapunk, ha hozzáadjuk az egység primitív n- edik gyökéhez. A mezőnek tartalmaznia kell minden hatványát (vagyis az egység összes n- edik gyökét), a dimenziója megegyezik az Euler-függvénnyel . ${\mathbb Q}(\zeta _{n})$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $\varphi (n)$
A valós és komplex számoknak végtelen hatalmuk van a racionális számokkal szemben, tehát nem számmezők. Ez a megszámlálhatatlanságból következik: bármely numerikus mező megszámlálható .
Az összes algebrai szám mezője nem numerikus. Bár a kiterjesztés algebrai, nem véges. $\mathbb {A}$ $\mathbb {A} \supset \mathbb {Q}$

Egész számok gyűrűje numerikus mező

Mivel egy számmező egy mező algebrai kiterjesztése , bármely eleme valamilyen racionális együtthatós polinom gyöke (azaz algebrai ). Ezenkívül minden elem egy egész együtthatós polinom gyöke, mivel minden racionális együtthatót meg lehet szorozni a nevezők szorzatával. Ha egy adott elem valamilyen egész együtthatós unitér polinom gyöke , akkor egész elemnek (vagy algebrai egész számnak) nevezzük. A számmezők nem minden eleme egész szám: például könnyen kimutatható, hogy az egyetlen egész elem a közönséges egész szám . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Bizonyítható, hogy két algebrai egész szám összege és szorzata ismét algebrai egész szám, így az egész elemek a számmező részgyűrűjét alkotják , amelyet egész mezők gyűrűjének nevezünk és jelöljük . A mező nem tartalmaz nulla osztókat, és ez a tulajdonság öröklődik, amikor egy részgyűrűre megy át, így az egész számok gyűrűje integrál ; a részgyűrűk mezeje maga a mező . Bármely számmező egész számainak gyűrűje a következő három tulajdonsággal rendelkezik: integrálisan zárt , Noether -féle és egydimenziós . Az ilyen tulajdonságokkal rendelkező kommutatív gyűrűt Richard Dedekind után Dedekindnek hívják . $K$ $K$ ${\mathcal O}_{K}$ ${\mathcal O}_{K}$ $K$

Felbontás prímszámokra és osztálycsoportokra

Egy tetszőleges Dedekind-gyűrűben a nem nullától eltérő ideálok egyediek egyszerűek szorzatára bomlanak le . Azonban nem minden egész szám felel meg a faktoriális tulajdonságnak : még egy másodfokú mező egész számainak gyűrűjére sem egyedi a felbontás: ${\mathcal O}_{{{\mathbb Q}({\sqrt {-5}})))={\mathbb Z}[{\sqrt {-5}}]$

6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5)))(1-{\sqrt {-5)))

Ha ezen a gyűrűn egy normát vezetünk be, megmutathatjuk, hogy ezek a kiterjesztések valóban különböznek egymástól, vagyis nem kaphatjuk meg egyiket a másikból egy megfordítható elemmel való szorzással .

A faktoriális tulajdonság megsértésének mértékét az ideális osztálycsoport segítségével mérjük , ez a csoport az egész számok gyűrűjére mindig véges, és sorrendjét osztályok számának nevezzük.

Számmező alapok

Teljes alapon

Egy n fokú F számmező egész bázisa a halmaz

B = { b 1 , …, b n }

az F mező egész számok gyűrűjének n eleméből úgy, hogy az F mező O F egészek gyűrűjének bármely eleme egyedi módon felírható B elemeinek Z -lineáris kombinációjaként ; vagyis az O F -ből származó bármely x esetén egyedi felbontás létezik

x \ u003d m 1 b 1 + ... + m n b n ,

ahol m i közönséges egész számok. Ebben az esetben F bármely eleme felírható így

m 1 b 1 + … + m n b n ,

ahol m i racionális számok. Ezt követően az F egész elemeit azzal a tulajdonsággal különböztetjük meg, hogy ezek pontosan azok az elemek, amelyeknél minden m i egész szám.

Olyan eszközök segítségével, mint a lokalizáció és a Frobenius-endomorfizmus , bármilyen számmezőhöz létrehozhatunk ilyen alapot. Felépítése számos számítógépes algebrai rendszer beépített jellemzője .

Teljesítmény alapja

Legyen F egy n fokú számmező . Az F összes lehetséges bázisa között (mint Q -vektortérben) vannak hatványbázisok, vagyis az alak bázisai

B x = {1, x , x 2 , …, x n −1 }

valamilyen x ∈ F esetén . A primitív elem tétele szerint ilyen x mindig létezik, az adott kiterjesztés primitív elemének nevezzük .

Norm and trace

Az algebrai számmező egy véges -dimenziós vektortér ( a dimenzióját jelöljük így ), és a mező tetszőleges elemével való szorzás ennek a térnek a lineáris transzformációja . Legyen valamilyen F bázis , akkor a transzformáció megfelel a feltétel által meghatározott mátrixnak $\mathbb {Q}$ $n$ $e_{1},e_{2},\ldots e_{n}$ $x\mapsto \alpha x$ $A=(a_{{ij}})$

\alpha e_{i}=\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}e_{j},\quad a_{{ij}}\in {\mathbf {Q}}.

Ennek a mátrixnak az elemei a bázis megválasztásától függenek, azonban az összes mátrixinvariáns , mint például a determináns és a nyom , nem függ tőle . Az algebrai kiterjesztések kontextusában a mátrix egy elemmel szorzott determinánsát az adott elem normájának nevezzük (jelölése ); a mátrix nyoma egy elem nyoma (jelölése ). $N(x)$ ${\text{Tr}}(x)$

Az elem nyomvonala egy lineáris függvény F- en :

{\text{Tr))(x+y)={\text{Tr))(x)+{\text{Tr))(y)

és .

{\text{Tr))(\lambda x)=\lambda {\text{Tr))(x),\lambda \in {\mathbb Q}

A norma egy multiplikatív és homogén függvény:

N(xy)=N(x)\cdot N(y)

és .

N(\lambda x)=\lambda ^{n}N(x),\lambda \in {\mathbb Q}

Kiindulási bázisként választhat egy egész bázist , ebben a bázisban egy egész algebrai számmal (vagyis az egész számok gyűrűjének elemével) való szorzás egy egész elemű mátrixnak felel meg . Ezért az egész számok gyűrűjének bármely elemének nyoma és normája egész szám.

Példa a norma használatára

Legyen négyzetektől mentes természetes szám , majd másodfokú mező (különösen számmező). Ebben a mezőben egy egész bázist választunk ( egész elem, mivel ez a redukált polinom gyöke ). Ezen az alapon a szorzás a mátrixnak felel meg $d$ ${\mathbb Q}({\sqrt d})$ $(1,{\sqrt d})$ ${\sqrt d}$ $x^{2}-d$ $a+b{\sqrt d}$

{\begin{pmatrix}a&db\\b&a\end{pmatrix}}

Ezért ,. A gyűrű elemein ez a norma egész számokat vesz fel. A norma egy multiplikatív csoport homomorfizmusa egy multiplikatív csoportra , így a gyűrű invertálható elemeinek normája csak vagy egyenlő lehet . A Pell-egyenlet megoldásához elég megkeresni az egész számok gyűrűjének összes megfordítható elemét (más néven gyűrűs egységeket ), és kiválasztani közülük azokat, amelyeknek normája van . Dirichlet egységtétele szerint egy adott gyűrű minden invertálható eleme egy elem hatványa (egészen szorzásig ), így a Pell-egyenlet összes megoldásának megtalálásához elegendő egyetlen alapvető megoldást találni. $N(a+b{\sqrt d})=a^{2}-db^{2}$ ${\mathbb Z}[{\sqrt d}]$ ${\mathbb Z}[{\sqrt d}]$ $\mathbb {Z}$ $egy$ $-egy$ $a^{2}-db^{2}=1$ $egy$ $-egy$

Lásd még

Kummer elmélete

Irodalom

H. Koch. Algebrai számelmélet . - M .: VINITI , 1990. - T. 62. - 301 p. - (Tudomány és technológia eredményei. "A matematika modern problémái. Alapvető irányok" sorozat).
Chebotarev N.G. A Galois-elmélet alapjai. 2. rész - M . : Szerkesztői URSS, 2004.
Weil G. Algebrai számelmélet. Per. angolból - M . : URSS szerkesztőség, 2011.
Serge Lang , Algebrai számelmélet, második kiadás, Springer, 2000