Számítógépes algebra rendszer

A számítógépes algebrarendszer ( SKA , eng.  computer algebra system, CAS ) szimbolikus számítások alkalmazási programja , azaz transzformációk végrehajtása és matematikai kifejezésekkel való analitikus (szimbolikus) formában történő munkavégzés.

Szimbolikus számítások

A számítógépes algebrai rendszerek különböző képességekkel rendelkeznek, de jellemzően a következő szimbolikus műveleteket támogatják:

• kifejezések egyszerűsítése kisebb méretre vagy csökkentés szabványos formára , beleértve az automatikus egyszerűsítést feltételezések és korlátozások használatával
• szimbolikus és numerikus értékek helyettesítése kifejezésekben
• a kifejezések formájának megváltoztatása: termékek és hatáskörök nyilvánosságra hozatala, részleges és teljes faktorizálás (faktorizálás)
• egyszerű törtekre bővítés, megszorítások kielégítése, trigonometrikus függvények kitevőkkel való jelölése , logikai kifejezések átalakítása
• a részleges és a teljes származékok differenciálása
• határozatlan és határozott integrálok keresése ( szimbolikus integráció )
• optimalizálási problémák szimbolikus megoldása : globális szélsőségek, feltételes szélsőségek keresése stb.
• lineáris és nemlineáris egyenletek megoldása
• differenciál- és véges differenciálegyenletek algebrai (nem numerikus) megoldása
• függvények és sorozatok határainak megtalálása
• integrál transzformációk
• sorozat manipuláció : összegzés, szorzás, szuperpozíció
• mátrixműveletek : inverzió, faktorizálás, spektrális feladatok megoldása
• statisztikai számítások
• automatikus tételbizonyítás , formális ellenőrzés
• programszintézis

További funkciók

Sok SKA-hoz tartozik még:

• olyan programozási nyelv , amely lehetővé teszi a felhasználók számára, hogy saját algoritmusaikat állítsák össze
• tetszőleges pontosságú numerikus műveletek
• egész számok nagy számokhoz és számelméleti függvények támogatásához
• matematikai kifejezések szerkesztése kétdimenziós formában (alindexekkel, közönséges törtekkel stb.)
• két vagy három dimenziós ábrázolási függvények és animációik
• grafikonok és diagramok rajzolása
• API külső programok ( adatbázisok ) vagy programozási nyelvek általi használatra számítógépes algebra rendszerhez
• karakterlánc műveletek ( részstring keresés )
• további alkalmazott matematikai modulok olyan területekhez , mint a fizika , bioinformatika , számítási kémia és csomagok a mérnöki fizika számítástechnikához

Néhány a következőket tartalmazza:

• grafika készítése és szerkesztése ( számítógépes képek készítése , valamint jelfeldolgozás és képelemzés )
• hangszintézis

Egyes SCA-k egy adott felhasználási területre irányulnak; az ilyen programokat általában az akadémiai közösség fejleszti és ingyenesen terjeszti. Előfordulhat, hogy a numerikus számításokban nem olyan hatékonyak, mint a numerikus módszerekhez használt rendszerek .

Történelem

Az SKA az 1960-as évek elején jelent meg, és szakaszosan fejlődött, főleg két irányban: az elméleti fizika és a mesterséges intelligencia létrehozása terén .

Az első sikeres példa Martinus Veltman (később fizikai Nobel-díjas ) úttörő munkája volt , aki 1963-ban megalkotta a szimbolikus számítástechnikai programot (a nagyenergiájú fizika szükségleteihez), amely Schoonschip nevet kapott.

Karl Engelman a LISP segítségével 1964-ben létrehozta a MATHLAB-ot a MITER projekt részeként ( a mesterséges intelligencia tanulmányozására ). Később a MATHLAB elérhetővé vált az egyetemeken a PDP-6 és PDP-10 nagyszámítógépes felhasználók számára, olyan operációs rendszerekkel, mint a TOPS-10 vagy a TENEX . Egyelőre még futtatható SIMH PDP-10 emulációkon. A MATHLAB-ot (" matematikai laboratóriumi oratórium ") nem szabad összetéveszteni a MATLAB - bal ( " mátrixlaboratórium "), egy numerikus számítási rendszerrel, amelyet 15 évvel később hoztak létre az Új-Mexikói Egyetemen.

Az 1960-as évek végétől az SKA első generációja rendszereket tartalmazott [1] :

• MACSYMA (Joel Moses)
• MATLAB ( Massachusetts Institute of Technology ),
• SCRATCHPAD (Richard Jencks, IBM )
• CSÖKKENTÉS (Tony Hearn)
• SAC-I, később SACLIB (George Collins),
• MUMATH mikroprocesszorokhoz (David Stoutmyer) és utódja
• SZÁRMAZIK.

Ezek a rendszerek képesek voltak szimbolikus számítások elvégzésére: integráció, differenciálás, faktorizálás.

A második generáció, amely egy modernebb grafikus felhasználói felületet fogadott el , magában foglalja a Maple -t (Kate Geddes és Gaston Gonnet, Waterloo Egyetem , 1985) és a Mathematicát ( Stephen Wolfram ), amelyeket széles körben használnak matematikusok, tudósok és mérnökök [1] . Ingyenes alternatívák a Sage , Maxima , Reduce .

1987 -ben a Hewlett-Packard bemutatta az első zsebelemző számológépet ( HP-28 ), és ez volt az első számológép, amely megvalósította az algebrai kifejezésszervezést, a differenciálást, a korlátozott analitikus integrációt, a Taylor-sorozat kiterjesztését és az algebrai egyenletmegoldást.

A Texas Instruments 1995 -ben adta ki a TI-92 számológépet a Derive szoftveren alapuló forradalmi CAS-kiterjesztésekkel. Ez a számológép és utódai, köztük a TI-89 és a TI-Nspire CAS sorozat, amely 2007-ben jelent meg, bemutatta a viszonylag kompakt és olcsó számítógépes algebrai rendszerek kivitelezhetőségét.

A harmadik generációban kezdték alkalmazni a kategorikus megközelítést és az operátorszámításokat [1] :

• AXIOM , a SCRATCHFAD (NAG) követője,
• MAGMA (John Cannon, Sydney-i Egyetem ),
• MUPAD (Benno Fuchssteiner, Paderborni Egyetem).

2012-re a számítógépes algebrai rendszerek kutatása három irányban folytatódik: az egyre szélesebb körű problémák megoldásának képessége, a könnyű használhatóság és a munkavégzés gyorsasága [1] .

A matematika számítógépes algebrai rendszerekben használt ágai

• Szimbolikus integráció  – Risch algoritmus
• Hipergeometrikus összegzés  – Gosper algoritmusa
• Limit (matematika)  - Gruntz algoritmus
• Polinomok faktorizálása . Korlátozott területek esetén a Berlekamp algoritmust vagy a Cantor-Zassenhaus algoritmust használjuk .
• Legnagyobb közös osztó  – Euklidész algoritmusa
• Gauss módszer
• Gröbner-alap  - Buchberger algoritmus
• Padé közelítés
• Schwarz-Zippel lemma és a polinomok egyenlőségének ellenőrzése
• Kínai maradék tétel
• Diofantin egyenlet
• Valós számok feletti kvantorok kiiktatása - Tarski módszere
• Landau algoritmus
• Elemi és speciális függvények származékai (például lásd a hiányos gammafüggvényt )

Lásd még

• ELEMZŐ

Jegyzetek

1. ↑ 1 2 3 4 Modern számítógépes algebra, 2013 , 1.4. Számítógépes algebra rendszerek.

Irodalom

• Richard J. Fateman. Esszék az algebrai  egyszerűsítésről . - 1972. - 191 p. - (Műszaki jelentés MIT-LCS-TR-095). Archiválva : 2006. szeptember 17. a Wayback Machine -nél
• Taranchuk VB Számítógépes algebrai rendszerek alapfunkciói . - Minszk: BGU, 2013. - 59 p. (Orosz)
• Buchberger B. és mások. Számítógépes algebra: Szimbolikus és algebrai számítások. — M .: Mir, 1986. — 392 p.
• Joachim von zur Gathen; Jürgen Gerhard. Modern számítógépes algebra, harmadik kiadás . - Cambridge University Press, 2013. - 808 p. — ISBN 978-1-107-03903-2 .

Linkek

• A számítógépes algebrarendszer definíciója és működése
• Tanterv és értékelés a számítógépes algebrarendszerek korában  – Az Oktatási Erőforrások Információs Központ Természettudományi, Matematikai és Környezeti Oktatási Központjától, Columbus, Ohio.
• A STACK  egy számítógépes algebrán alapuló képzési és tesztelési rendszer
• Számítógépes algebrai rendszerek gyűjteménye