Padé közelítés

A Padé-közelítés az analitikai függvények racionális közelítésének klasszikus módszere , amelyet Henri Padé francia matematikusról neveztek el . A módszer abból áll, hogy a függvényt két olyan polinom arányaként ábrázoljuk, amelyek együtthatóit a függvény kiterjesztésének együtthatói határozzák meg egy Taylor-sorban . A lebontáshoz

f(z)=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\ldots

a Padé-közelítés segítségével optimálisan meg lehet választani az együtthatókat és megkapni a közelítőt $a_{i}$ $kettős}$

{\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^ {M}}}.

Ennek az egyszerű gondolatnak és általánosításainak felhasználása számos eredményre vezetett, és szinte alapvető kutatási módszerré vált.

Történelem

Padé szerzői 1892 -es disszertációján alapulnak [1] (a disszertáció egy példánya a Cornell Egyetem Könyvtárában található ). Ebben a munkában az ilyen közelítéseket tanulmányozta és táblázatba rendezte , miközben nagy figyelmet fordított az exponenciális függvényre .

Definíció

Legyen a függvény kiterjesztése egy Taylor hatványsorban : $F z)$

f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}z^{i},

hol vannak a sorozat együtthatói. $c_{i}$

A Padé-közelítő az alak racionális függvénye

[L/M]={\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots + b_{M}z^{M}}},

amelynek egy Taylor-sorozatban történő kiterjesztése (nulla közepén) egybeesik a függvény kiterjesztésével , ameddig csak lehetséges. Egy ilyen függvénynek együtthatója van a számlálóban és - a nevezőben. Az együtthatók teljes halmazát egy közös tényezőig határozzák meg $F z)$ $L+1$ $M+1$ .

Pade táblázat

Általánosítások

Többpontos Padé közelítések
Baker-Gammel közelítések
Több változó függvényének közelítése
Matrix Padé közelítők
Padé-Csebisev közelítés
Padé-Fourier közelítés

A megtalálás numerikus módszerei

Jegyzetek

↑ H. Padé. Sur la représentation approchée d'une fonction par des fractions rationnelles Thèse de Doctorat présentée à l'Université de la Sorbonne, 1892.

Bibliográfia

George A. Baker, Jr.; Peter Graves-Morris. Padé Approximants = Padé approximants / per. angolról. E. A. Rakhmanova, S. P. Suetina; szerk. A. A. Gonchar. — M .: Mir, 1986. — 502 p. - 6400 példány.

Linkek

Eric W. Weisstein. Padé Approximant . matematikai világ. Letöltve: 2009. augusztus 1.
Bochkanov S., Bystritsky V. Padé Közelítés (elérhetetlen link) . Algoritmusok könyvtára. Letöltve: 2009. augusztus 1. Az eredetiből archiválva : 2005. december 15. (határozatlan)
Buslaev VI Ismétlődő összefüggések és racionális közelítések . A Matematikai Intézet összintézeti szemináriuma "Matematika és alkalmazásai". V. A. Steklov RAS (2008. április 17.). - Videó felvétel. Letöltve: 2009. augusztus 1. (határozatlan)
Kalyuzhny O., Kokovin V. Padé-közelítések alkalmazása turbósugárzó vibrációra . Hozzáférés időpontja: 2012-17-12. (Orosz)