Döntő

A lineáris algebrában a determináns ( determináns ) egy skaláris érték , amely egy többdimenziós euklideszi tér orientált "kiterjedését" vagy "összenyomódását" jellemzi mátrix transzformáció után; csak négyzetmátrixoknál van értelme . A mátrix determinánsának standard jelölése: , , [ 1] . $A$ $\det(A)$ $|A|$ $\Delta (A)$

A kommutatív gyűrű felett meghatározott négyzetes méretmátrix determinánsa a gyűrű eleme . Ez az érték meghatározza a mátrix számos tulajdonságát , különösen a mátrix akkor és csak akkor invertálható , ha a meghatározója a gyűrű invertálható eleme . Abban az esetben, ha egy mező , a mátrix determinánsa akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha a mátrix rangja kisebb, mint , vagyis amikor a mátrix sor- és oszloprendszerei lineárisan függenek . . $A$ $n\szer n$ $R$ $R$ $A$ $R$ $R$ $A$ $A$ $n$ $A$

Történelem

A determinánsok elmélete a lineáris egyenletrendszerek megoldásának problémája kapcsán merült fel .

A „ Matematika kilenc könyvben ” [2] ősi kínai tankönyv szerzői közel kerültek a determináns fogalmához .

Európában a 2×2-es mátrixok determinánsai Cardanóban találhatók a 16. században. A magasabb dimenziók esetében a determináns definícióját Leibniz adta meg 1693-ban. Az első kiadvány Kramer alkotása . A determinánsok elméletét Vandermonde , Laplace , Cauchy és Jacobi alkották meg . A „determináns” kifejezést a mai jelentésében O. Cauchy (1815) vezette be, bár korábban (1801) K. Gauss a másodfokú formák diszkriminánsát „determinánsnak” nevezte.

Seki Takakazu japán matematikus 1683-ban önállóan vezetett be determinánsokat [3] .

Definíciók

Permutációk révén

Egy méretű négyzetmátrix esetén a determinánsát a következő képlettel számítjuk ki: $A=(a_{ij})$ $n\szer n$ $\det A$

\det A=\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}(-1)^{N(\alpha _{1}, \alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}\cdot a_{1\alpha _{1}}a_{2\alpha _{2}}\dots a_{n\alpha _{n }}

ahol az összegzés a számok összes permutációján történik , és a permutáció inverzióinak számát jelöli . ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n))$ $1,2,\pontok ,n$ $N(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})$ ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n))$

Így a determináns olyan kifejezéseket tartalmaz, amelyeket "a determináns feltételeinek" is neveznek. $n!$

Egyenértékű képlet:

\det A=\sum _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}=1}^{n}\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_ {n}}\cdot a_{1i_{1}}a_{2i_{2}}\dots a_{ni_{n}}

ahol az együttható - a Levi-Civita szimbólum - egyenlő: $\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n))$

0, ha nem minden index különálló,

{\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n))

1, ha minden index különböző és a helyettesítés páros,

{\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n))

{\begin{pmatrix}1&2&\dots &n\\i_{1}&i_{2}&\dots &i_{n}\end{pmatrix}}\in S_{n}

−1, ha minden index különböző és a helyettesítés páratlan.

{\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n))

{\begin{pmatrix}1&2&\dots &n\\i_{1}&i_{2}&\dots &i_{n}\end{pmatrix}}\in S_{n}

Axiomatikus konstrukció (tulajdon alapú meghatározás)

A determináns fogalma a tulajdonságai alapján vezethető be. Egy valós mátrix determinánsa ugyanis egy olyan függvény , amely a következő három tulajdonsággal rendelkezik [4] : $\det :\mathbb {R} ^{n\times n}\rightarrow \mathbb {R}$

$\det(A)$ a mátrix sorainak (oszlopainak) ferde-szimmetrikus függvénye . $A$
$\det(A)$ a mátrix sorainak (oszlopainak) multilineáris függvénye . $A$
$\det(E)=1$ , hol van az identitásmátrix . $E$ $n\szer n$

A mátrix determináns értéke

Elsőrendű mátrix esetén a determináns értéke megegyezik a mátrix egyetlen elemével:

\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}\end{vmatrix}}=a_{11}

Mátrixok 2 x 2

Egy mátrix esetében a determináns kiszámítása a következőképpen történik: $2\szer 2$

\Delta ={\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}}=ad-bc

Ez az A mátrix egy lineáris leképezési mátrixnak tekinthető, amely az egységnégyzetet (0, 0) , ( a , b ) , ( a + c , b + d ) és ( c , d ) csúcsokkal rendelkező paralelogrammává alakítja .

A determináns abszolút értéke megegyezik a paralelogramma területével, és így tükrözi azt a tényezőt, amellyel a területeket skálázzák az A transzformációban . $|ad-bc|$

Az előjeles determináns ( a paralelogramma orientált területe) értéke a skálázási tényezőn kívül azt is jelzi, hogy az A transzformáció tükrözést hajt-e végre.

Mátrixok 3 x 3

A mátrix determináns a következő képlettel számítható ki: $3\x 3$

\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\ end{vmatrix}}=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-a_{12}{\begin{vmatrix }a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+a_{13}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31} &a_{32}\end{vmatrix}}=

=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{ 31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}

A harmadrendű determináns kényelmesebb kiszámításához használhatja a Sarrus - szabályt vagy a háromszögszabályt.

A vektorokból álló mátrix determinánsa megegyezik azok vegyes szorzatával a jobb oldali derékszögű koordinátarendszerben, és a kétdimenziós esethez hasonlóan egy paralelepipedon orientált térfogata, amelyen átível . $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$

N × N mátrix

Általánosságban elmondható, hogy magasabb rendű mátrixok esetén (2-es sorrend felett) a determináns a következő rekurzív képlet alkalmazásával számítható ki: $n\szer n$

\Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}

, ahol egy további moll az elemhez . Ezt a képletet sorbővítésnek nevezzük .

{\bar {M}}_{j}^{1}

a_{1j}

Könnyen bebizonyítható, hogy a mátrix determináns nem változik a transzponálás során (azaz az első oszlopban is érvényes a hasonló bővítés, vagyis ugyanazt az eredményt adja, mint az első sor bővítése):

\Delta =\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}

Bizonyíték

Hadd . ${\tilde {\Delta }}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}$

Bizonyítsuk be ezt indukcióval. Látható, hogy ez igaz a mátrixra: ${\tilde {\Delta ))=\Delta$ $2\szer 2$

{\tilde {\Delta _{2}}}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1} ^{i}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}=\Delta _{2}

Tegyük fel, hogy a sorrendi mátrixra - igaz. $n-1$ ${\tilde {\Delta ))_{n-1}=\Delta _{n-1}$

{\tilde {\Delta _{n}}}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1} ^{i}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{i=2}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1 }{\bar {M}}_{1}^{i}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{i=2}^{n}( -1)^{i+1}a_{i1}\sum _{j=2}^{n}(-1)^{j}a_{1j}{\bar {M}}_{1j}^{ i1}=

=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=2}^{n}(-1)^ {i+j+1}a_{i1}a_{1j}{\bar {M}}_{1j}^{i1}

{\Delta _{n}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1} =a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{j=2}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{j=2}^{n}(-1)^ {1+j}a_{1j}\sum _{i=2}^{n}(-1)^{i}a_{i1}{\bar {M}}_{j1}^{1i}=

=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{j=2}^{n}\sum _{i=2}^{n}(-1)^ {i+j+1}a_{1j}a_{i1}{\bar {M}}_{j1}^{1i}={\tilde {\Delta _{n}}}

■

Bármely sor (oszlop) hasonló bővítése is érvényes:

\Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}

Bizonyíték

Hadd . ${\tilde {\Delta }}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}$

Bizonyítsuk be ezt indukcióval. Látható, hogy ez igaz a mátrixra: ${\tilde {\Delta ))=\Delta$ $2\szer 2$

{\tilde {\Delta _{2}}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j} ^{i}=-a_{21}a_{12}+a_{22}a_{11}=\Delta _{2}

Tegyük fel, hogy a sorrendi mátrixra - igaz. $n-1$ ${\tilde {\Delta ))_{n-1}=\Delta _{n-1}$

{\tilde {\Delta _{n}}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j} ^{i}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\left(\sum _{k<j}(-1)^{1+ k}a_{1k}{\bar {M}}_{jk}^{i1}+\sum _{k>j}(-1)^{k}a_{1k}{\bar {M}}_ {jk}^{i1}\jobbra)

Gyűjtsük össze az együtthatókat : ${\bar {M}}_{j_{0}k_{0}}^{i\,\,1}$

j_{0}>k_{0}\colon \;(-1)^{i+j_{0}}a_{ij_{0}}(-1)^{1+k_{0}}a_{1k_{ 0}}+(-1)^{i+k_{0}}a_{ik_{0}}(-1)^{j_{0}}a_{1j_{0}}=(-1)^{i +j_{0}+k_{0}+1}(a_{ij_{0}}a_{1k_{0}}-a_{ik_{0}}a_{1j_{0}})=

=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}

j_{0}<k_{0}\colon \;(-1)^{i+j_{0}}a_{ij_{0}}(-1)^{k_{0}}a_{1k_{0} }+(-1)^{i+k_{0}}a_{ik_{0}}(-1)^{j_{0}+1}a_{1j_{0}}=(-1)^{i +j_{0}+k_{0}+1}(a_{ik_{0}}a_{1j_{0}}-a_{ij_{0}}a_{1k_{0}})=

=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}

{\tilde {\Delta _{n))}=\sum _{j\neq k}(-1)^{i+j+k+1}M_{jk}^{1i}{\bar {M} }_{jk}^{1i}

\Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}=\sum _{j =1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}\left(\sum _{k<j}(-1)^{i+k-1}a_{ik}{\ sáv {M}}_{jk}^{1i}+\sum _{k>j}(-1)^{i+k-2}a_{ik}{\bar {M}}_{jk}^ {1i}\jobbra)

Gyűjtsük össze az együtthatókat : ${\bar {M}}_{j_{0}k_{0}}^{i\,\,1}$

j_{0}>k_{0}\colon \;(-1)^{1+j_{0}}a_{1j_{0}}(-1)^{i+k_{0}-1}a_{ ik_{0}}+(-1)^{1+k_{0}}a_{1k_{0}}(-1)^{i+j_{0}-2}a_{ij_{0}}=( -1)^{j_{0}+i+k_{0}}(a_{1j_{0}}a_{ik_{0}}-a_{1k_{0}}a_{ij_{0}})=

=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}

j_{0}<k_{0}\colon \;(-1)^{1+j_{0}}a_{1j_{0}}(-1)^{i+k_{0}-2}a_{ ik_{0}}+(-1)^{1+k_{0}}a_{1k_{0}}(-1)^{i+j_{0}-1}a_{ij_{0}}=( -1)^{k_{0}+i+j_{0}}(a_{1k_{0}}a_{ij_{0}}-a_{1j_{0}}a_{ik_{0}})=

=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}

{\Delta _{n}}=\sum _{j\neq k}(-1)^{i+j+k+1}M_{jk}^{1i}{\bar {M}}_{jk }^{1i}={\tilde {\Delta _{n))}

■

A fenti képletek általánosítása a determináns Laplace szerinti kiterjesztése (Laplace -tétel ), amely lehetővé teszi bármely sor (oszlop) determinánsának kiszámítását: $k$

\Delta =\sum _{1\leqslant j_{1}<\ldots <j_{k}\leqslant n}(-1)^{i_{1}+\ldots +i_{k}+j_{ 1}+\lpont +j_{k}}M_{j_{1}\lpont j_{k}}^{i_{1}\lpont i_{k}}{\bar {M}}_{j_{1} \ldots j_{k}}^{i_{1}\ldots i_{k}}

Alternatív számítási módszerek

Dodgson kondenzációs módszer a rekurzív képlet alapján:

{\displaystyle \Delta ={\frac {{\bar {M}}_{1}^{1}{\bar {M}}_{k}^{k}-{\bar {M}}_{ 1}^{k}{\bar {M}}_{k}^{1}}{{\bar {M}}_{1,k}^{1,k))))

A determinánsok alapvető tulajdonságai

A következő tulajdonságok tükrözik a determinánsok elméletének főbb eredményeit, amelyek alkalmazása messze túlmutat ezen elmélet határain:

$\det E=1$ (Az identitásmátrix meghatározója 1);
$\det cA=c^{n}\det A$ (A determináns egy homogén hatványfüggvény a méretű mátrixok terén ); $n$ $n\szer n$
$\det A^{T}=\det A$ (A mátrix determinánsa nem változik transzponálva);
$\det(AB)=\det A\cdot \det B$ (A mátrixok szorzatának determinánsa egyenlő a determinánsaik szorzatával, és azonos rendű négyzetmátrixok); $A$ $B$
${\displaystyle \det A^{-1}=(\det A)^{-1))$ , és a mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha a determinánsa invertált ; $A$ $\det A$
Az egyenletnek akkor és csak akkor van nem nulla megoldása (vagy nem triviális nullaosztónak kell lennie, ha nem integrálgyűrű). $AX=0$ $\detA=0$ $\det A$ $R$

Determináns a mátrix sorainak (oszlopainak) függvényében

A determinánsok elméletének tanulmányozásakor hasznos észben tartani, hogy ez az elmélet a mátrixok sorai és oszlopai manipulálásának technikáján alapul, amelyet K.F. Gauss (Gauss transzformációk). Ezeknek a transzformációknak a lényege a sorokon (oszlopokon) végzett lineáris műveletekre és azok permutációjára redukálódik. Ezek a transzformációk meglehetősen egyszerű módon tükröződnek a determinánsban, és tanulmányozásuk során célszerű az eredeti mátrixot sorokra (vagy oszlopokra) "particionálni", és a determinánst sorok (oszlopok) felett meghatározott függvénynek tekinteni. Továbbá a betűk a mátrix sorait (oszlopait) jelölik . ${\hat {A}}_{i}$ $A$

1. A determináns egy mátrix sorainak (oszlopainak) multilineáris függvénye . A multilinearitás azt jelenti, hogy a függvény minden argumentumban lineáris a többi argumentum rögzített értékeivel:

\det({\hat {A}}_{1},\ldots ,\alpha {\hat {A}}_{i}+\beta {\hat {A'}}_{i}, \ldots ,{\hat {A}}_{n})=\alpha \det({\hat {A}}_{1},\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{n})+\beta \det({\hat {A}}_{1},\ldots ,{\hat {A'}}_{i},\ldots , {\kalap {A}}_{n})

2. A determináns a mátrix sorainak (oszlopainak) ferde-szimmetrikus függvénye, vagyis amikor a mátrix két sorát (oszlopát) felcseréljük, a determinánsát megszorozzuk -1-gyel:

\det(\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{j},\ldots )=-\det(\ldots ,{\hat {A}}_{j},\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots )

3. Ha egy mátrix két sora (oszlopa) megegyezik, akkor a determinánsa egyenlő nullával:

{\hat {A}}_{i}={\hat {A}}_{j}\Longrightarrow \det(\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots ,{ \hat {A}}_{j},\ldots )=0

Megjegyzés. Az 1-3 tulajdonságok a determináns fő tulajdonságai a sorok (oszlopok) függvényében, könnyen igazolhatók közvetlenül a definícióból. A 2. tulajdonság (ferde szimmetria) az 1. és 3. tulajdonság logikai következménye. A 3. tulajdonság a 2. tulajdonság logikai következménye, ha a gyűrűben a 2. elem (azaz 1 + 1) nem esik egybe nullával, és nem nullaosztó. Az 1. és 3. tulajdonság a következő tulajdonságokat is jelenti: $R$

4. A determináns bármely sora (oszlopa) elemeinek közös tényezője kivehető a determináns előjeléből (az 1. tulajdonság következménye). 5. Ha a mátrix legalább egy sora (oszlopa) nulla, akkor a determináns egyenlő nullával (a 4. tulajdonság következménye). 6. Ha egy mátrix két (vagy több) sora (oszlopa) lineárisan függ, akkor a determinánsa nulla (az 1. és 3. tulajdonság következménye). 7. Ha bármely sorhoz (oszlophoz) hozzáadunk más sorok (oszlopok) lineáris kombinációját , a determináns nem változik (az 1. és 6. tulajdonság következménye).

Alapvető fontosságú tény a determináns univerzalitása, mint egy teljes rangú multilineáris ferde-szimmetrikus függvény, amelynek argumentumai egy véges dimenziós vektortér (vagy véges bázisú modul ) elemei. A következő $V$ $R$ $V$

Tétel. Legyen egy szabad -rangú modul ( -dimenziós vektortér felett , ha mező). Legyen egy -értékű függvény 1-3 tulajdonságokkal. Ezután a tér alapjának kiválasztásakor van egy olyan állandó , amely minden értékre igaz:

V

R

n

n

R

R

\varphi (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})

R

V^{n}

{\displaystyle E_{1},E_{2},\dots ,E_{n))

V

c_{0}=\varphi (E_{1},E_{2},\dots ,E_{n})

{\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n))

\varphi (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=c_{0}\det({\hat {X}}_{1},{\hat {X} }_{2},\dots ,{\hat {X}}_{n})

ahol a vektor koordinátáinak oszlopa a bázishoz képest . ${\hat {X}}_{i}$ $X_{i}$ ${\displaystyle E_{1},E_{2},\dots ,E_{n))$

Bizonyíték

Bővítsük ki a vektorokat az alap szerint : . Ekkor a következő oszlopok felelnek meg nekik: . ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n))$ ${\displaystyle E_{1},E_{2},\dots ,E_{n))$ ${\displaystyle X_{i}=\sum _{j=1}^{n}x_{ij}E_{j))$ ${\hat {X}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}x_{ij}{\hat {E}}_{j}$

A függvény multilinearitása miatt $\varphi$ $\varphi (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\varphi (\sum _{i_{1}=1}^{n}x_{1i_{1)) E_{i_{1}},\sum _{i_{2}=1}^{n}x_{2i_{2}}E_{i_{2}},\pontok ,\összeg _{i_{n}= 1}^{n}x_{ni_{n}}E_{i_{n}})=\sum _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}=1}^{n} \varphi (E_{i_{1}},E_{i_{2}},\dots ,E_{i_{n}})\cdot x_{1i_{1}}x_{2i_{2}}\dots x_{ ni_{n}}$

A 3. tulajdonság alapján, ha vannak közöttük egybeeső indexek, akkor ${\displaystyle i_{1},i_{2},\dots ,i_{n))$

\varphi (E_{i_{1)),E_{i_{2)),\dots ,E_{i_{n)))=0

Ellenkező esetben a ferde szimmetria miatt (2. tulajdonság) a következőket kapjuk:

\varphi (E_{i_{1}},E_{i_{2}},\dots ,E_{i_{n}})=\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{ n}}\varphi (E_{1},E_{2},\dots ,E_{n})

Így , hol . ■ $\varphi (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=c_{0}\det({\hat {X}}_{1},{\hat {X} }_{2},\dots ,{\hat {X}}_{n})$ $c_{0}=\varphi (E_{1},E_{2},\dots ,E_{n})$

A determináns univerzalitásának egyik legfontosabb következménye a következő tétel a determináns multiplicativitására vonatkozóan.

Tétel. Legyen egy méretű mátrix . Ezután bármilyen méretű mátrixhoz .

A

n\szer n

\det(AX)=\det A\cdot \det X

x

n\szer n

Bizonyíték

Tekintsünk egy ferde-szimmetrikus multilineáris formát az oszloptéren . A bizonyított tétel szerint ez az alak egyenlő , ahol . ■ $R^{n}$ $\varphi ({\hat {X}}_{1},{\hat {X}}_{2},\dots ,{\hat {X}}_{n})=\det(A {\hat {X}}_{1},A{\hat {X}}_{2},\dots ,A{\hat {X}}_{n})=\det(AX)$ $c_{0}\det({\hat {X}}_{1},{\hat {X}}_{2},\dots ,{\hat {X}}_{n})= c_{0}\det X$ $c_{0}=\varphi (E_{1},E_{2},\dots ,E_{n})=\det({\hat {A}}_{1},{\hat {A }}_{2},\dots ,{\hat {A}}_{n})=\det A$

Meghatározó és orientált térfogat

Legyen három vektor a térben . Olyan paralelepipedont hoznak létre, amelynek csúcsai sugárvektorokkal rendelkező pontokban helyezkednek el . Ez a doboz degenerált lehet, ha a vektorok egysíkúak (egy síkban fekszenek, lineárisan függenek). ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ $\mathbb {R} ^{3}$ ${\vec {0}},{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}},{\vec {a}}+{\vec {b}} ,{\vec {c}}+{\vec {a}},{\vec {b}}+{\vec {c}},{\vec {a}}+{\vec {b}}+{ \vec {c}}$ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

Az orientált térfogat függvényt az ezen vektorok által generált doboz térfogataként határozzuk meg, és „+” jellel vesszük, ha a vektorok hármasa pozitív, és „-” előjellel, ha negatív orientációjú. A függvény többlineáris és ferde szimmetrikus. A 3. tulajdonság nyilvánvalóan elégedett. Ennek a függvénynek a multilinearitásának bizonyításához elegendő a linearitását igazolni a vektorhoz képest . Ha a vektorok lineárisan függenek, akkor az érték a vektortól függetlenül nulla lesz , tehát lineárisan függ attól. Ha a vektorok lineárisan függetlenek, akkor a vektorok síkjára merőleges egység vektorával jelöljük úgy , hogy . Ekkor a paralelepipedon orientált térfogata megegyezik a vektorokra épített és a vektortól független alapterület szorzatával , valamint a vektor alap normálisra vetítésének algebrai értékével , amely egyenlő a skalárszorzathoz , és a vektortól lineárisan függő mennyiség . A linearitást a vonatkozásban , és a linearitást a többi érvhez hasonlóan igazoljuk. ${\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$ $({\vec {a)),{\vec {b)],{\vec {c)))$ ${\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$ $\vec a$ ${\vec {b)),{\vec {c}}$ ${\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$ $\vec a$ ${\vec {b)),{\vec {c}}$ ${\vec {n}}$ ${\vec {b)),{\vec {c}}$ ${\rm {Vol}}({\vec {n}},{\vec {b}},{\vec {c}})>0$ ${\vec {b)),{\vec {c}}$ $\vec a$ $\vec a$ $\langle {\vec {a)),{\vec {n}}\rangle$ $\vec a$ $\vec a$

A determináns univerzalitásáról szóló tételt ferde-szimmetrikus multilineáris függvényként alkalmazva azt kapjuk, hogy a tér ortonormális bázisának kiválasztásakor $({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3})$ $\mathbb {R} ^{3}$

{\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})={\rm {Vol}}({\vec {e} }_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3})\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1} \\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1 }&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}

hol vannak a kiválasztott bázis vektorainak koordinátái . $a_{i},b_{i},c_{i}$ $({\vec {a)),{\vec {b)],{\vec {c)))$

Így a vektorok együtthatómátrixának az ortonormális bázishoz viszonyított determinánsának az ezekre a vektorokra épített paralelepipedon orientált térfogatának a jelentése.

A fentiek mindegyike, jelentős változtatások nélkül, egy tetszőleges dimenziójú térbe kerül. $\mathbb {R} ^{n}$

Determináns sor/oszlop bontás és mátrix inverzió

A sor/oszlop bontási képletek lehetővé teszik, hogy a determinánsok számítását olyan rekurzív eljárásra redukáljuk, amely az alacsonyabb rendű determinánsok számítását használja. Ezeknek a képleteknek a származtatásához a mátrix determinánsának képletében csoportosítjuk és összegezzük , figyelembe véve az egyenlőséget , az elemet tartalmazó összes nullától eltérő tagot . Ez az összeg: $C=(c_{ij})$ $\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-1}n}=\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-1}}$ $c_{nn}$

c_{nn}\sum _{i_{1},\dots i_{n-1}=1}^{n-1}\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-1}n }c_{1i_{1}}\dots c_{n-1,i_{n-1}}=c_{nn}\sum _{i_{1},\dots i_{n-1}=1}^{ n-1}\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-1}}c_{1i_{1}}\dots c_{n-1,i_{n-1}}=c_{nn}\det C_{n}^{n}

ahol a számot tartalmazó sor és a számot tartalmazó oszlop törlésével kapott mátrix . $C_{i}^{j}$ $C$ $én$ $j$

Mivel egy tetszőleges elem áthelyezhető a mátrix jobb alsó sarkába, ha a megfelelő oszlopot jobbra permutáljuk és a megfelelő sort lefelé a mátrix jobb alsó sarkába permutáljuk, és a hozzá tartozó további mátrix megtartja formáját, akkor a -t tartalmazó determináns kiterjesztésében szereplő összes tag összege egyenlő lesz $c_{ij}$ $(nj)$ $(ni)$ $c_{ij}$

(-1)^{(ni)}(-1)^{(nj)}c_{ij}\det C_{i}^{j}=(-1)^{i+j}c_{ ij}\det C_{i}^{j}=c_{ij}A_{i}^{j}

A mennyiséget a mátrixelem algebrai komplementerének nevezzük . ${\displaystyle A_{i}^{j}=(-1)^{i+j}\det C_{i}^{j))$ $c_{ij}$

Figyelembe véve, hogy egy nem nulla együtthatójú determináns kiterjesztésének minden tagja pontosan egy elemet tartalmaz az i-edik sorból, a determinánst kibővíthetjük ennek a sornak a feltételeivel:

{\displaystyle \det C=\sum _{j=1}^{n}c_{ij}A_{i}^{j))

— Az i-edik sor determinánsának kiterjesztésének képlete

Hasonlóképpen, tekintettel arra, hogy egy nem nulla együtthatójú determináns kiterjesztésének minden tagja pontosan egy elemet tartalmaz a j-edik oszlopból, a determinánst kibővíthetjük ennek az oszlopnak a feltételeivel:

{\displaystyle \det C=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}A_{i}^{j))

— A j-edik oszlopban lévő determináns kiterjesztésének képlete

Ha a mátrix k-edik sorának elemeit átmásoljuk az i-edik sorba, akkor annak determinánsa nulla lesz, és az i-edik sorban lévő determináns kiterjesztésének képlete szerint a következőt kapjuk: $C$

0=\sum _{j=1}^{n}c_{kj}A_{i}^{j}

— Az i-edik sorban lévő determináns "hamis" kiterjesztésének képlete ( ).

i\neq k

Hasonlóan az oszlopokhoz:

0=\sum _{j=1}^{n}c_{ik}A_{i}^{j}

— A determináns "hamis" kiterjesztésének képlete a j-edik oszlopban ( )

j\ne k

A kapott képleteket célszerű mátrix alakban felírni. Vezessünk be egy algebrai összeadások mátrixát a mátrix elemeihez : . Ezután a kapott képletek szerint $C$ $A=(A_{i}^{j})$

CA^{T}=A^{T}C=(\det C)\cdot E

1. következmény (A mátrixok invertálhatóságának kritériuma). A négyzetmátrix akkor és csak akkor invertálható, ha a gyűrű invertálható eleme , és . $C$ $\det C$ $R$ ${\displaystyle C^{-1}=(\det C)^{-1}\cdot A^{T))$

Következmény 2. Ha a mátrixok szorzata nulla és a mátrix négyzet, akkor . $CX=0$ $C$ $(\det C)\cdot X=0$

Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása determinánsok segítségével

A Cramer-képlet lehetővé teszi egy lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásának kifejezését a determinánsok arányaként, amelynek nevezője a rendszer determinánsa, a számláló pedig a rendszermátrix determinánsa, amelyben a megfelelő együtthatók oszlopa változó helyére az egyenletek jobb oldali oszlopa kerül.

Cramer képlete . Adjunk meg egy lineáris algebrai egyenletrendszert mátrix alakban:, ahola méretrendszer együtthatómátrixa , a rendszeregyenleteinekjobb oldalának oszlopa, a vektorpedig ennek a rendszernek a megoldása . Ekkor bármelyikreérvényes az egyenlőség: $CX=B$ $C=(c_{ij})$ $n\szer n$ ${\displaystyle B=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})^{T))$ ${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})^{T))$ $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}\in R$

(\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\dots +\lambda _{n}x_{n})\cdot (\det C)=-\ det {\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\dots &c_{1n}&b_{1}\\c_{21}&c_{22}&\dots &c_{2n}&b_{2}\\\ pontok &\pontok &\pontok &\pontok &\pontok \\c_{n1}&c_{n2}&\pontok &c_{nn}&b_{n}\\\lambda _{1}&\lambda _{2}& \dots &\lambda _{n}&0\end{pmatrix}}

Bizonyíték

Jelölje összeggel , és írja be $\Lambda X$ ${\displaystyle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\pontok +\lambda _{n}x_{n))$

mátrix és vektor .

D={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\pontok &c_{1n}&b_{1}\\c_{21}&c_{22}&\pontok &c_{2n}&b_{2 }\\\pontok &\pontok &\pontok &\pontok &\pontok \\c_{n1}&c_{n2}&\pontok &c_{nn}&b_{n}\\\lambda _{1}&\lambda _ {2}&\pontok &\lambda _{n}&\Lambda X\end{pmatrix}}

X'={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\pontok \\x_{n}\\-1\end{pmatrix}}

Akkor és az előző rész 2. következménye szerint . $DX'=0$ $(\det D)X'=0$

De mivel a vektor egyik összetevője egyenlő -1-gyel, ez azt jelenti, hogy . Az állítás beigazolódik, mert $X'$ $\det D=0$

\det D=\Lambda X\cdot (\det C)+\det {\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\dots &c_{1n}&b_{1}\\c_{21 }&c_{22}&\pontok &c_{2n}&b_{2}\\\pontok &\pontok &\pontok &\pontok &\pontok \\c_{n1}&c_{n2}&\pontok &c_{nn}&b_ {n}\\\lambda _{1}&\lambda _{2}&\pontok &\lambda _{n}&0\end{pmatrix}}

■

Ebből a képletből különösen az következik, hogy ha a - nem degenerált (nem nulla vagy nulla osztó), akkor a rendszernek legfeljebb egy megoldása lehet, és ha a determináns is invertálható, akkor a rendszernek egyedi megoldása van. $\det C$

A determinánsok elméletének egyik legfontosabb tétele a következő tétel a homogén lineáris egyenletrendszer megoldásairól.

Tétel. Legyen mező. Egy homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csak akkor van nem triviális (nem nulla) megoldása, ha az együtthatómátrix determinánsa egyenlő nullával: . $R$ $CX=0$ $\det C=0$

Bizonyíték

A feltétel szükségességét az előző szakasz 2. következménye tartalmazza. Bizonyítsuk be a szükségességet.

Ha a mátrix nulla, bármelyik vektor megoldás. Legyen a maximális nem degenerált moll a méretmátrixban . Az általánosság elvesztése nélkül feltételezzük, hogy ezt a minort az első r sor és oszlop alkotja (ellenkező esetben átszámozzuk a változókat, és más sorrendbe rendezzük át az egyenleteket.) Vezessük be a és a vektorokat . Ekkor a rendszer első r egyenletét mátrix formában a következőképpen írjuk fel: $C$ $x$ $C_{0}$ $C$ $r\szer r$ ${\displaystyle X_{0}=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{r})^{T))$ ${\displaystyle X_{1}=(x_{r+1},\pontok ,x_{n})^{T))$

C_{0}X_{0}+C_{1}X_{1}=0

Mivel a mátrix invertálható, bármely érték egyetlen vektornak felel meg, amely kielégíti ezeket az egyenleteket. Mutassuk meg, hogy ebben az esetben a fennmaradó egyenletek automatikusan teljesülnek. Hadd . $C_{0}$ $X_{1}$ ${\displaystyle X_{0}=-C_{0}^{-1}C_{1}X_{1))$ $j>r$

Vezessünk be két mátrixot:

D_{1}={\begin{pmatrix}c_{11}&\pontok &c_{1r}&c_{1r+1}x_{r+1}+\pontok +c_{1n}x_{n}\ \c_{21}&\pontok &c_{2r}&c_{2r+1}x_{r+1}+\pontok +c_{2n}x_{n}\\\pontok &\pontok &\pontok &\pontok \ pontok \pontok \pontok \\c_{r1}&\pontok &c_{rr}&c_{rr+1}x_{r+1}+\pontok +c_{rn}x_{n}\\c_{j1}&\ pontok &c_{jr}&c_{jr+1}x_{r+1}+\pontok +c_{jn}x_{n}\\\end{pmatrix}}

és .

D_{2}={\begin{pmatrix}c_{11}&\pontok &c_{1r}&c_{1r+1}x_{r+1}+\pontok +c_{1n}x_{n}\ \c_{21}&\pontok &c_{2r}&c_{2r+1}x_{r+1}+\pontok +c_{2n}x_{n}\\\pontok &\pontok &\pontok &\pontok \ pontok \pontok \pontok \\c_{r1}&\pontok &c_{rr}&c_{rr+1}x_{r+1}+\pontok +c_{rn}x_{n}\\c_{j1}&\ pontok &c_{jr}&-(c_{j1}x_{1}+\pontok +c_{jr}x_{r})\\\end{pmatrix}}

A mátrixban az összes oszlop a mátrixból származó oszlopok része, az utolsó oszlop pedig a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja együtthatókkal , ezért a determináns oszlopok feletti linearitása miatt van egy lineáris kombináció a mátrixból . a méretmátrix minorjainak meghatározói . Mivel méretét tekintve a legnagyobb nem degenerált moll, minden nagyobb mollnak nulla determinánsa van, így . $D_{1}$ $C$ $C$ ${\displaystyle x_{r+1},\dots ,x_{n))$ $\det D_{1}$ $C$ ${\megjelenítési stílus (r+1)\times (r+1)}$ $C_{0}$ $\det D_{1}=0$

A relációból az következik, hogy hol van az oszlop . Ezért . $C_{0}X_{0}+C_{1}X_{1}=0$ $D_{2}Y=0$ $Y=(x_{1},\dots ,x_{r},1)^{T}\neq 0$ $\det D_{2}=0$

Akkor . És mivel , akkor a rendszer j-edik egyenlete is teljesül. ■ $0=\det D_{1}-\det D_{2}=(\det C_{0})\cdot (c_{j1}x_{1}+c_{j2}x_{2}+\dots +c_{jn}x_{n})$ $\det C_{0}\neq 0$

Ezt a tételt különösen a mátrixok sajátértékeinek és sajátvektorainak megtalálására használják.

A vektorrendszer teljességének és lineáris függetlenségének kritériuma

A determináns fogalmához szorosan kapcsolódik a vektortérben lévő vektorrendszerek lineáris függésének és teljességének fogalma.

Legyen mező és véges bázisú vektortér . Legyen adott egy másik vektorhalmaz . Az adott bázishoz viszonyított koordinátáik a tágulási együtthatók . Készítsünk egy (négyzet)mátrixot . A tétel igaz: $R$ $V$ $R$ ${\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}},\dots ,{\vec {e_{n}}}$ $n$ ${\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\dots ,{\vec {v_{n}}}$ ${\displaystyle v_{ij))$ ${\vec {v_{i}}}=\sum v_{ij}{\vec {e_{j}}}$ $A=(v_{ij})$

Tétel (Vektorrendszer teljességének és lineáris függetlenségének kritériuma).

(1) A vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan függő .

{\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\dots ,{\vec {v_{n}}}

\detA=0

(2) A vektorrendszer akkor és csak akkor teljes, ha a mátrix nem degenerált ( ).

{\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\dots ,{\vec {v_{n}}}

A

\det A\neq 0

Bizonyíték

(1) A bizonyítás azon alapul, hogy a vektornak van egy koordinátaoszlopa egyenlő , ahol . ${\displaystyle \sum x_{i}{\vec {v_{i))))$ $AX$ ${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})^{T))$

Ha , akkor . Akkor és ha eltér nullától, akkor . $\sum x_{i}{\vec {v_{i))}=0$ $AX=0$ $(\det A)\cdot X=0$ $x$ $\detA=0$

Ezzel szemben, ha , van egy nem nulla oszlop , így . Ez azt jelenti, hogy . $\detA=0$ $x$ $AX=0$ $\sum x_{i}{\vec {v_{i))}=0$

(2) Ha a mátrix nem degenerált, akkor invertálható. Legyen tetszőleges vektor, legyen a koordinátáinak oszlopa, . Akkor . Így egy tetszőleges vektor felbontható vektorrendszerre , ami a teljességét jelenti. $A$ ${\vec {u}}$ ${\displaystyle Y=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})^{T))$ ${\displaystyle X=A^{-1}Y=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})^{T))$ ${\vec {u}}=\sum x_{i}{\vec {v_{i}}}$ ${\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\dots ,{\vec {v_{n}}}$

Fordítva, legyen a mátrix degenerált. Ekkor létezik olyan együtthatósor , amely nem nulla . Ez azt jelenti, hogy bármely vektorrendszerben felbontható vektor teljesíti a megszorítást . Ha valamelyik együttható nullától eltérő, akkor a bázisvektor ebben a vektorrendszerben nem bővíthető, ami azt jelenti, hogy nem teljes. ■ $A$ $C=(c_{1},c_{2},\dots ,c_{n})$ $CA=0$ ${\vec {u}}=\sum x_{i}{\vec {v_{i}}}$ ${\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\dots ,{\vec {v_{n}}}$ $c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\dots +c_{n}x_{n}=0$ $c_{k}$ ${\displaystyle {\vec {e_{k))))$

Következmény. Egy véges vektorbázisú vektortérben : $V$ $n$

(1) bármely rendszer, amely kevesebb mint vektorból áll, nem teljes;

n

(2) minden olyan rendszer, amely több mint vektorból áll, lineárisan függő;

n

(3) a tér minden bázisa pontosan vektorokat tartalmaz.

V

n

Így egy véges bázisú vektortér dimenziója jól meghatározott. $V$

A determinánsok néhány speciális tulajdonsága

A mátrix determinánsa egyenlő sajátértékeinek szorzatával .
Ha egy négyzetmátrix lineáris transzformációt fejez ki , akkor a determinánsa nem változik a lineáris tér bázisának megváltoztatásakor.

Algoritmikus megvalósítás

A determináns kiszámításának közvetlen módszerei alapulhatnak közvetlenül a permutációk összegeként, vagy az alacsonyabb rendű determinánsok Laplace-bővítésén . Az ilyen módszerek azonban nagyon nem hatékonyak, mivel O ( n ! ) műveletet igényelnek a -edrendű determináns kiszámításához. Ugyanakkor univerzálisak, olyan esetekben alkalmazhatók, amikor a mátrix elemei nem számok (függvények, polinomok, páros fokozatú differenciálalakok stb.), és nem igényelnek osztási műveleteket. $n$
A determináns kiszámításának egyik leggyorsabb numerikus módszere a Gauss-módszer egyszerű módosítása . A Gauss-módszert követve egy tetszőleges mátrix lépésformává (Felső háromszögmátrix) redukálható a mátrixon csak a következő két művelettel - két sor permutációjával és egy újabb sor hozzáadásával az egyik mátrixsorhoz, megszorozva egy tetszőleges számmal. A determináns tulajdonságaiból következik, hogy a második művelet nem változtatja meg a mátrix determinánsát, míg az első csak megfordítja az előjelét. Egy lépcsőzetes formára redukált mátrix determinánsa megegyezik az átlóján lévő elemek szorzatával, mivel háromszög alakú , így az eredeti mátrix determinánsa: $A$ $\det A=(-1)^{s}\cdot \det A_{\mbox{ref)),$

ahol az algoritmus által végrehajtott sorpermutációk száma, és az algoritmus eredményeként kapott mátrix lépésformája. Ennek a módszernek a komplexitása a Gauss-módszerhez hasonlóan az , hogy megvalósításához az osztási műveletet kell használni.

s

A_{\mbox{ref}}

A

O(n^{3})

A determináns a mátrix LU dekompozíciójának ismeretében számítható ki . Ha , ahol és háromszög mátrixok, akkor . A háromszög alakú mátrix meghatározója egyszerűen átlós elemeinek szorzata. $A=LU$ $L$ $U$ $\det A=(\det L)(\det U)$
Ha rendelkezésre áll olyan algoritmus, amely két sorrendi mátrix szorzását hajtja végre időben , ahol egyesekre , akkor a sorrendi mátrix determinánsa időben kiszámítható . [5] Ez különösen azt jelenti, hogy a mátrixszorzás Coppersmith-Winograd algoritmusával a determináns időben kiszámítható . $n$ $M(n)$ $M(n)\geqslant n^{a}$ $a>2$ $n$ $O(M(n))$ $O(n^{2,376})$

A determinánsok speciális típusai

Lásd még

Jegyzetek

↑ Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Matematika kézikönyve mérnökök és felsőoktatási intézmények hallgatói számára. — 13. kiadás, javítva. - M .: Nauka, 1986.
↑ E. I. Berezkina. Az ókori Kína matematikája. - M .: Nauka, 1980.
↑ HW Eves. Bevezetés a matematika történetébe . – Saunders College Publishing, 1990.
↑ Szkornyakov L. A. Az algebra elemei. - M .: Nauka, 1986. - S. 16-23. – Példányszám 21.000 példány.
↑ JR Bunch és JE Hopcroft. Háromszög faktorizáció és inverzió gyors mátrixszorzással, Mathematics of Computation , 28 (1974) 231-236.

Irodalom

V. A. Iljin , E. G. Poznyak Lineáris algebra, Moszkva: Nauka – Fizmatlit, 1999.
Beklemishev DV Analitikus geometria és lineáris algebra tantárgy. Moszkva: Fizmatlit, 2000.
Kostrikin A.I. Bevezetés az algebrába. 1. rész Az algebra alapjai: Tankönyv középiskolák számára. Moszkva: Fizmatlit, 2004.
Borevich ZI Determinánsok és mátrixok. - M.: Nauka, 1988.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy norvég Nagy orosz Brockhaus és Efron a világ körül Kis Brockhaus és Efron Új Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	BNF : 11975737s J9U : 987007550422505171 LCCN : sh85037299 NDL : 00562696 NKC : ph153485