Laplace-tétel

Laplace tétele a lineáris algebra egyik tétele . Nevét Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) francia matematikusról kapta, akinek nevéhez fűződik ennek a tételnek a megfogalmazása 1772-ben [1] , bár ennek a tételnek egy speciális esete a determináns sorba (oszlopba) történő kiterjesztése volt. még Leibniz is ismerte .

Megfogalmazás

Először is vezessünk be néhány definíciót.

Legyen egy méretű mátrix , és legyen a mátrix bármely sora számokkal és tetszőleges számokkal rendelkező oszlop . $A=(a_{{ij}})$ $n\szer n$ $k$ $A$ ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k))$ $k$ ${\displaystyle j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k))$

A kiválasztott sorok és oszlopok kivételével az összes sor és oszlop törlésével kapott mátrix determinánsát a -edik rend molljának nevezzük, amely a számokkal ellátott sorokban és a számokkal ellátott oszlopokban található . A következőképpen jelöljük: $A$ $k$ ${\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k))$ ${\displaystyle j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k))$

M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin{pmatrix}a_{i_{1}j_{ 1}}&a_{i_{1}j_{2}}&\lpontok &a_{i_{1}j_{k}}\\\vpontok &\vpontok &\dpontok &\vpontok \\a_{i_{k}j_ {1}}&a_{i_{k}j_{2}}&\lpontok &a_{i_{k}j_{k}}\end{pmatrix}}.

A négyzetmátrixból csak a kiválasztott sorok és oszlopok törlésével kapott mátrix determinánsát pedig a minorhoz képest további minornak nevezzük : $M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}$

{\overline {M}}_{\,j_{1},\ldots ,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin {pmátrix}a_{i_{k+1}j_{k+1}}&a_{i_{k+1}j_{k+2}}&\lpontok &a_{i_{k+1}j_{n}}\ \\vpontok &\vpontok &\dpontok &\vpontok \\a_{i_{n}j_{k+1}}&a_{i_{n}j_{k+2}}&\lpontok &a_{i_{n}j_ {n}}\end{pmatrix}},

ahol és a ki nem jelölt sorok és oszlopok száma. ${\displaystyle i_{k+1}<\ldots <i_{n))$ ${\displaystyle j_{k+1}<\ldots <j_{n))$

A moll algebrai komplementerét a következőképpen határozzuk meg: $M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}$

A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=(-1)^{p+q}{\overline {M} }_{\,j_{1},\ldots ,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots ,i_{k}}

ahol ,. _ ${\displaystyle p=i_{1}+\ldots +i_{k))$ ${\displaystyle q=j_{1}+\ldots +j_{k))$

A következő állítás igaz.

Laplace-tétel

Legyen a mátrix bármely sora kiválasztva . Ekkor a mátrix determinánsa egyenlő az ezekben a sorokban található harmadrendű minorok és algebrai komplementereik összes lehetséges szorzatának összegével.

k

A

A

k

\det A=\sum _{j_{1}<\ldots <j_{k}}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_ {k}}A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}},

ahol az összesítés az összes lehetséges oszlopszámon megtörténik

j_{1},\ldots ,j_{k}.

A Laplace-tételben az összeget felvett kiskorúak száma megegyezik az oszlopok kiválasztásának lehetőségeivel , vagyis a binomiális együtthatóval . $k$ $n$ ${\displaystyle \textstyle {n \válasszon k))$

Mivel a mátrix sorai és oszlopai a determináns tulajdonságait tekintve egyenértékűek, a Laplace-tétel a mátrix oszlopaira is megfogalmazható.

Példák

Tekintsünk egy négyzetmátrixot

A={\begin{bmatrix}5&9&1&3\\3&5&0&0\\67&932&1&2\\1&7&0&0\end{bmátrix)).

Kiválasztjuk a második és a negyedik sort, és a mátrix determinánsát kibontjuk a Laplace-tétel segítségével. Ne feledje, hogy ezekben a sorokban az összes másodrendű minor, kivéve a , nulla oszlopot tartalmaz, azaz köztudottan nullák, és nem befolyásolják a tételben szereplő összeget. Tehát a meghatározó a következő lesz: ${\begin{vmatrix}3&5\\1&7\end{vmatrix}}$

|A|=(-1)^{2+4+1+2}\cdot {\begin{vmatrix}3&5\\1&7\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\ 1&2\end{vmatrix}}=(-1)\cdot 16\cdot (-1)=16

A fenti példából látható, hogy a Laplace-tétel nem minden, hanem csak speciális alakú mátrix determinánsának számítását egyszerűsíti. Ezért a gyakorlatban gyakrabban használnak más módszereket, például a Gauss-módszert . A tételt inkább elméleti tanulmányokra alkalmazzák.

A determináns sor (oszlop) kiterjesztése (1. következmény)

A Laplace-tétel egy speciális esete széles körben ismert - a determináns kiterjesztése egy sorban vagy oszlopban. Lehetővé teszi egy négyzetmátrix determinánsának ábrázolását bármely sora vagy oszlopa elemeinek és algebrai komplementereinek szorzataként .

Legyen egy méretű négyzetmátrix . Legyen megadva a mátrix valamely sorszáma vagy oszlopszáma is . Ezután a determináns a következő képletekkel számítható ki: $A=(a_{ij})$ $n\szer n$ $én$ $j$ $A$ $A$

Dekompozíció a -edik sorban $én$ :

{\displaystyle \det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij))

Felbontás oszlop $j$ szerint :

{\displaystyle \det A=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij))

ahol a számmal rendelkező sorban és a számot tartalmazó oszlopban található moll algebrai kiegészítése . más néven algebrai elem komplementer . $A_{{ij}}$ $én$ $j$ $A_{{ij}}$ $a_{{ij}}$

Az állítás a Laplace-tétel speciális esete. Elég, ha 1-gyel egyenlőnek állítjuk, és kiválasztjuk a -edik sort, akkor az ebben a sorban található minorok maguk lesznek az elemek. $k$ $én$

Példák

Tekintsünk egy négyzetmátrixot

A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}.

Bővítsük ki a determinánst a mátrix első sorának elemeivel:

|A|=1\cdot {\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}=1\cdot (-3)-2\cdot (-6)+3\cdot (-3)=0.

(Megjegyezzük, hogy az első sor második elemének algebrai komplementere negatív előjelű.)

Ezenkívül a determináns kibővíthető például a második oszlop elemeivel:

|A|=-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+5\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}-8\ cdot {\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}=-2\cdot (-6)+5\cdot (-12)-8\cdot (-6)=0.

2. következmény (a determináns hamis kiterjesztése)

A mátrix valamely sora (oszlopa) összes elemének és bármely másik sor (oszlop) megfelelő elemeinek algebrai komplementereinek szorzata nullával egyenlő. $A$

Bizonyíték

Tekintsük a mátrix egy tetszőleges -edik sorának összes elemének és a mátrix bármely másik, mondjuk -edik sorának megfelelő elemeinek algebrai komplementereinek szorzatának összegét . Legyen olyan mátrix, amelyben a -edik sor kivételével minden sor megegyezik a mátrixéval , és a mátrix -edik sorának elemei a mátrix -edik sorának megfelelő elemei . Ekkor a mátrixnak két egyforma sora van, és ezért a mátrix azonos sorokra vonatkozó tulajdonsága alapján azt kapjuk, hogy . Másrészt az 1. következmény szerint a determináns egyenlő a mátrix i-edik sorának összes elemének és algebrai komplementereinek szorzatával. Figyeljük meg, hogy a mátrix -. sorának elemeinek algebrai komplementerei egybeesnek a mátrix -edik sorának megfelelő elemeinek algebrai komplementereivel . De a mátrix -. sorának elemei a mátrix -edik sorának megfelelő elemei . Így a mátrix -edik sorának összes elemének és algebrai komplementereinek szorzatának összege egyrészt egyenlő nullával, másrészt egyenlő az összes szorzatának összegével. a mátrix -edik sorának elemei és a mátrix -edik sorának megfelelő elemeinek algebrai komplementerei . $k$ $A$ $én$ $A$ $A'$ $én$ $A$ $én$ $A'$ $k$ $A$ $A'$ $\det A'=0$ $\det A'$ $én$ $A'$ $én$ $A'$ $én$ $A$ $én$ $A'$ $k$ $A$ $én$ $A'$ $k$ $A$ $én$ $A$

Jegyzetek

↑ Smith, DE Project Gutenberg Modern Mathematics története . - P. 18. Archivált : 2009. szeptember 16., a Wayback Machine -nél

Irodalom

Iljin, V. A. , Poznyak, E. G. Lineáris algebra . - 6. kiadás - M . : Fizmatlit, 2005. - S. 25 -27. - ISBN 5-9221-0481-0 .
Prasolov, VV Lineáris algebra feladatai és tételei . - 2. kiadás - M. , 2008. - S. 42-45.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria. — M .: Fizmatlit , 2009. — S. 374-376.