Egész elem

Az egész elem egy adott kommutatív gyűrű olyan eleme, amely egységnyi a részgyűrűhöz képest , amely a redukált polinom gyöke -ben együtthatókkal , vagyis olyannal, amelyre olyan együtthatók vannak , hogy: $B$ $A\B részhalmaz$ $A$ $b$ $a_j \in A$

b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{1}b+a_{0}=0

Ha minden elem a feletti egész szám , akkor a gyűrűt kiterjesztési egésznek (vagy csak gyűrűnek, egész szám felett ) nevezzük . $B$ $A$ $B$ $B$ $A$

Ha és mezők , akkor az "integrál a ... felett" és az "integrál kiterjesztése" az "algebrai ... felett" és az " algebrai kiterjesztés " kifejezéseknek felel meg. Egy speciális eset, amely különösen fontos a számelméletben , azok a komplex számok , amelyek egészek a szám felett , amelyeket algebrai egész számoknak nevezünk . $A$ $B$ $\mathbb {Z}$

Az összes elem halmaza integer over , gyűrűt alkot; -ben egész számok lezárásának nevezzük . A racionális számok egész zárását valamilyen véges mező kiterjesztésében egész mezők gyűrűjének nevezzük , ez az objektum az algebrai számelmélet alapvető eleme . $B$ $A$ $A$ $B$ $k$ $\mathbb {Q}$ $k$

Az egész számok az egyetlen olyan elemek , amelyek egész számok felett vannak (ez magyarázhatja az "egész" kifejezés használatát). A Gauss-egészek , mint a komplex számok mezőjének elemei, a feletti egész számok . Egy kör alakú mezőben lévő egész szám lezárása . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q} (\zeta )$ $\mathbb {Z} [\zeta ]$

Ha a mező algebrai lezárása , akkor az integrál vége . Ha egy véges csoport gyűrűhomomorfizmussal hat egy gyűrűre , akkor ez egy egész szám azon elemek halmazán, amelyek a csoport cselekvésének fix pontjai. $\overline{k}$ $k$ $\overline{k}[x_1, \dots, x_n]$ $k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ $G$ $A$ $A$

Tulajdonságok

Az integritás egy tranzitív reláció: ha a gyűrű a feletti és a feletti integrál , akkor a feletti integrál . $C$ $B$ $B$ $A$ $C$ $A$

Számos olyan állítás létezik, amelyek egyenértékűek azzal, hogy a gyűrű egy eleme a következő: $b$ $B$ $A$

egy gyűrű algyűrűje egy végesen generált -modul; $A[b]$ $B$ $A$
létezik a és -t tartalmazó gyűrű részgyűrűje , amely egy végesen generált -modul; $C$ $B$ $A$ $b$ $A$
létezik a gyűrűnek egy végesen generált -modulja , amelyből és ebből következik, hogy . $A$ $M$ $B$ $bM\subset M$ $b'M=0$ $b=0$

A harmadik tulajdonságból könnyen kikövetkeztethető, hogy az integer over összes elem halmaza egy részgyűrű (összeadás és szorzás alatt zárva van ) , ezt nevezzük integer bezárásnak . Ha az egész záródás egybeesik magával a gyűrűvel , akkor azt integrálisan zártnak nevezzük . Ez azt is jelenti, hogy ha az egész szám vége , akkor a végesen generált -modulok részgyűrűinek uniója (vagy ennek megfelelően a közvetlen határértéke ) . $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $A$ $B$ $B$ $A$ $B$ $A$

A Cohen-Seidenberg emelési tétel : ha a gyűrű egész számú kiterjesztése , akkor minden benne lévő prímideálhoz létezik egy prímideál -ben , hogy . $S$ $R$ $én$ $S$ $J$ $R$ $J\cap S=I$

Egy beépített gyűrű

Az integrálosan zárt gyűrű olyan integrálgyűrű , amely a hányadosaiban integráltan zárt .

Ha egy integrálosan zárt gyűrű hányadosmezővel , és véges kiterjesztése , akkor az elem akkor és csak akkor integrál, ha minimális polinomjának együtthatói a -hoz tartoznak : ez erősebb feltétel, mint egy integrál, amelyre a elegendő egy tetszőleges polinom létezése ezzel a tulajdonsággal. Bármely faktorgyűrű teljesen zárt. $A$ $K$ $L$ $K$ $L$ $A$ $A$

Ha egy Noether -féle integrálgyűrű, akkor akkor és csak akkor integráltan zárt, ha (1) egy elsődleges ideálhoz képest egybeesik az összes lokalizáció metszéspontjával, és (2) az 1 magasságú prímideálra vonatkozó lokalizációval (vagyis amely nem tartalmaz más nullától eltérő prímideálokat) a Dedekind gyűrű . Ezenkívül egy Noether-gyűrű akkor és csak akkor zárt, ha Krull gyűrű . $A$ $A$ $A$ $A$ $A$

Normál gyűrű

Serre és Grothendieck úgy definiálja a normál gyűrűt , mint egy olyan gyűrűt, amelynek bármely elsődleges ideál szerinti lokalizációja integráltan zárt. Egy ilyen gyűrűben nincsenek nullától eltérő nilpotensek [1] . Ha egy Noether-gyűrű, amelynek lokalizációi a maximális ideálokhoz képest integrálok, akkor az integrálgyűrűk véges szorzata . Ebben az esetben, ha egy Noether-féle normálgyűrű, akkor a szorzatban lévő tartományok integráltan zártak [2] . Ezzel szemben az integrált gyűrűk közvetlen szorzata normális. $A$ $A$ $A$

Teljesen zárt gyűrű

Egy integrálgyűrű hányadosmezőjének egy elemét majdnem egésznek nevezzük, ha létezik olyan , hogy bármely természetes . Egy gyűrűt teljesen integráltan zártnak mondunk , ha a felette lévő bármely szinte integrált elemet tartalmaz . A teljesen zárt gyűrűk teljesen zártak. Ezzel szemben a Noether -féle integráltan zárt gyűrűk teljesen integráltan zártak. $x$ $K$ $A$ $A$ $d\in A$ $dx^n\in A$ $n$ $A$ $A$

A formális hatványsorok gyűrűje egy teljesen integráltan zárt gyűrű felett teljesen integráltan zárt, míg ez nem igaz tetszőleges integráltan zárt gyűrűkre.

Az integráltan zárt tulajdonság helye

Az integrált gyűrűre vonatkozó alábbi feltételek egyenértékűek: $A$

$A$ egészben zárt;
a lokalizáció bármely elsődleges ideálhoz képest integráltan zárt; $A$
a lokalizáció bármely maximális ideálhoz képest integráltan zárt. $A$

Az ilyen gyűrűtulajdonságokat helyi tulajdonságoknak nevezzük . $A$

Jegyzetek

↑ Ha egy kommutatív gyűrű lokalizációi az összes maximális ideál felett nem tartalmaznak nilpotenseket (például integrálok), akkor nem is tartalmaznak. Valóban, ha nem nulla elem , és n =0, akkor ) (azok az elemek, amelyek szorzása nullázódik ) benne van valamilyen maximális ideálban . A w lokalizációban lévő kép nem nulla, mert egyébként egyesek számára ellentmondás. Ezért a lokalizáció a vonatkozásban nullától eltérő nilpotenst tartalmaz. $R$ $R$ $x$ $R$ $x$ $\mathrm {Ann} (x)$ $x$ $\mathfrak{m}$ $x$ $\mathfrak{m}$ $xs = 0$ $s \not\in \mathfrak{m}$ $R$ $\mathfrak{m}$
↑ Matsumura 1989, p. 64

Irodalom

Bourbaki, Kommutatív algebra.
Kaplansky, Irving. Kommutatív gyűrűk (neopr.) . - University of Chicago Press , 1974. - (Matematikai előadások). — ISBN 0-226-42454-5 .
Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2. kiadás), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6 .