Egy algebrai elem minimális polinomja

A mezőelméletben a minimális polinom egy algebrai elemre definiált konstrukció : egy polinom , amely az összes olyan polinom többszöröse, amelynek gyöke az adott elem.

A mezőbővítések tanulmányozása során minimális polinomokat használnak . Adott egy kiterjesztést és egy algebrai elemet , akkor a és - t tartalmazó minimális részmező izomorf a hányadosgyűrűvel , ahol az együtthatójú polinomok gyűrűje , és a minimális polinom által generált főideál . Ezenkívül a minimális polinom fogalmát használják a konjugált elemek meghatározásakor . $E\supsetneq K$ $\alpha \in E$ $K$ $E$ $K$ $\alpha$ $K[x]/(f(x))$ $K[x]$ $K$ $(f(x))$ $\alpha$

Definíció

Legyen a mező kiterjesztése , legyen egy elem algebrai over . Tekintsünk olyan polinomokat , amelyek . Ez a halmaz egy ideált alkot a polinomgyűrűben . Valóban, ha , akkor , és bármely polinomra . Ez az ideál nem nulla, mivel feltételezzük, hogy az elem algebrai; mivel a főideálok tartománya , ez az ideál fő, azaz valamilyen polinom generálja . Egy ilyen polinomot a mező invertálható elemével való szorzásig definiálunk; További követelményként, hogy a vezető együttható eggyel egyenlő legyen, azaz redukált polinom legyen , egyedi leképezést kapunk egy tetszőleges algebrai elemre a polinom adott kiterjesztéséből, amelyet minimális polinomnak nevezünk . A definícióból következik, hogy bármely minimális polinom irreducibilis -ben . $E\supsetneq K$ $\alpha \in E$ $K$ $f(x)\in K[x]$ $f(\alpha)=0$ $K[x]$ $f(\alfa)=0, g(\alfa)=0$ $(f+g)(\alfa)=0$ $h(x)\in K[x]$ $(f\cdot h)(\alpha)=0$ $\alpha$ $K[x]$ $f(x)$ $f(x)$ $f(x)$ $\alpha$ $\alpha$ $K[x]$

Példák

Hadd . Ekkor egy szám minimális polinomja . Ha vesszük , akkor a minimális polinom egyenlő . $K=\mathbb Q, E=\mathbb R, \alpha=\sqrt 2$ $\alpha$ $x^{2}-2$ $K={\mathbb R}$ $x-\sqrt 2$
$K=\mathbb Q, E=\mathbb R, \alpha=\sqrt 2+\sqrt 3$ . A minimális polinom . $\alpha$ $x^4-10x^2+1$
$K=\mathbb {Q} ,E=\mathbb {R} ,\alpha ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2))))+{\sqrt[{3} ]{1-{\sqrt {2}}}}.$ A minimális polinom az $\alpha$ $x^{3}+3x-2.$
A polinom analógja az $\alpha ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2))))-{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2))))$ $(x^{3}-3x-2{\sqrt {2)))(x^{3}-3x+2{\sqrt {2)))=x^{6}-6x^{4 }+9x^{2}-8.$

Konjugált elemek

Egy algebrai elem konjugált elemei egy mező felett a minimális polinom összes (más) gyöke . $\alpha$ $K$ $\alpha$

Tulajdonságok

Legyen normál kiterjesztés automorfizmus csoporttal , . Ekkor bármely - esetén konjugált -hoz, mivel minden automorfizmus az adott polinom gyökereit viszi vissza a gyökökbe. Ezzel szemben minden olyan elemnek , amelyhez konjugált, a következő alakja van: ez azt jelenti, hogy a csoport tranzitív módon hat a konjugált elemek halmazára. Ezért a minimális polinom irreducibilitása miatt K izomorf . Ezért a konjugálási reláció szimmetrikus . $E\supsetneq K$ $G$ $\alpha \in E$ $g\in G$ $g(\alpha)$ $\alpha$ $K[x]$ $\beta$ $\alpha$ $G$ $K(\alpha )$ $K(\béta)$

Kronecker tétele kimondja, hogy minden olyan algebrai egész szám , amelynek modulusa és az összes konjugált modulusa a komplex számok területén egyenlő 1-gyel, egységgyöke .

Jegyzetek

Minimális polinom (angol) a PlanetMath webhelyen .
Weisstein, Eric W. Konjugált elemek a Wolfram MathWorldnél .
Pinter, Charles C. A Book of Abstract Algebra. Dover könyvek a matematikáról sorozat. Dover Publications, 2010, p. 270-273. — ISBN 978-0-486-47417-5