Szimmetrikus reláció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2018. szeptember 3-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A matematikában egy X halmazon lévő bináris relációt szimmetrikusnak neveznek a halmaz minden elempárjára , a reláció teljesülése a reláció teljesülését vonja maga után . $R$ $(a,b)$ $a\,R\,b$ $b\,R\,a$

Formálisan szimmetrikus a reláció, ha . $R$ $\forall a,b\in X,\ a\,R\,b\Rightarrow b\,R\,a$

Egy reláció antiszimmetriája nem a szimmetrikus reláció antonimája . Egyes kapcsolatokra mindkét tulajdonság egyszerre igaz, másokra pedig egyik sem igaz. Egy aszimmetrikus reláció antonimájának tekinthető , mivel az egyetlen szimmetrikus és aszimmetrikus bináris reláció az üres reláció.

Példák

Minden ekvivalenciareláció definíció szerint szimmetrikus (valamint reflexív és tranzitív ). Egy gráf csúcsainak (iránytalan) kapcsolódási relációja is szimmetrikus.

Nem szimmetrikusak (kivéve a reláció azonos hamisságát) sorrendi relációk (teljes és részleges), valamint egy irányított gráf csúcsainak sorozatkapcsolatai . A részleges sorrend összehasonlíthatósági relációja azonban felépítésénél fogva szimmetrikus (bár magával a sorrenddel ellentétben nem tranzitív).

A szimmetrikus aránymátrix szimmetrikus a főátlóhoz képest (egybeesik az átlóval). Ha egy szimmetrikus reláció gráfjában van kapcsolat két csúcs között, akkor van visszacsatolás is.