Normál tágulás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2017. október 23-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A normál kiterjesztés egy olyan mező algebrai kiterjesztése, amelynél minden irreducibilis polinom , amelynek legalább egy gyöke van -ben , lineáris tényezőkre bomlik . $K\subset E$ $f(x)$ $K$ $E$ $E$

Ekvivalens definíció: Ha , ahol a mező algebrai lezárása van , akkor normális, ha a mező bármely homomorfizmusa a feletti algebrai zárással a mező automorfizmusa . $K \E részhalmaz \K ^*$ $K^{*}$ $K$ $E$ $\sigma$ $E$ $K^{*}$ $K$ $E$

Normál bővítés dekompozíciós mezőként

Bármely kiterjesztés akkor és csak akkor normális, ha a -ból származó polinomok valamely halmazának felbontó mezője . $K\subset E$ $E$ $K[x]$

Normál kiterjesztések Galois szerint

Ha a mező Galois-bővítése , és a -nek valamilyen köztes részmezeje , akkor a Galois-csoport definíció szerint a - összes automorfizmusából áll , az elemeket rögzítetten hagyva . Ha a teljes Galois-csoport automorfizmusa van , ami erre utal , akkor ez nyilvánvaló $F$ $K$ $E$ $K\subset E\subset F$ $\operatorname {Gal} (F/E)$ $F$ $E$ $\sigma$ $\operatorname {Gal} (F/K)$ $E$ $\sigma (E)$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/\sigma E)=\sigma \operatorname {Gal} (F/E)\sigma ^{-1))$

Ezért a kiterjesztés akkor és csak akkor normális, ha az alcsoport normál alcsoport a (innen ered a terminológia). $E$ $\operatorname {Gal} (F/E)$ $\operatorname {Gal} (F/K)$

Irodalom

Van der Waerden B. L. Algebra. Moszkva: Nauka, 1975.
Zarissky O. , Samuel P. Kommutatív algebra, 1. kötet. M .: IL, 1963.
Leng S. Algebra. M.: Mir, 1967.