A véletlen mátrixok elmélete
A véletlen mátrixok elmélete a matematikai fizika és a valószínűségszámítás metszéspontjában álló kutatási irány , amelyben a mátrixok halmazainak tulajdonságait vizsgálják , amelyek elemei véletlenszerűen vannak elosztva. Általában az elemek eloszlásának törvénye van beállítva. Ennek során a véletlen mátrixok sajátértékeinek statisztikáit tanulmányozzák , és néha sajátvektoraik statisztikáit is .
A véletlen mátrixok elméletének számos alkalmazása van a fizikában, különösen a kvantummechanika alkalmazásaiban a rendezetlen és klasszikusan kaotikus dinamikai rendszerek tanulmányozására . A helyzet az, hogy egy kaotikus rendszer Hamilton - rendszerét gyakran véletlenszerű hermitikus vagy szimmetrikus valós mátrixnak tekinthetjük , míg ennek a Hamilton-féle energiaszintnek a véletlen mátrix sajátértékei lesznek.
Wigner 1950- ben alkalmazta először a véletlenszerű mátrixok elméletét az atommag energiaszintjének leírására . Ezt követően kiderült, hogy a véletlen mátrixok elmélete számos rendszert ír le, beleértve például a kvantumpontok energiaszintjét, a részecskék energiaszintjét komplex alakú potenciálokban. Mint kiderült, a véletlen mátrixok elmélete szinte minden olyan kvantumrendszerre alkalmazható, amelynek klasszikus megfelelője nem integrálható . Ugyanakkor jelentős különbségek vannak az energiaszintek eloszlásában: az energiaszintek eloszlása egy integrálható rendszerben általában közel áll a Poisson-eloszláshoz , míg egy nem integrálható rendszer esetében más formát mutat. ami a véletlen mátrixokra jellemző (lásd alább).
A véletlen mátrixok elmélete hasznosnak bizonyult a matematika látszólag idegen szakaszaiban, különösen a Riemann-zéta-függvény nulláinak eloszlása a kritikus egyenesen véletlenszerű mátrixok együttesével írható le [1] .
Véletlenszerű mátrixok alapvető együttesei és alkalmazásaik a fizikában
A véletlen mátrixok együtteseinek három fő típusa van, amelyek a fizikában alkalmazhatók. Ezek a Gauss ortogonális együttes , Gauss unitárius együttes , Gauss szimplektikus együttes .
Gauss unitárius együttes - a legáltalánosabb együttes, tetszőleges hermitikus mátrixokból áll, amelyek elemeinek valós és képzeletbeli részei Gauss-eloszlásúak . A Gauss-féle unitárius együttes által leírt rendszerek mentesek mindenféle szimmetriától – nem invariánsak az idő megfordítása esetén (ilyen tulajdonsággal rendelkeznek például a külső mágneses térben lévő rendszerek), és nem invariánsak a spin-forgások alatt.
A Gauss ortogonális együttes szimmetrikus valós mátrixokból áll. A Gauss ortogonális együttes olyan rendszereket ír le, amelyek szimmetrikusak az időfordítás tekintetében, ami a gyakorlatban azt jelenti, hogy az ilyen rendszerekben nincs mágneses tér és mágneses szennyeződések.
A Gauss-szimplektikus együttes hermitikus mátrixokból áll, amelyek elemei kvaterniók . A Gauss-szimplektikus együttes olyan rendszert ír le, amely mágneses szennyeződéseket tartalmaz, de nem külső mágneses térben.
A véletlen mátrixok spektrumának legfontosabb jellemzői
A sajátértékek eloszlása
Egy kellően nagy Gauss-féle véletlenszerű mátrix sajátértékeinek eloszlása az első közelítésben egy félkör ( Wigner félkörtörvény ). A Wigner- féle félkörtörvény a kvantummechanika félklasszikus közelítésének bizonyos mértékig megfelelő határértékben teljesül, pontosabban teljesül, minél nagyobb a vizsgált mátrix mérete. Véges mátrixméretnél az energiaszintek eloszlása Gauss-féle "farokkal" rendelkezik. Félköröket kapunk minden Gauss-féle együttesre, ezen a szinten mindhárom fenti együttes egyenértékű eloszlást ad. A három együttes közötti minőségi különbségek a következő szinten, a sajátértékek páronkénti korrelációs függvényeinek szintjén mutatkoznak meg.
Sajátérték korrelációs függvény
Jegyzetek
Linkek
- Weisstein, Eric W. Random Matrix (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Irodalom
- Mehta M. L. Véletlenszerű mátrixok. - 3. kiadás - New York: Academic Press, 1991.
- Keating JP , Snaith NC Véletlenszerű mátrix elmélet és (angol) // Commun. Math. Phys. : magazin. - 2000. - Vol. 214 . – 57–89 .
