Analitikus számelmélet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

Analitikus számelmélet - a számelmélet ága , amelyben az egész számok tulajdonságait matematikai elemzési módszerekkel tanulmányozzák . A leghíresebb eredmények a prímek eloszlásának vizsgálatához, valamint Goldbach és Waring additív problémáihoz kapcsolódnak .

Euler függvénygeneráló módszere lett az első lépés ebbe az irányba . Egy alakú lineáris egyenlet egész nemnegatív megoldásainak számának meghatározása

a_1 x_1+...+a_n x_n=N,

ahol a természetes számok vannak, Euler egy generáló függvényt szerkesztett, amelyet a konvergens sorozatok szorzataként határoztunk meg (for ) $a_{1},...,a_{n}$ $|z|<1$

F_{i}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{(z^{a_{i)))^{k))

és egy geometriai progresszió feltételeinek összege , míg

F(z)=\sum^\infty_{N=0}l(N) z^N,

ahol a vizsgált egyenlet megoldásainak száma. [egy] $l(N)$

A másodfokú reciprocitás törvényével foglalkozó munkájában Gauss a forma véges összegeit vette figyelembe.

S(a)=\sum^{p}_{n=1} e^{2\pi i an^2/p},

amely elindította a trigonometrikus összegek alkalmazását [1] . Hardy , Littlewood és Vinogradov dolgozta ki a trigonometrikus összegek egész és prímszámok egyenletek elemzésére való alkalmazásának alapvető módszereit .

A prímszámok végtelenségére vonatkozó Euklidész-tétel bizonyítása közben Euler a szorzatot tekintette minden prímszám felett, és megfogalmazta az azonosságot:

\Pi _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{{-1}}=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{s))}

amely a zéta-függvények elméleteinek alapja lett [1] . Az analitikus számelmélet leghíresebb és máig megoldatlan problémája a zéta-függvény nulláiról szóló Riemann-hipotézis bizonyítása , amely szerint az egyenlet minden nem triviális gyöke az úgynevezett kritikus egyenesen található , ahol a Riemann . zéta függvény . $\zeta(s)=0$ ${\mathrm {Re}}\,s={\frac {1}{2}}$ $\zeta$

A prímszámok végtelenségére vonatkozó tétel általános formában való bizonyítására Dirichlet minden prímszámra szorzatokat használt, hasonlóan az Euler-szorzathoz, és megmutatta, hogy

\Pi _{p}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{{-1}}=\sum _{{n=1}} ^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s))}

továbbá a Dirichlet-karakternek nevezett függvényt úgy definiáljuk, hogy teljesíti a következő feltételeket: periodikus, teljesen multiplikatív, és nem azonos nullával. A karakterek és a Dirichlet-sorok a matematika más ágaiban is alkalmazásra találtak, különösen az algebrában , a topológiában és a függvényelméletben [1] . $\Forgács)$

Csebisev kimutatta, hogy a -t meg nem haladó prímszámok száma a végtelenbe hajlik a következő törvény szerint [1] : $x$ $\pi (X)$

a{\frac {X}{\ln(X)))<\pi (X)<b{\frac {X}{\ln(X))))

, hol és .

a>1/2\ln 2

b<2\ln 2

Az analitikus számelmélet másik ága a komplex elemzés alkalmazása a prímek eloszlására vonatkozó tétel bizonyítása során .

Lásd még

számelmélet

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 5 Számelmélet // Nagy Szovjet Enciklopédia : [30 kötetben] / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M . : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978. // Nagy Szovjet Enciklopédia

Irodalom

Davenport, Harold (2000), Multiplikatív számelmélet , vol. 74 (3. felülvizsgált kiadás), Graduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95097-6
Tenenbaum, Gérald (1995), Bevezetés az analitikus és valószínűségi számelméletbe , vol. 46, Cambridge-i felsőfokú matematikai tanulmányok, Cambridge University Press , ISBN 0-521-41261-7
B.M. Shirokov, Petrozsényi Állami Egyetem. O. V. Kuusinena. Analitikus számelmélet. - Petrozavodszk állam. egyetemi. O.V. Kuusinen, 1986. - 93 p.
A. B. Venkov, Leon Armenovics Takhtadzjan. Analitikus számelmélet és függvényelmélet. - Nauka, 1979. - T. 2. - 224 p.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz Britannica (online) Universalis
Bibliográfiai katalógusokban	NKC : ph612534