Összeg-szorzat tétel

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. április 6-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 25 szerkesztést igényelnek .

Az összeg-szorzat tétel az aritmetikai kombinatorika tétele, amely megállapítja bármely kellően nagy halmaz strukturálatlanságát legalább egy mezőművelet (összeadás és szorzás) tekintetében. A strukturáltság mutatójaként az összegek halmazának, illetve a szorzathalmaz méretét használjuk.

Megfogalmazás

Legyen valamilyen gyűrű részhalmaza (általában egy mező , de formálisan egy gyűrű is szóba jöhet) és műveletekkel . A halmaz két származékát tekintjük: $A\subset {\mathbb {F} }$ ${\mathbb {F} }$ ${\mathbb {F} }$ $+$ $\cdot$ $A$

A+A=\left\lkapcsos zárójel {a_{1}+a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rkapcsos zárójel

A\times A=\left\lbrace {a_{1}\cdot a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace

Ha a halmaz az összeadás szempontjából strukturált (például sok aritmetikai sorozata van, vagy általánosított aritmetikai sorozata van, vagy ezek nagy darabjai), akkor a halmaz viszonylag kicsi lesz - elvégre sok elempár összege egybeesik . $A$ $A+A$

Ha a szorzás szempontjából strukturált, akkor a halmaz hasonló okokból nem lesz túl nagy . $A$ $A\times A$

A tétel kimondja, hogy a halmazok közül legalább az egyik nagyon nagy -hoz képest , azaz legalább egy művelethez képest a struktúra szabálytalan lesz. $A+A$ $A\times A$ $A$

Pontosabban, a tétel hatványtörvény növekedést hoz létre a származtatott halmazok közül a legnagyobb méretében az eredeti méretéhez képest:

Tétel

Valamely konstansra és tetszőleges halmazra (végesre , méretkorlátozással) igaz, hogy $\delta =\delta ({\mathbb {F} })>0$ $A\subset {\mathbb {F} }$ ${\mathbb {F} }$

\max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace >|A|^{1+\delta }

Különböző gyűrűkre különböző becsléseket lehet kapni . Ezenkívül egyes (különösen véges ) gyűrűk esetén lehetőség van feltételeket hozzáadni a halmaz méretéhez, amely mellett a tétel az adott gyűrűre érvényes . $\delta$ $A$ $\delta$

Edge case

A tanulmányozás szempontjából legkényelmesebbek a hipotézis szélsőséges esetei:

kevés összeg, sok termék (FSMP) : ha akkor [1] $|A+A|\ll |A|$ ${\displaystyle |AA|\geq |A|^{2-o(1)))$

kevés termék, sok összeg (FPMS) : ha , akkor [2] $|AA|\ll |A|$ ${\displaystyle |A+A|\geq |A|^{2-o(1)))$

Példák

A klasszikus példák az összeg-szorzat tétel illusztrálására az aritmetikai és a geometriai haladás . $A=\left\lkapcsos zárójel {1,\pontok ,n}\jobbra\rkapcsos zárójel$ $B=\left\lkapcsos zárójel {1,2,4,\pontok ,2^{n-1}}\jobbra\rkapcsos zárójel$

Egy aritmetikai sorozat az összeadás tekintetében maximálisan rendezett, így azonban a számokból sokféle szorzat készíthető, így [3] , tehát a szorzás szempontjából teljesen rendezetlen. $|A+A|<2|A|$ $|A\times A|=\Omega \left({\frac {|A|^{2}}{\log |A|}}\right)$

Ugyanígy egy geometriai haladásnál is , de nyilvánvaló (ha a számok bináris ábrázolását vesszük figyelembe), hogy . $|B\time B|<2|B|$ $|B+B|=\Omega (|B|^{2})$

Eredmények

Valós számokhoz

Amikor az összeg-szorzat tételt néha Erdős-Szemeredi tételnek is nevezik , hiszen 1983-ban ők vetették fel az összegek és szorzatok számarányának figyelembevételét. Ugyanebben a munkában azt a hipotézist terjesztették elő, hogy az érték tetszőlegesen közel állhat az egységhez (vagyis ). Ugyanebben a cikkben azonban több további hipotézist is felállítottak, különösen egy hasonlót a kifejezésekre és halmazokra vonatkozóan: . ${\mathbb {F} }={\mathbb {R} }$ $\varepsilon$ ${\displaystyle \max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace >|A|^{2-o(1)))$ $k$ ${\displaystyle \max \left\lbrace {|A+\dots +A|,|A\times \dots \times A|}\right\rbrace >|A|^{ko(1)))$

Az értékelés javulásának kronológiája $\delta$ ${\displaystyle \max\{\|A+A\|,\|AA\|\}\geq \|A\|^{1+\delta -o(1)},\ A\subset {\mathbb {R} ))$
Év	Jelentése $\delta$	A szerzők)
1983	$1/31$ ()(*)	Erdős , Szemedy [4] $1+\delta$ ahelyett $1+\delta -o(1)$
1998	$1/15$ ()(*)	Ford [5]
1997	$1/4$ (**)	Elekesh [6]
2005	$3/11$	Shoimoshi [7]
2009	$1/3$	Shoimoshi [8]
2015	${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{20598}}\kb. 0,333381...$	Konyagin , Shkredov [9]
2016	${\frac {1}{3}}+{\frac {5}{9813}}\approx 0,333842...$	Konyagin , Shkredov [10]
2016	${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{1509}}\kb. 0,333996...$	Rudnev, Shkredov, Stevens [11]
2019	${\frac {1}{3}}+{\frac {5}{5277}}\kb 0,334280...$	Shakan [12]
2020 (előnyomat)	${\frac {1}{3}}+{\frac {2}{1167}}\approx 0,335047...$	Rudnev, Stevens [13]
() Csak a (*) esetén igaz a fokozat helyett $A\subset {\mathbb {Z} }$ $1+\delta$ $1+\delta -o(1)$

A maradék mezőkhöz modulo

Terence Tao monográfiájában megjegyzi, hogy Erdős és Szemedy terepeken elért eredményeinek analógiáját 1999-ben T. Wolf vetette fel (egy magánbeszélgetésben) a rendi kardinalitás részhalmazaira . ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$ ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{p))$ $p^{1/2}$

Az összeg-szorzat problémát Burgain , Glibbichuk és Konyagin , valamint Burgain, Katz és Tao oldotta meg . Bebizonyították a következő tételt ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$

Bármelyikre létezik olyan, hogy ha és , akkor a becslés $\varepsilon >0$ $\delta =\delta (\varepsilon )>0$ ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{p))$ $|A|<p^{1-\varepsilon }$

\max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace \geq |A|^{1+\delta }

A tétel feltételében a követelmény természetes, hiszen ha közeli sorrendje van , akkor a és a mennyiségek is közel lesznek ahhoz, hogy . [tizennégy] $|A|<p^{1-\varepsilon }$ $|A|$ $p$ $|A+A|$ $|A\times A|$ $|A|$

Tetszőleges gyűrűkre

Terence Tao megvizsgálta a tétel tetszőleges gyűrűkre történő általánosításának határait, és különösen a kis érték és a nulla osztók számának szélsőséges eseteinek kapcsolatát egy halmazban , valamint szerkezetének közelségét egy halmazhoz. subring . [tizenöt] $|A+A|$ $|A\cdot A|$ $A$

Bizonyítási módszerek

Valós számokhoz

Első bizonyíték

Erdős és Szemedi bizonyítása azt használta, hogy kicsiknek és van megoldás a rendszerre $|A+A|$ $|A\times A|$

{\begin{cases}b_{1}+b_{3}=b_{2}+b_{4}\\b_{1}b_{5}=b_{2}b_{6}\ ,\ vége{esetek}}

ahol egyes (különböző) részhalmazokhoz tartoznak, és magára a halmazra speciális feltételek vonatkoznak. Egy ilyen állítást lemmaként használva igazolható a tétel tetszőleges halmazra is . [16] $kettős}$ $A$ $A$ $A$

A Semeredi-Trotter tétel (Elekesh, 1997)

Ha minden elemnek sok reprezentációja van a formában néhány kis halmazhoz , akkor az egyenlet megoldásainak számának becsléséhez $a\in A$ ${\displaystyle a=p_{1}p_{2},\ p_{1}\in \Pi _{1},\ p_{2}\in \Pi _{2))$ ${\displaystyle \Pi _{1}\Pi _{2))$

a+b=c,\ a\in A,\ b\in B,\ c\in C\ .

bármely halmaz esetén használhatja az egyenletet $IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT$

p_{1}p_{2}+b=c,\ p_{1}\in \Pi _{1},\ p_{2}\in \Pi _{2},\ b\in B, \c\in C\ .

Másrészt egy ilyen egyenlet megoldásai megfelelnek a párokkal paraméterezett vonalak és a párokkal paraméterezett pontok közötti beeséseknek . Ezért ezek becsléséhez célszerű általános eredményeket használni az előfordulásokra vonatkozóan, amelyek közül a legjobb a Szemedy-Trotter tétel . [17] [18] ${\megjelenítési stílus (p_{1},b)}$ $(p_{2},c)$

Pontosan ezt használta Elekesh a kitevőtétel bizonyításakor . [6] Bizonyítása implicit módon két szakaszra osztható: $\delta ={\frac {1}{4))$

egyenletelemzés (triviális, bővítéssel ) $a+b=c,\ a\in A,b\in B,c\in C$ $\Pi _{1}:=AA,\ \Pi _{2}:=1/A$

kapott becslések alkalmazása (triviális, -ra ) $B:=A,\ C:=A+A$

Ez a dekompozíció fontos a későbbi módszerek megértéséhez .

Shoimoshi konstrukciója (Shoimoshi, 2009)

Shoimoshi azt a tényt használta, hogy ha , akkor ${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$

{\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}\ .

Ebből az következik, hogy ha , akkor ${\frac {a_{1}}{b_{1}}}<{\frac {a_{2}}{b_{2}}}<{\frac {a_{3}}{b_{3 }}}$

{\frac {a_{1}+a_{2}}{b_{1}+b_{2}}}<{\frac {a_{2}+a_{3}}{b_{2}+ b_{3}}}\ .

Ugyanakkor fix értékek esetén az összes reprezentációval alkotott pár $\lambda \in A/A,\ \mu \in A/A$ ${\megjelenítési stílus (a+c,b+d)}$

\lambda ={\frac {a}{b)),\ \mu ={\frac {c}{d)),\ a,b,c,d\in A

eltérő lesz, ezért a „szomszédos” párokra összegezve becslést kaphatunk az ilyen reprezentációk számáról. És ez viszont (közvetve) keresztül fejeződik ki . [19] $(\lambda ,\mu )$ $|A+A|$ $|AA|$

Ezt az elképzelést legvilágosabban geometriailag lehet kifejezni, mivel az ebből származó pontok összegzése a koordináták középpontjából kiinduló szomszédos egyeneseken fekszik. $A\times A$

Shoimoshi építésének bontása (Konyagin, Shkredov, 2015)

Ha azt a feltételt, hogy az összegzett pontoknak a szomszédos vonalakhoz kell tartozniuk, kikerülünk Shoimoshi konstrukciójából, akkor semmi sem garantálja, hogy az összes kapott összeg eltérő lesz. Például általánosságban elmondható, hogy a -tól származó összes pontösszeg csak szélsőséges esetben térhet el egymástól , és ez már teljesíti az összeg-szorzat hipotézist. $A\times A$ $|A+A|\gg |A|^{2}$

Ennek alapján Konyagin és Shkredov megbecsülte az ilyen összegek egybeesésének minimális számát köztes esetben (amikor és egyenlő az alsó becsléssel, azaz ). Az egyezések számának becsléséhez az összes sort felosztották ugyanannyi egymást követő blokkra, és a legtöbb esetben megbecsülték az egyes blokkokban található egyezések számát. Ezeket a becsléseket felhasználva eredményt kaptak: . [húsz] $|A+A|$ $|AA|$ $|A|^{4/3}$ $\delta >{\frac {1}{3}}$

Nem triviális multiplikatív expanzió (Rudnev és Stevens, 2020)

A Konyagin és Shkredov által figyelembe vett két pontösszeg egybeesése azt jelenti, hogy van megoldás az egyenletrendszerre

{\begin{cases}\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}=\lambda _{3}a_{3}+\lambda _{4}a_{ 4}\\a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}\ ,\end{cases}}

ahol mind és a párok is különböznek. A rendszer Gauss-módszer szerinti redukálásával (egy lépésben) megkaphatjuk az egyenletet $(a_{i},\lambda _{i}a_{i})\in A\times A$ $\lambda _{i}$ $(\lambda _{1},\lambda _{2}),(\lambda _{3},\lambda _{4})$

{\displaystyle a_{3}=c_{1}a_{1}-c_{2}a_{2))

állandó és azonos feltételekkel a . Rudnev és Stevens ezt egy nagy részhalmaz multiplikatív kiterjesztésének explicit megalkotására alkalmazta, amely jobb tulajdonságokkal rendelkezik, mint a triviális. [21] $c_1, c_2$ $a_{1},a_{2}$ $A$

Az Elekesh-féle bizonyítással analóg módon ez lehetővé teszi, hogy a kitevős becslések bizonyítását két lépésre bontsuk: $\delta ={\frac {1}{3}}+c$

új multiplikatív bővítés alkalmazása;

az egyenlet nem triviális alkalmazása a becsléshez . [22] $ab=c$ $|A+A|$

Magasabb energiák felhasználása

Az egyenletek legelterjedtebb becslési módja az additív energia és annak általánosításai. A Szemedy-Trotter tétel alkalmazásának eredményei lehetővé teszik az alakegyenletek legjobb elemzését. $|A+A|$

E_{3}(A,D):=\{(a_{1},a_{2},a_{3},d_{1},d_{2},d_{3})\in A ^{3}\times D^{3}\ :\ a_{1}-d_{1}=a_{2}-d_{2}=a_{3}-d_{3}\}

önkényes . Rudnev és Stevens egy módszert javasolt ennek az additív energiának az egyenlet figyelembevételével történő hasznosítására. $D$

d=(a+b)-(a+c)\,\ a,b,c\in A,\ d\in D\ ,

ahol a népszerű (nagy számú reprezentációval rendelkező) különbségek halmazának felel meg, és a népszerű összegek halmazához tartozik. A konvex sorozatok összegének becsléséhez az összegszorzatok problémája mellett az ilyen módszerek kidolgozása is releváns . [23] $D$ $a+b$

Létezik egy hasonló operátori módszer, amely kevésbé hatékony a becsléshez , de lehetővé teszi a és közötti kapcsolat jobb tanulmányozását . [24] $|A+A|$ $E(A)$ $|AA|$

Egyszerű mezőkhöz

A tétel bizonyításakor széles körben használatos az additív energia fogalma , a Plünnecke-Rouge egyenlőtlenség és a Balogh-Szemeredi-Gowers becslés. Az egyik lehetséges bizonyítás a halmaz méretének alsó korlátját és azt a tényt használja, hogy a felső határtól a méretekre , és egy ellentmondásos alsó felső korlátot követ a méretre . [25] [26] ${\displaystyle {\mathbb {F} }={\mathbb {F} }_{p))$ $R(A)=A\left({{\frac {A\times AA\times A}{AA))+A}\right)$ $A+A$ $A\times A$ $R(A)$

Alkalmazások

Bourgain , Glibichuk és Konyagin [27] a tétel egy sajátos esetét használta többlineáris trigonometrikus összegek becslésére . Ez különösen lehetővé tette a Gauss-összegek nem triviális felső határának meghatározását kis multiplikatív alcsoportok felett . [28] Bourgain, Katz és Tao , ugyanazt az esetet használva, megerősítették a becslést a Szemedy-Trotter problémában -ben , bizonyítva, hogy a -ból származó pontok és a vonalak párjainak halmaza esetén a becslés bizonyos -ra érvényes . [29] ${\displaystyle {\mathbb {F} }={\mathbb {F} }_{p))$ ${\Bigg \vert }{\sum \limits _{g\in G}{e^{2\pi {\frac {ag}{p}}i}}}{\Bigg \vert }={ \Bigg \vert }{\sum \limits _{x=0}^{p-1}{e^{2\pi {\frac {ax^{n}}{p}}i}}}{\Bigg \vert}$ $G\subset {\mathbb {F} }_{p}^{*},\ |G|={\frac {p-1}{n))$ ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$ $I=\left\lkapcsos zárójel {(p,l):p\in l,p\in P,l\in L}\right\rkapcsos zárójel$ $P$ $\left({{\mathbb {F} }_{p}}\right)^{2}$ $L$ $|P|=|L|=n$ $|I|\leq n^{{\frac {3}{2}}-\varepsilon }$ $\varepsilon >0$

Ugyanebben a munkában alkalmazták a tételt a Kakeyi-halmazok nagydimenziós térben történő vizsgálatára . Egy ilyen halmaz méretére becslést kaptak . [26] [29] ${\displaystyle ({\mathbb {F} }_{p})^{d))$ $|S|>p^{{\frac {d}{2}}+1+10^{-10}}$

A hipotézis lehetséges javításának határai

Ugyanabban a cikkben, ahol Erdős és Szemedi azt feltételezték, hogy a számára , példát mutattak be egy tetszőleges nagy halmaz felépítésére is , amelyhez . A legfeljebb prímszámok (nem feltétlenül különböző) szorzataként kapott számok halmazaként szolgált , amelyek mindegyike nem haladja meg a -t , ahol egy tetszőlegesen nagy szám. [16] $\max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace >c(\delta )|A|^{2-\delta }$ $A\subset {\mathbb {Z} },\ \delta >0$ $A$ ${\displaystyle |A+A|+|A\times A|\leq |A|^{2-{\frac {c}{\log \log |A|))))$ $2\left\lfloor {\frac {\log x}{6\log \log x))\right\rfloor$ ${\displaystyle (\log x)^{3))$ $x$

Általánosítások

Műveletek kombinációjához

Bourgain és Chang figyelembe vették a forma becsléseit

\max\{|\underbrace {A+\dots +A} _{k}|,|\underbrace {A\times \dots \times A} _{k}|\}\geq |A|^{ b(k)}

egy tetszőleges és . [harminc] $k$ $b(k)\to \infty$

Sok műben az összeadás és a szorzás egyetlen kifejezésben van kombinálva : például feltétel nélküli alsó korlátokat kapunk a -ra . [31] $|AA+AA|$

Kifejezés/tényezőpárok halmazához

A sejtés egyik általánosítása egy halmaz elemein tetszőleges gráf éleinek megfelelő összegek és szorzatok kérdése.

Legyen egy gráf, , . Jelölje és az egyenlőségekkel $G=(A,E)$ $E\subset A\times A$ $|A|=n$ $c$ $\delta$

$|E|=n^{1+c}$

${\displaystyle \max\{|A+_{G}A|,|A\cdot _{G}A|\}=n^{1+\delta ))$ , hol , $A+_{G}A:=\{a+b:(a,b)\in E\}$ ${\displaystyle A\cdot _{G}A:=\{ab:(a,b)\in E\))$

Hogyan függnek egymástól az értékek és hogyan függenek egymástól ? $c$ $\delta$ $|A|\to \infty$

Az esettel ellentétben előfordulhat , hogy sem az összegek, sem a szorzatok extrém növekedése nem következik be: -nél az a helyzet lehetséges, amikor [32] . Ezért az alsó határok mellett a felső határok kérdése is . Ugyanakkor az alsó határokat is tanulmányozzák. [33] [34] $G=A\times A$ $c<1$ $\delta <c$ $\max\{|A+A|,|AA|\}$

Az energiák becsléséhez

Az összeghalmaz méretének alsó korlátja könnyen levezethető az additív energia felső határaiból , így természetes, hogy az elsőről szóló hipotézist a másodikra vonatkozó hipotézisre általánosítjuk, a multiplikatív energia hasonló fogalmát használva .

De lehet, hogy egy számhalmaz mindkét energiája egyszerre nagy, mivel az alacsonyabb becslés egy külön részhalmaz közreműködésével szabályozható. Például ha , akkor egy halmazra igaz, hogy ${\displaystyle E^{+}(A_{1})\gg |A|^{3},E^{\times }(A_{2})\gg |A|^{3))$ $A=A_{1}\cup A_{2}$

\min\{E^{+}(A),E^{\times }(A)\}\geq \min\{E^{+}(A_{1}),E^{\times }(A_{2})\}\gg |A|^{3}\ .

Ezért a megfelelő energiatétel megfogalmazásakor a különböző részhalmazok energiáinak arányát használjuk .

Balogh-Wooly tétel

Van egy olyan konstans , hogy minden halmazhoz van egy partíció a feltétellel $\delta>0$ $A\subset {\mathbb {R} }$ $A=B\sqcup C$

{\displaystyle E^{+}(B)\leq |A|^{3-\delta },\ E^{\times }(C)\leq |A|^{3-\delta ))

Ennek a tételnek a legjobb változatát bebizonyították . [12] Ismeretes, hogy ugyanez nem igaz a -ra . [35] $\delta ={\frac {7}{26}}-o(1)$ $\delta >{\frac {2}{3}}$

Tetszőleges konvex függvényekhez

Két szám szorzása logaritmusaik összeadásának függvényében ábrázolható: . Egy szigorúan növekvő függvény elemenkénti alkalmazása egy halmazra nem változtatja meg a méretét, tehát $ab=\exp(\log a+\log b)$

|AA|=|\exp(\log A+\log A)|=|\log A+\log A|

és az alapösszeg-szorzat hipotézis újrafogalmazható úgy

{\displaystyle \max\{|A+A|,|\log A+\log A|\}\geq |A|^{2-o(1)))

vagy (helyettesítő ) as $A:=\log A$

\max\{|\exp(A)+\exp(A)|,|A+A|\}\geq |A|^{2-o(1)}\ .

Kiderült, hogy hasonló becslések bizonyíthatóak tetszőleges konvex függvény helyett . $\exp$

Tétel [36]

Ha egy tetszőleges halmaz, egy tetszőleges szigorúan konvex függvény, akkor $A\subset {\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} ))$

{\displaystyle \max\{|AA|,|f(A)+f(A)|\}\geq |A|^{14/11-o(1)))

{\displaystyle \max\{|A+A|,|f(A)+f(A)|\}\geq |A|^{24/19-o(1)))

Nyitva marad az a kérdés, hogy a jobb oldali mutatóval megegyező becslések helyesek-e. $2-o(1)$

Hasonló eredményeket kaptunk nagyobb számú kifejezésre is. [37]

Irodalom

Garaev M. Z. Halmazok összegei és szorzatai, valamint a racionális trigonometrikus összegek becslései elsőrendű mezőkben // Advances in Mathematical Sciences . - Orosz Tudományos Akadémia , 2010. - T. 65 , no. 4 (394) . - S. 5-66 . doi :/ rm9367 . (Orosz)

Erdös P., Szemedi E.. Az egész számok összegeiről és szorzatairól (angol) // Birkhäuser Verlag. - 1983. - P. 213-218 .

M. Nathanson. Az egész számok összegeiről és szorzatairól (angol) // Proceedings of the American Mathematical. - 1997. - 1. évf. 125 , iss. 1 .

K. Ford. Összegek és szorzatok a valós számok véges halmazából // The Ramanujan Journal. - 1998. - Vol. 2 . — P. 59–66 .

G. Elekes. Az összegek és termékek számáról (angol) // Acta Arithmetica. - 1997. - 1. évf. 81 , iss. 4 . — P. 365–367 .

Solymosi J.. A multiplikatív energia korlátja az összeggel // Advances in Mathematics. - 2009. - 1. évf. 222 , iss. 2 . — P. 402–408 . - arXiv : 0806.1040v3 .

SV Konyagin, ID Shkredov. On sum sets of sets having small product set // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. - 2015. - Kt. 290 . — P. 288–299 . - arXiv : 1503.05771 .

SV Konyagin, ID Shkredov. Új eredmények az összeg-termékekre itt: . - 2016. - arXiv : 1602.03473 . ${\mathbb {R} }$

M. Rudnev, ID Shkredov, S. Stevens. Az összeg-termék sejtés energiaváltozatáról // Revista Matemática Iberoamericana. - 2020. - Kt. 36 , iss. 1 . — P. 207–232 . - arXiv : 1607.05053 .

G. Shakan. A magasabb energiafelbontásokról és az összeg-szorzat jelenségről (angol) // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 2019. - 1. évf. 167 , iss. 3 . — P. 599–617 . - arXiv : 1803.04637 .

M. Rudnev, S. Stevens. Frissítés az összeg-termék problémáról . - 2020. - arXiv : 2005.11145 .

G. Elekes, IZ Ruzsa. Kevés összeg, sok termék (angol) // Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica. - 2003. - 1. évf. 40 , iss. 3 . — P. 301–308 .

B. Murphy, M. Rudnev, I. Shkredov, Y. Shteinikov. A kevés terméken sok összeg probléma // Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux. - 2019. - 1. évf. 31 , iss. 3 . - P. 573-602 . - arXiv : 1712.00410 .

N. Alon, I. Ruzsa, J. Solymosi. Összegek, szorzatok és arányok a gráf élei mentén // Publicacions Matemàtiques . - 2020. - Kt. 64 , iss. 1 . — P. 143–155 . - arXiv : 1802.06405 .

N. Alon, O. Angel, I. Benjamini, E. Lubetzky. Összegek és szorzatok ritka grafikonok mentén // Israel Journal of Mathematics. - 2012. - Kt. 188 , iss. 1 . — P. 353–384 . - arXiv : 0905.0135 .

I. Shkredov, J. Solymosi. Az egységességi sejtés az additív kombinatorikában . - 2020. - arXiv : 2005.11559 .

Solymosi J.. Az összegek és szorzatok számáról (angol) // Bulletin of the London Mathematical Society. - 2005. - 20. évf. 37 , iss. 4 . - P. 491-494 .

A. Balog, T. D. Wooley. Egy alacsony energiájú dekompozíciós tétel (angol) // The Quarterly Journal of Mathematics. - 2017. - Kt. 68 , iss. 1 . — P. 207–226 . - arXiv : 1510.03309 .

B. Hanson, O. Roche-Newton, M. Rudnev. Nagyobb konvexitás és iterált összeghalmazok . - 2020. - arXiv : 2005.00125 .

L. Li, O. Roche-Newton. Konvexitás és összeg-szorzattípus becslés // Acta Arithmetica. - 2012. - Kt. 156 . — P. 247–255 . - arXiv : 1111.5159v1 .

J. Bourgain, M.-C. Chang. A -szoros összeg méretéről és az egész számok szorzatkészleteiről $k$ // Journal of the American Mathematical Society. - 2004. - 20. évf. 17 , iss. 2 . — P. 473–497 . — arXiv : math/0309055 .

K. I. Olmezov, A. S. Szemcsenkov, I. D. Shkredov. A népszerű összegekről és különbségekről kis szorzóduplázással // Matematikai megjegyzések. - 2020. - T. 108 , sz. 4 . – S. 561–571 . - arXiv : 1911.12005 . (Orosz)

Jegyzetek

↑ Megoldás : Elekes, Ruzsa, 2003
↑ Murphy, Rudnev, Shkredov, Shteinikov , 2019 jobb eredményeket ért el, mint az általános esetben
↑ Forrás . Letöltve: 2018. január 21. Az eredetiből archiválva : 2018. január 22. (határozatlan)
↑ Erdös első írása , Szemerédi, 1983 , nem pontosította a jelentését , csak a létezését bizonyította. A munka indoklásának közvetlen követése azonban azt mutatja, hogy helyes a számára . Ezt az értéket később kifejezetten megemlíti Nathanson, 1997 $\delta$ $\delta =1/31$
↑ Ford, 1998 .
↑ Elekes 12. , 1997 .
↑ Solymosi, 2005 .
↑ Solymosi, 2009 .
↑ Konyagin, Shkredov, 2015 .
↑ Konyagin, Shkredov, 2016 .
↑ Rudnev, Shkredov, Stevens, 2020 .
↑ 2019. Shakan 12 .
↑ Rudnev, Stevens, 2020 .
↑ Garaev, 2010 , p. 1-2.
↑ Tao, Terence (2009), The sum-product jelenség tetszőleges gyűrűkben, Contributions to Discrete Mathematics vol. 4 (2): 59–82, hdl: 10515/sy5r78637 .
↑ 1 2 Erdös, Szemedi, 1983 .
↑ Lásd: Rudnev és Stevens, 2020 , 3. Lemma
↑ Hasonlóképpen, a dekompozíció használható elemzésre . Lásd: Rudnev és Stevens, 2020 , Lemma 4. ${\displaystyle a=p_{1}-p_{2},\ p_{1}\in \Pi _{1},\ p_{2}\in \Pi _{2))$ $E^{\times }(A)$
↑ Lásd Solymosi, 2009 , (2) képlet.
↑ Lásd Konyagin és Shkredov, 2015 , a 10. lemma bizonyítéka
↑ Lásd: Rudnev és Stevens, 2020 , p. 10 (az 1. javaslat után)
↑ Ha triviális ezeket a becsléseket alkalmazni, ugyanúgy, mint Elekesh esetében, akkor az eredmény $\delta ={\frac {1}{3}}$
↑ Lásd: Rudnev, Stevens, 2020 , 5. tétel, különösen a (25) képlet
↑ Lásd Olmezov, Semchankau, Shkredov, 2020 , 2. tétel
↑ Garaev, 2010 , p. 14-25.
↑ 2 _ _ _ _ _ _ _
↑ J. Bourgain, A. A. Glibichuk, S. V. Konyagin, "Becslések az összegek és termékek számára, valamint az exponenciális összegekre a főrendű mezőkben", J. London Math. szoc. (2), 73:2 (2006), 380-398. . Letöltve: 2018. január 21. Az eredetiből archiválva : 2018. január 22. (határozatlan)
↑ Garaev, 2010 , p. 7-9.
↑ 1 2 K. N. Bourgain, J. és T. Tao. Összesített termékbecslés véges mezőkben és alkalmazásokban. GAFA, 14(1):27-57, 2004. arXiv: math/0301343 Archiválva : 2018. január 22. a Wayback Machine -nél
↑ Bourgin, Chang, 2004 .
↑ Rudnev, Stevens, 2020 , 2. tétel
↑ Alon, Ruzsa, Solymosi, 2020 , 3. tétel
↑ Alon, Angel, Benjamini, Lubetzky, 2012 , nyomozás 4
↑ Shkredov, Solymosi, 2020 , 3. tétel
↑ Balog, Wooley, 2017 , 1.2. Tétel
↑ Li, Roche-Newton, 2012 , Tételek 1.1, 1.2
↑ Hanson, Roche-Newton, Rudnev, 2020 , 1.4. tétel