Additív energia

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 22-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Az additív energia a csoport egy részhalmazának numerikus jellemzője, amely szemlélteti a halmaz szerkezetét a csoport működéséhez képest. A kifejezést Terence Tao és Wang Wu [1] alkotta meg .

Definíció

Legyen egy csoport. ${\megjelenítési stílus (G,+)}$

A és halmazok additív energiáját úgy jelöljük, és egyenlő [2] a következő egyenlet megoldásainak számával: $A\subset G$ $B\subset G$ $E_{+}(A,B)$

a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}(a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B)

Hasonlóképpen definiálhatjuk a multiplikatív energiát (például egy gyűrűben ) az egyenlet megoldásainak számaként : $E_{\times }(A,B)$

a_{1}b_{1}=a_{2}b_{2}(a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B)

Extrém értékek

A legkisebb értékét akkor éri el, ha az összes összeg különbözik (mert akkor az egyenlet csak a -ra érvényes ) - például amikor és egy csoport különböző generátorainak halmaza valamilyen minimális generátorhalmazból . Akkor $E_{+}(A,B)$ $a+b\ (a\in A,b\in B)$ $\{a_{1},b_{1}\}=\{a_{2},b_{2}\}$ $A=B$ $A$ $G$ $E(A,A)={\frac {|A|^{2}+|A|}{2))$

A legnagyobb értéket akkor éri el, ha a és egy alcsoportja . Ebben az esetben az egyenlet tetszőleges számú megoldására , tehát $E_{+}(A,B)$ $A=B$ $A$ $G$ $x\in A$ $a+b=x\ (a,b\in A)$ $|A|$ ${\displaystyle E_{+}(A,A)=|A|^{3))$

Ennek megfelelően a és közötti köztes növekedési sorrend értékek kisebb-nagyobb mutatóinak tekinthetők a struktúra és az alcsoport szerkezetéhez való közelség tekintetében. Egyes csoportok esetében az additív energiára vonatkozó bizonyos megszorítások lehetővé teszik strukturális tételek bizonyítását a kellően nagy részcsoportok belül (vagy valamilyen abból származtatott halmaz) és a beágyazhatóságról (vagy néhány abból származtatott halmaz) kellően kis alcsoportokba . [3] Az ezekre a tételekre vonatkozó korlátozások a csoport és az egyes generátorok torziós kitevőjéhez kapcsolódnak. A ciklikus és a torziómentes csoportok esetében azonban vannak hasonló tételek, amelyek alcsoportok helyett általánosított aritmetikai progressziót vesznek figyelembe . $E_{+}(A,A)$ $|A|^{2}$ $|A|^{3}$ $A$ $G$ $G$ $A$ $A$ $G$ $G$ $G$

Alaptulajdonságok

E_{+}(A,B)=E_{+}(A,-B)=E_{-}(A,B)

E_{+}(A,B)|A+B|\geq |A|^{2}|B|^{2}

, ahol [2]

A+B=\left\lkapcsos zárójel {a+b:a\in A,b\in B}\right\rkapcsos zárójel

Bizonyíték

Jelöljük . $\lambda (x)=\#\left\lkapcsos zárójel {(a,b)\in A\times B:a+b=x}\right\rbrace$

Ezután és a Cauchy-Bunyakovsky egyenlőtlenség szerint, $E_{+}(A,B)=\sum \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)^{2))$

$E_{+}(A,B)\geq {\frac {1}{|A+B|}}\sum \left({\sum \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)}}\jobbra)^{2}={\frac {1}{|A+B|}}(|A||B|)^{2}$

Egy prímmaradék gyűrű esetében az additív energia trigonometrikus összegekkel fejezhető ki . Jelöljük . Akkor $G={\mathbb {F} }_{p}$ $e_{p}(k)=e^{2\pi {\frac {k}{p}}i}$

E_{+}(A,B)={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{({\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{b\in B}{ e_{p}(tb)}}{\Bigg \vert }}^{2}}

Bizonyíték

Az Iverson-jelölést és az indikátorazonosságot fogjuk használni .

E_{+}(A,B)=\sum \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}{[a_{1 }+b_{1}=a_{2}+b_{2}]}=\összeg \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B }{{\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2} -b_{2))}}={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{\sum \limits _{a_{1},a_{ 2 }\in A,b_{1},b_{2}\in B}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2}-b_{2})))}}

={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p} (ta)))\right){\overline {\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}\right)}}\left({\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}\jobbra){\overline {\left({\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}\ right)))={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{({\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A }{e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)} }{\Bigg \vert }}^{2}}

Vegyük észre, hogy a trigonometrikus összegekben kifejezett kifejezés csak additív energiára érvényes, multiplikatív energiára azonban nem, mivel kifejezetten az összeadás tulajdonságait használja a -ban . ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$

Alkalmazások

Az additív és multiplikatív energiákat az additív és aritmetikai kombinatorikában kombinatorikus összegek és halmazszorzatok elemzésére használják , különösen az összeg-szorzat tétel bizonyítására . $A+B=\left\lkapcsos zárójel {a+b:A+B}\right\rbrace$

Idős energiák

Az additív energiát meghatározó egyenletnek két fő általánosítása van - a tagok száma és az egyenlőségek száma alapján:

E_{k}(A)=\#\left\lkapcsos zárójel {a_{1}-b_{1}=a_{2}-b_{2}=\pontok =a_{k}-b_{k} \ :\ a_{i},b_{i}\in A}\right\rbrace =\sum \limits _{s}{|A\cap (A+s)|^{k}}

T_{k}(A)=\#\left\lkapcsos zárójel {\sum \limits _{i=1}^{k}{x_{i}}=\sum \limits _{i=1}^ {k}{y_{i}}\ :\ x_{i},y_{i}\in A}\right\rkapcsos zárójel

Ezeket magasabb energiáknak nevezik [4] , és néha lehetséges becsléseket kapni rájuk anélkül, hogy a szokásos additív energiára becsülnénk. [5] [6] Ugyanakkor a Hölder-féle egyenlőtlenség lehetővé teszi (jelentős romlással) a közönséges energia becslését a magasabbak alapján.

A -ben lévő paraméter esetében a rendszer néha valós számokat is figyelembe vesz, és nem csak egész számokat (egyszerűen az utolsó kifejezés behelyettesítésével). [7] $k$ $E_k$

Lásd még

Összeg-szorzat tétel
Chang szerkezeti tétele

Irodalom

Yu. N. Steinikov. Az alcsoportok trigonometrikus összegeinek becslése és egyes alkalmazásaik // Matematikai megjegyzések. - 2015. - T. 98 , sz. 4 . - S. 606-625 . (Orosz)

I. D. Shkredov. Számos új eredmény a magasabb energiákkal kapcsolatban (angol) // Proceedings of the Moscow Mathematical Society. - 2013. - Kt. 74 , iss. 1 . - P. 35-73 .

Jegyzetek

↑ ko.kombinatorika – Honnan származik az „additív energia” kifejezés? - MathOverflow . Letöltve: 2019. augusztus 23. Az eredetiből archiválva : 2019. augusztus 23. (határozatlan)
↑ 1 2 M. Z. Garaev, Halmazok összegei és szorzatai, valamint racionális trigonometrikus összegek becslései elsőrendű mezőkben, Uspekhi Mat. Nauk, 2010, 65. kötet, 4. szám (394) , 25. oldal (lapszámozás szerint)
↑ Csebisev laboratóriumának előadásai, "Additív kombinatorika" kurzus (Fjodor Petrov), 6. előadás , 1:11 :30-tól
↑ Shkredov, 2013 .
↑ Shteinikov, 2015 , p. 607, 4. tétel.
↑ arXiv : 1808.08465v4 Misha Rudnev, George Shakan, Ilya Shkredov, "Erősebb összeg-szorzat egyenlőtlenségek kis halmazoknál", p. 5, következmény 7
↑ Shkredov, 2013 , p. 59, 6.3. Tétel.