Általánosított aritmetikai progresszió

Általánosított aritmetikai progresszió – egy tetszőleges csoport számainak vagy elemeinek halmaza , amely így ábrázolható $G$

\left\lbrace {a+\sum \limits _{i=1}^{k}{\lambda _{i}d_{i}}\ :\ 0\leq \lambda _{i}<n_{ i},\ i=1,\pontok ,k}\jobbra\rkapcsos zárójel

egyesek számára . [egy] ${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{k},n_{1},\dots ,n_{k))$

Kapcsolódó terminológia

Egy progressziót akkor nevezünk megfelelőnek , ha az alak minden száma különböző, azaz elemeket tartalmaz. $a+\sum \limits _{i=1}^{k}{\lambda _{i}d_{i))$ ${\displaystyle n_{1}\cdot \ldots \cdot n_{k))$

A progresszió rangja (vagy dimenziója ) az egyes elemek reprezentációjában szereplő tagok száma (a fenti jelölésben a szám ). $k$

Amikor , az általánosított aritmetikai progressziót [2] -dimenziós kockának is nevezik (mert lineáris leképezés van -ból ) bele. $n_{1}=\dots =n_{k}=2$ $d$ $\left\lkapcsos zárójel {0,1}\jobbra\rkapcsos zárójel ^{d}$

Ha a halmaz egy közönséges aritmetikai sorozat . $k=1$

Felhasználási kör

Az általánosított aritmetikai sorozatok egy olyan konstrukció, amely kevésbé strukturált, mint a szokásos aritmetikai progresszió, de ennek ellenére nem triviális szerkezetű (ha nagy a progresszió mérete és kicsi a rangja). Ez kényelmes eszközzé teszi őket az aritmetikai kombinatorika azon tételeinek tanulmányozására és általánosítására, amelyek egy halmaz numerikus jellemzőiből – például additív energiából , duplázási tényezőből stb. – való szerkezet származtatásával kapcsolatosak [3] .

Az additív kombinatorika egyes szerkezeti tételei igazolják egy kellően kis rangú és nagy méretű általánosított aritmetikai sorozat létezését kellően rendezett halmazokban, vagy annak lehetőségét, hogy egy ilyen halmazt lefedjünk egy általánosított, kis rangú és kicsi (valamilyen képlet által korlátozva) a készlet mérete) mérete.

Általánosított aritmetikai progressziók használhatók a Roth-tétel bizonyítására . [négy]

Általánosságban elmondható, hogy az általánosított aritmetikai sorozatok halmazban való jelenlétének bizonyítása a halmazra vonatkozó ismert tények alapján gyakran könnyebb, mint a közönséges aritmetikai sorozatok jelenlétének bizonyítása.

Lásd még

Additív kombinatorika
Freiman tétele

Jegyzetek

↑ OEIS Wiki, "Általános aritmetikai progressziók" . Letöltve: 2018. május 8. Az eredetiből archiválva : 2018. május 11. (határozatlan)
↑ WT Gowers, "A Szemedi-tétel új bizonyítéka", 2001 . Letöltve: 2018. május 8. Az eredetiből archiválva : 2018. május 11. (határozatlan)
↑ P. L. Chebisev Matematikai Laboratórium, Harald Helfgott kurzusa „Utazás az elemzés és a számelmélet modern területein”, 2. előadás
↑ Graham, 1984 , p. 29-33.

Irodalom

Ronald Graham. A Ramsey-elmélet kezdetei. - M .: Mir, 1984.