Aszimptotikus egyenlőség

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. február 19-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 8 szerkesztést igényelnek .

Az aszimptotikus egyenlőség (ekvivalencia) a matematikai analízisben egy pont valamely átszúrt környezetében meghatározott függvények közötti ekvivalencia-reláció , vagyis az ehhez a ponthoz közeli függvények egyenlősége tetszőlegesen kis relatív hibával . Az aszimptotikus egyenlőségeket széles körben használják a határértékek kiszámításához. Az aszimptotikusan ekvivalens függvényeket gyakran egyszerűen ekvivalensnek nevezik, az aszimptotikusan szót elhagyva. Szintén elég gyakori az ekvivalens infinitezimális kifejezés, amely nem más, mint az infinitezimális függvények aszimptotikus ekvivalenciájának speciális esete.

Motiváció

Sok funkcióról gyakran azt mondják, hogy nagyjából egyenlő, vagy egy bizonyos ponton ugyanúgy viselkedik. Ez a terminológia azonban túl homályos, és ha valóban a függvények azonos viselkedéséről akarunk beszélni, akkor ezt formálisan meg kell határozni.

Határozzuk meg a következő kifejezést: azt mondjuk, hogy egy függvény közelít vagy közelít egy függvényt a pont közelében , ha tetszőlegesen kis szám esetén vehetünk olyan környéket, ahol ezek a függvények legfeljebb ennél a számnál térnek el egymástól. nyelven : $g(x)$ $f(x)$ $x_{0}$ $\varepsilon ,\delta$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\in (x_{0}-\delta ;x_{0})\cup (x_{0};x_{0}+\ delta ):|f(x)-g(x)|<\varepszilon

Nem nehéz belátni, hogy ez a definíció azt jelenti, hogy a függvények különbségének határa a ponthoz közeledve nullával egyenlő . nem más, mint egy függvény függvény általi közelítésének abszolút hibája . Egy ponton közelítő függvény definiálásakor megköveteljük, hogy az abszolút hiba tetszőlegesen kicsire tehető. Ebben az esetben a relatív hiba nem feltétlenül kicsi. Egy egyszerű példa: egy függvény közelít egy függvényt egy ponton , mivel ugyanaz a határértékük. Ennek a közelítésnek a relatív hibája azonban minden pontban, kivéve . $x_{0}$ $|f(x)-g(x)|$ $f(x)$ $g(x)$ $-x$ $x$ $0$ $0$ $200\%$

Az abszolút hiba kicsinységének feltétele helyett megkövetelhetjük, hogy a relatív hiba kicsi legyen. Az ilyen feltételű függvényeket aszimptotikusan ekvivalensnek nevezzük [1] . Az és a függvények relatív hibája ( a pont valamely átszúrt környezetében nem nulla esetén) a képlettel számítható ki . Az aszimptotikus ekvivalencia feltétele ezután a következőképpen kerül megfogalmazásra: $f(x)$ $x_{0}$ $f(x)$ $g(x)$ $\left|{\frac {f(x)-g(x)}{f(x)))\right|$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\in (x_{0}-\delta ;x_{0})\cup (x_{0};x_{0}+\ delta ):\left|{\frac {f(x)-g(x)}{f(x)}}\right|<\varepszilon

Ez nyilvánvalóan egyenértékű a feltétellel , amelyet leggyakrabban az aszimptotikus ekvivalencia definíciójaként használnak. $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)}{f(x)))=1$

Definíció

Klasszikus meghatározás

Legyen és definiálva a pont valamely kilyukadt környezetében ( ez lehet végtelen is, határozott előjellel és előjel nélküli is), és nem egyenlő valamelyik kilyukasztott környéken. A és függvényeket aszimptotikusan egyenlőnek nevezzük, ha: $f(x)$ $g(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$ $g(x)$ $0$ $f(x)$ $g(x)$ $x\to x_{0}$

\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)))=1

Alap egyenértékűség

Természetesen az aszimptotikus egyenlőség nem csak az érvnek valamilyen értékre való egyszerű tendenciája miatt tekinthető. Lehetséges figyelembe venni a határt más bázisokkal szemben: amikor az argumentum jobbra, balról, valamilyen részhalmaz fölé, és általában bármely bázisra irányul. Ezért ésszerű minden bázisra aszimptotikus ekvivalenciát definiálni . Legyen és definiálva az alap valamely elemén, és nem egyenlő az alap valamely elemén. A és függvényeket bázisban aszimptotikusan egyenlőnek nevezzük, ha: [2] ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $g(x)$ $0$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$

\lim _{\mathfrak {B}}{\frac {f(x)}{g(x)))=1

Általános eset

Az aszimptotikus egyenlőség fogalma általánosítható arra az esetre is, amikor a nullához való egyenlőtlenség feltétele egyik környéken sem teljesül. Legyen és definiálva az alap valamely elemén . A és függvényeket bázisban aszimptotikusan egyenlőnek nevezzük, ha a függvény így ábrázolható , ahol [3] . $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $f(x)=\varepszilon (x)g(x)$ $\lim _{\mathfrak {B}}\varepsilon (x)=1$

Az o-kicsin keresztül

Az aszimptotikus egyenlőség ekvivalens definíciója az o-small fogalmával adható meg. Legyen és definiálva az alap valamely elemén, és nem egyenlő az alap valamely elemén. A és függvényeket aszimptotikusan egyenlőnek nevezzük bázisban , ha a függvényt úgy lehet ábrázolni, mint , ahol az o-kicsi a bázisban . $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $g(x)$ $0$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $f(x)=g(x)+o(f(x))$ $o(f(x))$ $f(x)$ ${\mathfrak {B}}$

A végtelenül kicsinyen keresztül

Általános esetre a fenti o-kicsi definíció az infinitezimális fogalmával fogalmazható meg. Legyen és definiálva az alap valamely elemén . A és függvényeket bázisban aszimptotikusan egyenlőnek nevezzük , ha a függvény így ábrázolható , ahol egy infinitezimális bázisban [3] . $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $f(x)=g(x)+o(1)f(x)$ $o(1)$ ${\mathfrak {B}}$

A tilde egy aszimptotikus egyenlőség jelölésére szolgál : . $f(x)\sim g(x)$

Egyenértékűségi reláció

A teljes értelemben vett aszimptotikus egyenlőség valamely bázis vonatkozásában egy ekvivalenciareláció az alap valamely elemén meghatározott függvényhalmazon, azaz reflexív , szimmetrikus és tranzitív . Ezért az ilyen függvények halmaza ekvivalenciaosztályokra osztható.

Bármely két függvény, amelynek ugyanaz a véges nem nulla határértéke, egyenértékű egymással. Másrészt valamely függvény függvényének ekvivalenciája nem nulla véges határértékkel automatikusan magával vonja a határértékük egyenlőségét. Így az azonos nem-nulla véges határértékkel rendelkező függvények halmaza egy ekvivalenciaosztályt alkot.

Ez egyáltalán nem így van a végtelenül kicsi, végtelenül nagy és korlátlan függvényeknél. Ezek az egyenértékűségek érdekesek. Két függvény ekvivalenciája magával vonja határaik egyenlőségét (illetve nemlétét), így külön-külön vizsgálhatjuk a végtelenül nagy és a végtelenül kicsi függvények ekvivalencia osztályait [3] .

Példák

Az at polinom ekvivalens nem nullától eltérő tagjával a legmagasabb fokozattal, és at a legalacsonyabb fokozattal. $x\to \infty$ $x\to 0$

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\pontok +a_{1}x+a_{0}\sim a_{n}x^{n }

nál nél

x\to \infty ,a_{n}\neq 0

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{m+1}x^{m+1}+a_{m}x ^{m}\sim a_{m}x^{m}

nál nél

x\to 0,a_{m}\neq 0

A határértékek kiszámításakor sok tankönyv gyakran ad ekvivalencia táblázatokat néhány elemi függvényhez:

Egyenértékű infinitezimális at

x\to 0

1. funkció	2. funkció
$\sin x$	$x$
$\operátornév {tg}x$	$x$
$\arcsin x$	$x$
$\operátornév{arctg}x$	$x$
$1-\cos x$	${\frac {x^{2}}{2}}$
$e^{x}-1$	$x$
$\ln(1+x)$	$x$
$(1+x)^{\alpha }-1$	$\alpha x$
$\operatorname {sh} x$	$x$
$\operatorname {th} x$	$x$
$\operatorname {arsh} x$	$x$
$\operatorname {arth} x$	$x$
$\operatorname {ch} x-1$	${\frac {x^{2}}{2}}$

Nagyon híres a Stirling-képlet , amely folytonos függvénnyel közelíti a faktoriálist:

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

nál nél

n\to\infty

Az aszimptotika hasznos a kellően nagy paraméterekkel rendelkező kombinatorikus mennyiségek becslésében. Például, ha a Stirling-képletet behelyettesítjük a binomiális együttható kiszámítására szolgáló explicit képletbe , akkor a következőt kaphatjuk:

{\binom {2n}{n}}\sim {\sqrt {\frac {1}{\pi n}}}2^{2n}

nál nél

n\to\infty

Az adott számnál kisebb prímek számának is van egy egyszerű aszimptotikus közelítése :

{\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\ln {n))))

, _

n\to\infty

ahol a prímszámok száma kisebb, mint $\pi(n)$ $n$

Tulajdonságok

A relatív hiba általában nulla. Ha a bázishoz , akkor ennek a bázisnak a relatív hibája nulla. Ez a tulajdonság általában elvezet az aszimptotikus egyenlőség definíciójához. Ne feledje, hogy az abszolút hibának nem kell nullára lennie. Példa: at , de abszolút hibájuk állandó és egyenlő -val . $f(x)\sim g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $x\sim x+1$ $x\to \infty$ $egy$
Csere egyenértékűre a limitben. Ha bázisban , akkor abban az értelemben, hogy a határértékek vagy egyenlőek, vagy mindkettő nem létezik. $f(x)\sim g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $\lim _{\mathfrak {B}}f(x)=\lim _{\mathfrak {B}}g(x)$

Ez a tulajdonság lehetővé teszi a határjel alatti kifejezés lecserélését egy ekvivalensre. Ezen alapul a határértékek ekvivalenciák segítségével történő kiszámításának technikája.

Algebrai műveletek egyenértékűségekre. Hagyja tovább , , az alap fölé . Akkor $f(x)\sim f_{1}(x)$ $g(x)\sim g_{1}(x)$ $m\in \mathbb {N}$ ${\mathfrak {B}}$

f(x)g(x)\sim f_{1}(x)g_{1}(x)

alap szerint .

{\mathfrak {B}}

{\frac {f(x)}{g(x)}}\sim {\frac {f_{1}(x)}{g_{1}(x)))

alap szerint .

{\mathfrak {B}}

{\displaystyle (f(x))^{m}\sim (f_{1}(x))^{m))

alap szerint .

{\mathfrak {B}}

A határok értelmében itt minden egyenlőség vagy egyenlő, vagy mindkettő nem létezik. Az utolsó tulajdonság a törtfok esetére általánosítható, azonban mivel a negatív számokat nem lehet nem egész hatványra emelni, először ellenőrizni kell, hogy a végső függvények az alap bármely elemén definiálva lesznek-e. A páratlan fokú számtani gyökeknél a tulajdonság további ellenőrzések nélkül alkalmazható.

Ezeket a tulajdonságokat széles körben használják a gyakorlatban a határérték kiszámításához. Példa:

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x(e^{x}-1)}{(\ln(x+1))^{2}\cdot e^{x- 1}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x\cdot x}{x^{2}\cdot e^{-1}}}=e

Megjegyezzük, hogy az összegnek nincs analóg tulajdonsága: az ekvivalensek összegének nem kell ekvivalensnek lennie az összeggel.

Ábrázolás o-small-en keresztül. $f(x)\sim g(x)\balra jobbra nyíl f(x)=g(x)+o(f(x))=g(x)+f(x)o(1)$

Mivel ez az ekvivalencia egy alternatív definíciója, fordítva is használható. Például: at , mert . Ez lehetővé teszi számunkra, hogy megszabaduljunk a kis kifejezésektől az ekvivalenciákban. Példa:

x+\ln x\sim x

x\to +\infty

\ln x=o(x)

\lim _{x\to +\infty }(e^{x}-x^{1}0-lnx)=\lim _{x\to +\infty }e^{x}=+\ infty

Ezt a forward tulajdonságot gyakran a következőkkel együtt használják:

o-small az egyenértékű o-kicsi. $f(x)\sim g(x)\Jobbra o(f(x))=o(g(x))$

Annak ellenére, hogy az összeg nem helyettesíthető egyenértékűekkel, használhatja az utolsó két tulajdonságot:

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x+\ln(x+1)}{e^{x}-1+\operatorname {arctg} {x}}}=\lim _ {x\to 0}{\frac {x+o(\sin x)+x+o(\ln(x+1))}{x+o(e^{x}-1)+o(\operátornév {arctg} {x})}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x+o(x)}{2x+o(x)}}=\lim _{x\to 0}{ \dfrac {2x+o(1)x}{2x+o(1)x}}=\lim _{x\to 0}{\dfrac {2+o(1)}{2+o(1)} }={\frac {2}{2}}=1

Ha a függvények ekvivalensek valamely bázis tekintetében, akkor ekvivalensek bármely erősebb bázishoz képest . Példa: for , ami azt jelenti, hogy egyenértékűek a -val . $\sin x\sim x$ $x\to 0$ $x\to 0+$

Az összetett függvények ekvivalenciájáról szóló tétel, akárcsak az összetett függvény határértékére vonatkozó tétel, bonyolult megfogalmazással rendelkezik. Ennek a tételnek 3 változatát fogalmazzuk meg:

Komplex függvények ekvivalenciája.
- Folyamatos funkciókhoz. Legyen , és folytonos legyen a pontban , . Aztán a bázison . $f(x)\sim g(x)$ $x\to x_{0}$ $f(x)$ $g(x)$ $x_{0}$ $\lim _{\mathfrak {B}}h(x)=x_{0}$ $f(h(x))\sim g(h(x))$ ${\mathfrak {B}}$

A folytonos függvényekre vonatkozó tétel változata azonban lefedi a gyakorlatban talált példák többségét. Például: at . A nem folyamatos funkciók további feltételt igényelnek.

\sin {\dfrac {1}{x}}\sim {\dfrac {1}{x}}

x\to \infty

Nem folyamatos funkciókhoz. Legyen , , az alap valamely elemén, sehol se vegye fel az értéket . Aztán a bázison . $f(x)\sim g(x)$ $x\to x_{0}$ $\lim _{\mathfrak {B}}h(x)=x_{0}$ $h(x)$ $x_{0}$ $f(h(x))\sim g(h(x))$ ${\mathfrak {B}}$

Mindkét tulajdonság a tetszőleges bázis feletti határértékekre vonatkozó általános tétel következménye.

Egy tetszőleges alapra. Legyen , definiálva valamilyen alapelemen , és minden alapelemhez létezik olyan alapelem , hogy . Aztán a bázison . $f(x)\sim g(x)$ ${\mathfrak {D}}$ $h(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $d$ ${\mathfrak {D}}$ $b$ ${\mathfrak {B}}$ $h(b)\subseteq d$ $f(h(x))\sim g(h(x))$ ${\mathfrak {B}}$

Legyen pozitív az alap valamely elemén. akkor és csak akkor . $f(x)$ $g(x)$ $f(x)\sim g(x)$ $\ln {f(x)}=\ln {g(x)}+o(1)$
Ha , és , akkor . $f(x)\sim g(x)$ $c=\operátornév {const} {}$ ${\displaystyle A(x)=(c+o(1))^{f(x)))$ ${\displaystyle A(x)=(c+o(1))^{g(x)))$
Sorozat egyenértékűsége . Stolz tétele szerint két végtelen sorozat esetén:

\sum \limits _{n=0}^{\infty }{a_{n))

és ,

\sum \limits _{n=0}^{\infty }{b_{n))

if és row:

\forall n:\ b_{n}>0

\sum \limits _{n=0}^{\infty }{b_{n))

eltér, ebből az következik, hogy:

a_{n}\sim b_{n}

\sum \limits _{k=0}^{n}{a_{k}}\sim \sum \limits _{k=0}^{n}{b_{k}}

Rendelés

Jelentésében hasonló az aszimptotikus egyenlőséghez, de kevésbé szigorú, ugyanaz a függvénysorrend jelenléte . A és függvények sorrendje megegyezik, ha . Ebben az esetben a vagy jelölést használjuk . Ha ezek a függvények végtelenül kicsik, a sorrendet általában kicsinységi sorrendnek nevezik, ha pedig végtelenül nagyok, akkor növekedési sorrendnek. $f(x)$ $g(x)$ $\exists a,A:\ \exists X:\ \forall x>X:ag(x)\leqslant f(x)\leqslant Ag(x)$ $f(x)=\Theta (g(x))$ $f(x)\in \Theta (g(x))$

Ugyanakkor egy olyan állandó létezése, amely . Példaként elég megjegyezni, hogy , mivel azonban nincs olyan állandó , hogy . $c$ $cf(x)\sim g(x)$ $x(1+|\sin {x}|)=\Theta (x)$ $x\leqslant x(1+|\sin {x}|)\leqslant 2x$ $c$ $x(1+|\sin {x}|)\sim cx$

Jegyzetek

↑ Kudrjavcev, 2003 , p. 264.
↑ Arkhipov, 2004 , p. 73.
↑ 1 2 3 matematikai enciklopédia .

Irodalom

Kudrjavcev L. D. Matematikai elemzés tanfolyam. 3 kötetben. 1. kötet . - M . : Túzok, 2003. - 704 p. (Orosz)
Arkhipov, G. I. Előadások a matematikai elemzésről: tankönyv. egyetemeknek / G. I. Arkhipov , V. A. Szadovnyicsij , V. N. Csubarikov ; szerk. V. A. Sadovnichy. - 5. kiadás, Rev. - M . : Drofa, 2004. - 640 p. — (Klasszikus egyetemi tankönyv). — ISBN 5-7107-8900-3 .
Aszimptotikus egyenlőség . Matematikai Enciklopédia . (határozatlan)