SL(2;R)

SL(2,R) vagy SL 2 ( R) a valós 2 × 2 mátrixok csoportja azonosságdeterminánssal :

{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )=\left\{\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{mátrix}}\jobb):a,b ,c,d\in \mathbf {R} {\mbox{ és }}ad-bc=1\right\}.

A csoport egy egyszerű valós hazugságcsoport geometriai , topológiai , ábrázoláselméleti és fizikális alkalmazásokkal .

SL(2, R ) lineáris-tört transzformációkkal hat a komplex felső félsíkra . A csoportos akció a PSL(2,R) faktorcsoporton faktorizálódik ( projektív speciális lineáris csoport R felett ). Pontosabban, $2\times 2$

{\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} )=\mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )/\{{\pm }E\))

ahol E az azonosságmátrixot jelöli . Az SL(2, R ) a PSL(2, Z ) moduláris csoportot tartalmazza . $2\times 2$

Valamint az SL(2, R ) csoport szoros rokonságban áll a kétszeres fedőcsoporttal Mp(2, R ), a metaplektikus csoporttal (ha az SL(2, R )-t szimplektikus csoportnak tekintjük ).

Egy másik rokon csoport a determinánssal rendelkező valós mátrixok csoportja . Ezt a csoportot azonban leggyakrabban a moduláris csoporttal összefüggésben használják . $\mathrm {SL} ^{\pm }(2,\mathbf {R} )$ $2\times 2$ $\pm 1$

Leírás

SL(2, R ) az R 2 tér azon lineáris transzformációinak csoportja, amelyek megőrzik az orientált területet . A csoport izomorf az Sp(2, R ) szimplektikus csoporttal és az SU(1,1) általánosított speciális unitárius csoporttal . A csoport izomorf az egységnyi hosszúságú koquaterniók A csoport megtartja az orientálatlan területet - megtarthatja az orientációt. $\mathrm {SL} ^{\pm }(2,\mathbf {R} )$

A PSL(2, R ) faktornak számos érdekes leírása van:

Ez a valós projektív egyenes orientációmegőrző projektív transzformációinak csoportja . ${\displaystyle \mathbf {R} \cup \{\infty \))$
Ez az egységkör konform automorfizmusainak csoportja .
Ez a hiperbolikus sík orientációmegtartó mozgásainak csoportja .
Ez a háromdimenziós Minkowski tér korlátozott Lorentz-csoportja . Ennek megfelelően izomorf a határozatlan ortogonális SO + (1,2) csoporttal. Ez azt jelenti, hogy SL(2, R ) izomorf a Spin(2,1) + spinorcsoporttal .

A PSL(2, Z ) moduláris csoport elemei az SL(2, Z ) csoport elemeiként további értelmezésekkel rendelkeznek (a tórusz lineáris transzformációiként), és ezek a reprezentációk a tórusz általános elméletének tükrében is szóba jöhetnek. az SL(2, R ) csoport.

Tört lineáris transzformáció

A PSL(2, R ) csoport elemei az valós projektív egyenesre lineáris - tört transzformációként hatnak : ${\displaystyle \mathbf {R} \cup \{\infty \))$

x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d)).

Ez a művelet hasonló a PSL(2, C ) működéséhez a Riemann-szférán Möbius-transzformációk révén . A cselekvés a PSL(2, R ) csoport hatásának korlátozása a hiperbolikus síkon a végtelen határán.

Möbius transzformáció

A PSL(2, R ) csoport elemei a Möbius-transzformációval hatnak a komplex síkon:

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\;\;\;\;(a,b,c,d\in \mathbf {R} )

Pontosan ez a sík felső felét megőrző Möbius-transzformációk halmaza . Ez azt jelenti, hogy a PSL(2, R ) a sík felső felének konform automorfizmusainak csoportja. A Riemann leképezési tétel szerint ez a csoport az egységkör konform automorfizmusainak csoportja.

Ezek a Möbius-transzformációk a hiperbolikus tér síkjának felső felének modelljének izometriáiként működnek, a korong megfelelő Möbius-transzformációi pedig a Poincaré-korongmodell hiperbolikus izometriái .

A fenti képlet felhasználható a duálok és kettősök Möbius- transzformációjának meghatározására is . A megfelelő geometriák nem triviális kapcsolatban állnak [ 1] Lobacsevszkij geometriájával .

Csatolt nézet

Az SL(2, R ) csoport konjugációval hat a Lie algebráira sl(2, R ) (ne felejtsük el, hogy a Lie algebra elemei is 2 x 2 mátrixok), így a PSL csoport szigorú 3 dimenziós lineáris reprezentációját adja. (2, R ). Ezt egy másik lehetőségként úgy írhatjuk le, mint a PSL(2, R ) csoport hatását az R2 - n lévő négyzet alakú felületekre . Az eredmény a következő nézet:

{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\mapto {\begin{bmatrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d ^{2}\end{bmatrix}}.

Az sl(2, R ) Killing formája (2,1) aláírással rendelkezik, és izomorfizmust generál a PSL(2, R ) és a Lorentz-csoport SO + (2,1) között. A PSL(2, R ) csoportnak ez a hatása a Minkowski térben a PSL(2, R ) csoport izometrikus hatására korlátozódik a hiperbolikus sík hiperboloid modelljén .

Az elemek osztályozása

Az elem sajátértékei kielégítik a karakterisztikus polinom egyenletét $A\in \mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )$

\lambda ^{2}\,-\,\mathrm {tr} (A)\,\lambda \,+\,1\,=\,0

És ezért

\lambda ={\frac {\mathrm {tr} (A)\pm {\sqrt {\mathrm {tr} (A)^{2}-4))}{2)).

Ez az elemek következő osztályozásához vezet az euklideszi síkon a megfelelő művelettel:

Ha |tr( A )|< 2, akkor az A elemet (mátrixot) elliptikusnak nevezzük, és ez egy forgás .
Ha |tr( A )|= 2, akkor az A elemet parabolának nevezzük, és ez a tér kiterjesztése.
Ha |tr( A )|> 2, akkor az A elemet hiperbolikusnak nevezzük , és egy kontrakciós térkép .

A nevek megfelelnek a kúpszelvények excentricitás szerinti osztályozásának - ha az excentricitást a nyomvonal értékének feleként határozzuk meg ( . A 2-vel való osztás korrigálja a dimenzionalitás hatását, míg az abszolút érték az előjel (szorzó ) figyelmen kívül hagyásának felel meg PSL-lel végzett munka során (2, R )), amiből következik: elliptikus elemre, parabola elemre, hiperbolikus elemre. $\epsilon ={\tfrac {1}{2}}tr$ $\pm 1$ $\epsilon <1$ $\epsilon=1$ $\epsilon >1$

Az 1 identitáselemnek és a −1 negatív elemnek (a PSL(2, R )-ben megegyeznek) nyoma van , ezért e besorolás szerint parabolikus elemek, bár gyakran külön kezelik őket. $\pm2$

Ugyanezt a besorolást alkalmazzák az SL(2, C ) és PSL(2, C ) ( Möbius transzformációk ) és a PSL(2, R ) (valódi Möbius transzformációk), a komplex nyomoknak megfelelő "loxodrom" transzformációk hozzáadásával. Hasonló besorolást sok más helyen is használnak.

Az elliptikus (illetve parabolikus és hiperbolikus) elemeket tartalmazó alcsoportot, valamint az azonossági elemet és a negatívot, elliptikus alcsoportnak nevezzük (illetve parabolikus alcsoport , hiperbolikus alcsoport ).

Ez az osztályozás részhalmazok szerint történik , nem alcsoportok szerint – ezeket a halmazokat nem zárjuk le szorzással (például két parabolaelem szorzata nem feltétlenül parabola). Azonban az összes elem 3 szabványos egyparaméteres alcsoportba van kombinálva , az alábbiak szerint.

Topológiailag, mivel a nyomvonal egy folytonos térkép, az elliptikus elemek ( nélkül ) nyitottak , csakúgy, mint a hiperbolikus elemek ( nélkül ), míg a parabolikus elemek ( beleértve a ) zártak . $\pm 1$ $\pm 1$ $\pm 1$

Elliptikus elemek

Az elliptikus elem sajátértékei összetettek és konjugált értékek az egységkörön . Egy ilyen elem konjugált az euklideszi sík elforgatásához - értelmezhetők (esetleg) nem ortogonális alapon történő elforgatásokként, a PSL(2, R ) csoport megfelelő eleme pedig az euklideszi sík (konjugált) elforgatásaként működik. a hiperbolikus sík és a Minkowski tér .

A moduláris csoport elliptikus elemeinek sajátértékkel kell rendelkezniük , ahol az egység primitív 3., 4. vagy 6. gyöke . Ezek mind egy véges rendű moduláris csoport elemei , és periodikus diffeomorfizmusként hatnak a tóruszra . ${\displaystyle \{\omega ,\omega ^{-1}\))$ $\omega$

A 0 nyomvonalú elemeket "kör alakú elemeknek" nevezhetjük (hasonlóan az excentricitáshoz), de ezt ritkán használják. Ezek a nyomok sajátértékkel rendelkező elemeknek felelnek meg, és megfelelnek a forgatásoknak , a négyzet pedig - E - ezek nem azonos involúciók a PSL-ben(2). $\pm i$ $90^{\circ }$

Az elliptikus elemek az euklideszi sík SO(2) csoportra merőleges forgási alcsoportján belül konjugálódnak . Az elforgatás szöge íves - a nyomvonal fele a forgásjellel (a forgás és annak inverze konjugált a GL(2)-ben, de nem az SL(2)-ben.)

Parabolikus elemek

Egy parabolaelemnek csak egy sajátértéke van, amely 1 vagy −1. Egy ilyen elem térkiterjesztésként működik az euklideszi síkon, a PSL(2, R ) megfelelő eleme pedig elforgatási kényszerként működik a hiperbolikus síkon és a Minkowski tér nulla elforgatásaként .

A moduláris csoport parabola elemei Denat tórusz csavarodásként működnek .

A parabolaelemek konjugáltak a standard eltolódások 2 komponensű csoportjában : . Valójában mindegyik konjugált (az SL(2)-ben) a négy mátrix egyikéhez , (a GL(2) vagy , elhagyható, de az SL(2)-ben nem. $\times {\pm }E$ $\left({\begin{smallmatrix}1&\lambda \\&1\end{smallmatrix}}\right)\times \{\pm E\}$ $\left({\begin{smallmatrix}1&\pm 1\\&1\end{smallmatrix}}\jobbra)$ $\left({\begin{smallmatrix}-1&\pm 1\\&-1\end{smallmatrix}}\right)$ $\mathrm {SL} ^{\pm }(2)$ $\délután$

Hiperbolikus elemek

A hiperbolikus elemek sajátértékei valósak és ellentétesek. Egy ilyen elem az euklideszi sík kontrakciós térképe a PSL(2, R ) megfelelő eleme pedig a hiperbolikus sík párhuzamos transzlációjaként és Lorentz -növelésként működik a Minkowski-térben .

A moduláris csoport hiperbolikus elemei az Anosov- tórusz diffeomorfizmusaiként működnek .

A hiperbolikus elemek a standard kontrakciók 2 komponensű csoportjába tartoznak : ; a hiperbolikus elforgatás hiperbolikus szögét a nyom felének íveként adjuk meg , de az előjel lehet pozitív vagy negatív is, ellentétben az elliptikus esettel. A tömörítés és inverz transzformációja konjugált SL2-ban (tengelyek szerinti elforgatással, standard tengelyek esetén a forgatás a -n történik ). $\times {\pm }E$ $\left({\begin{smallmatrix}\lambda \\&\lambda ^{-1}\end{smallmatrix}}\right)\times \{\pm E\}$ $90^{\circ }$

Konjugácia osztályok

A Jordan normálforma szerint a mátrixokat a konjugáltságig (GL( n , C )) sajátértékek és nilpotencia alapján osztályozzák (konkrétan a nilpotencia azt jelenti, hogy az 1-esek a Jordan-sejtekben vannak). Az SL(2) ilyen elemeit a GL(2) ( ) konjugáltságig besorolja nyomkövetéssel (mivel a determináns rögzített, a nyomot és a determinánst pedig sajátértékek határozzák meg), kivéve, ha a sajátértékek egyenlőek, így az elemek egyenlőek és parabolikusak, a +2 és a -2 nyomelemek nem konjugáltak (az előbbinek Jordan alakban nincs átlóstól eltérő eleme, míg az utóbbinak igen). $\mathrm {SL} ^{\pm }(2)$ $\pm E$

Az SL(2) konjugáltságáig (a GL(2) helyett) további információk is rendelkezésre állnak az orientációnak megfelelően – az óramutató járásával megegyező és az óramutató járásával ellentétes (ellipszis alakú) forgás nem konjugált, nem pozitív vagy negatív nyírás, amint azt fentebb leírtuk. Ekkor 2-nél kisebb abszolút nyomkövetési érték esetén minden nyomvonalhoz két konjugált osztály tartozik (az óramutató járásával megegyező vagy ellentétes forgatás). 2-es abszolút nyomkövetési érték esetén minden nyomvonalhoz három konjugált osztály tartozik (pozitív eltolás, nulla eltolás, negatív eltolás). A 2-nél nagyobb abszolút nyomértékhez egy konjugáltsági osztály tartozik egy adott nyomhoz.

Topológiai és univerzális borítás

Topológiai térként a PSL(2, R ) a hiperbolikus sík egységnyi érintőkötegeként írható le . Ez egy köteg körökön , és természetes érintkezési struktúrája van, amelyet a hiperbolikus síkon lévő szimplektikus struktúra generál . Az SL(2, R ) csoport a PSL(2, R ) csoport 2-szeres fedője , és a hiperbolikus síkon spinorok kötegének tekinthető .

Az SL(2, R ) csoport alapcsoportja egy Z véges ciklikus csoport . Az univerzális fedőcsoport , jelöléssel , egy véges dimenziós Lie csoport példája, amely nem mátrixcsoport . Vagyis nem teszi lehetővé a pontos véges dimenziós ábrázolását . ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$

Topológiai térként egy vonalköteg a hiperbolikus sík felett. Ha a teret bal oldali invariáns metrikával látják el , a 3-sokaú a nyolc Thurston-geometria egyikévé válik . Például az egység érintőköteg univerzális lefedése bármely hiperbolikus felülethez . Bármelyik mintájára készült sokaság tájolható, és egy körköteg valamilyen kétdimenziós hiperbolikus orbifold ( Seifert-köteg ) fölött. ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$

Ilyen borítással a PSL(2, Z ) moduláris csoport inverz képe a 3 generátoron lévő fonatcsoport , B 3 , amely a moduláris csoport univerzális központi kiterjesztése . Ezek a megfelelő algebrai csoportokon belüli rácsok, és ez felel meg a topológiában az algebrailag univerzális fedőcsoportnak.

Egy 2-szeres fedőcsoportot nevezhetünk Mp(2, R ), metaplektikus csoportnak , ha SL(2, R ) alatt Sp(2, R ) szimplektikus csoportját értjük .

A fenti csoportok alkotják a sorrendet:

{\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )}}\to \cdots \to \mathrm {Mp} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ).

Vannak azonban más olyan csoportok is, amelyek lefedik a PSL(2, R ) csoportot, amelyek megfelelnek minden n -nek, úgy , hogy az csoportok rácsát alkotják az oszthatósággal. Az SL(2, R ) fedői akkor és csak akkor, ha n páros. $n\mathbf {Z} <\mathbf {Z} \cong \pi _{1}(\mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ))$

Algebrai szerkezet

Az SL(2, R ) csoportközpont egy kételemű csoport , a PSL(2, R ) faktor pedig egy egyszerű csoport. $\{\pm 1\}$

A PSL(2, R ) csoport diszkrét alcsoportjait fuksziánus csoportoknak nevezzük . Ezek az euklideszi tapétacsoportok és határcsoportok hiperbolikus megfelelői . Ezek közül a legismertebb a PSL(2, Z ) moduláris csoport , amely a hiperbolikus sík ideális háromszögekkel történő burkolására hat .

Az U(1) csoport , amelyet SO(2) -nek tekinthetünk, az SL(2, R ) maximális kompakt alcsoportja , a kör pedig a PSL(2, R ) maximális kompakt alcsoportja. ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)/\{\pm 1\))$

A PSL(2, R ) diszkrét csoport Schur szorzója sokkal nagyobb, mint a Z csoporté , az univerzális központi kiterjesztése pedig sokkal nagyobb, mint az univerzális fedőcsoporté. Ezek a nagy központi kiterjesztések azonban nem veszik figyelembe a topológiát, és kissé kórosak.

Reprezentációelmélet

SL(2, R ) egy valós, nem kompakt egyszerű Lie csoport , és az SL(2, C ) komplex Lie csoport osztott valós alakja . Az SL(2, R ) csoport Lie-algebrája , amelyet sl(2, R ) -ként jelölünk, az összes valós, nyom nélküli [2] mátrix algebrája. Ez egy VIII. típusú Bianchi algebra . $2\times 2$

Az SL(2, R ) csoport véges dimenziós reprezentációs elmélete ekvivalens az SU(2) reprezentációs elmélettel, amely az SL(2, C ) csoport kompakt valós alakja . Konkrétan az SL(2, R )-nek nincsenek nem triviális véges dimenziós unitér reprezentációi. Ez bármely összekapcsolt egyszerű, nem tömör Lie csoport tulajdonsága. A bizonyítás vázlatát lásd "Az ábrázolás nem egységessége" cikkben .

Nagyon érdekes az SL(2, R ) csoport végtelen dimenziós reprezentációs elmélete . A csoportnak több egységes reprezentáció-családja van, amelyeket Gelfand és Naimark (1946), V. Bargman (1947) és Harish-Chandra (1952) dolgozott ki részletesen.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Kisil, 2012 , p. xiv+192.
↑ A nyom nélküli mátrix olyan mátrix, amelynek nyomvonala 0.

Irodalom

Valentine Bargmann. A Lorentz-csoport irreducible unitary reprezentációi // Annals of Mathematics . - 1947. - T. 48 , sz. 3 . — S. 568–640 . - doi : 10.2307/1969129 . — .
Gelfand I.M., Naimark M.A. A Lorentz-csoport egységes ábrázolásai // Izv. A Szovjetunió Tudományos Akadémia. Ser. Matem .. - 1947. - T. 11 , sz. 5 . – S. 411–504 .
Harish Chandra. Plancherel formula az igazi unimoduláris csoporthoz // Proc. Natl. Acad. sci. USA. - 1952. - T. 38 . – S. 337–342 . - doi : 10.1073/pnas.38.4.337 . — PMID 16589101 . $2\times 2$
Serge Lang. . - New York: Springer-Verlag, 1985. - V. 105. - ISBN 0-387-96198-4 . - doi : 10.1007/978-1-4612-5142-2 . $\mathrm {SL} _{2}(\mathbf {R} )$
- Leng S. / Angolból fordította V.I. Vasyunin és M.A. Szemjonov-Tjan-Sanszkij; Szerkesztette: A.A. Kirillov. - Moszkva: Mir, 1977. $SL_{2}(R)$
William Thurston. Háromdimenziós geometria és topológia. Vol. 1. - Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997. - V. 35. - ISBN 0-691-08304-5 .
V. Kizil Vlagyimir. Möbius-transzformációk geometriája. Az SL(2,R) elliptikus, parabolikus és hiperbolikus hatásai. - London: Imperial College Press, 2012. - ISBN 978-1-84816-858-9 . - doi : 10.1142/p835 .

Csoportelmélet
Alapfogalmak	Alcsoport Normál alcsoport Tényezőcsoport Munka közvetlen félig közvetlen ingyenes
Algebrai tulajdonságok	kommutatív csoport Ciklikus csoport rendelt csoport Transform Group Megoldható csoport Schreier Lemmája Lagrange-tétel Sylow tételei Egyszerű véges csoportok osztályozása
véges csoportok	Véges ciklikus csoport C n Szimmetrikus csoport S n Diéder csoport D n Váltakozó csoport A n Klein négyes csoport Mathieu csoportok M11_ _ M12_ _ M22 _ M23_ _ M24 _ Conway csoportok Co 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankó csoportok J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Fisher csoportok F22_ _ F 23 F24 _ Szörny (M)
Topológiai csoportok	Hazugságcsoportok O(n) ortogonális csoport Speciális ortogonális csoport SO(n) U(n) egységes csoport Különleges egységes csoport SU(n) Szimlektikus csoport Sp(n) Kivételes Egyszerű Lorentz csoport Poincaré csoport
Algoritmusok csoportokon	Schreier – Sims Todd – Coxeter Fourier transzformáció