Bianchi osztályozás

A Bianchi osztályozás valós háromdimenziós Lie algebrák és csoportok osztályozása . Luigi Bianchiról nevezték el , aki 1898-ban bizonyította.

Az osztályozás 11 osztályt tartalmaz; Közülük 9 egy-egy algebra, kettő pedig kontinuum algebracsaládot tartalmaz. (Néha két csoport is beletartozik a végtelen családba, így 11 osztály helyett 9.)

A Bianchi-osztályozás kifejezést más dimenziók hasonló osztályozására, valamint összetett Lie-algebrák osztályozására is használják.

0, 1 és 2 méretek

0. dimenzió: az egyetlen Lie algebra a triviális nulldimenziós algebra.
1. dimenzió: Az egyetlen Lie-algebra az Abeli-Lie-algebra . Külső automorfizmuscsoportja a nullától eltérő valós számok multiplikatív csoportja. $\mathbb {R}$
2. dimenzió: Két Lie algebra létezik:
1. Abeli hazugság algebra külső automorfizmus csoporttal . $\mathbb {R} ^{2}$ $GL(2,\mathbb {R} )$
2. Feloldható hazugság-algebra felső háromszög alakú 2×2 mátrixokból nulla nyomvonallal . Van egy triviális középpontja és egy triviális külső automorfizmuscsoportja. A kapcsolódó egyszerűen összekapcsolt Lie csoport a vonal affin transzformációinak csoportja (néha -group ). ${\megjelenítési stílus (a\cdot x+b)}$

3. dimenzió

A VIII és IX típus kivételével minden háromdimenziós Lie algebra megszerkeszthető és félig közvetlen szorzataként, és valamilyen 2×2 mátrixra hat . Különböző típusok felelnek meg a különböző típusú mátrixoknak , az alábbiak szerint. $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $M$ $M$

I. típus. Ez egy Abel-féle unimoduláris Lie algebra . Egyszerűen összefüggő csoportjának van egy középpontja és egy külső automorfizmuscsoportja . Ez a helyzet akkor, ha 0. $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $GL(3,\mathbb {R} )$ $M$
II. típus : Heisenberg algebra , amely nilpotens és egymoduláris. Egy egyszerűen összekapcsolt csoportnak van egy középpontja és egy külső automorfizmus csoportja . Ez a helyzet akkor, ha nilpotens, de nem 0 (minden sajátérték 0). $\mathbb {R}$ $GL(2,\mathbb {R} )$ $M$
III. típus : Ez az algebra egy 2-dimenziós nem Abeli Lie algebra szorzata. (Ez a VI. típusú határeset, amikor egy sajátérték eltűnik.) Meghatározható és nem unimoduláris. Egy egyszerűen összekapcsolt csoportnak van egy központja . Külső automorfizmuscsoportja a nullától eltérő valós számok csoportja. A mátrixnak egy nulla és egy nem nulla sajátértéke van. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $M$
IV. típus : algebra, definíciója: [ y , z ] = 0, [ x , y ] = y , [ x , z ] = y + z . Eldönthető és nem egymoduláris. Egy egyszerűen összefüggő csoportnak van egy triviális középpontja és egy külső automorfizmuscsoportja, amely a valós számok és egy 2-es rendű csoport szorzata. A mátrixnak két egyenlő, nem nulla sajátértéke van, de nem diagonalizálható . $M$
V típus : [ y , z ] = 0, [ x , y ] = y , [ x , z ] = z . Megoldható és nem unimoduláris. (A VI. típusú határeset, amikor mindkét sajátérték egyenlő.) Egy egyszerűen összefüggő csoportnak van egy triviális középpontja, a külső automorfizmusok pedig a +1 vagy -1 determináns elemei. A mátrixnak két azonos sajátértéke van, és átlósítható. $GL(2,\mathbb {R} )$ $M$
VI. típus : egy végtelen család: félig közvetlen szorzatok , ahol a mátrix nem nullától eltérő valós sajátértékekkel rendelkezik, amelyek összege nem nulla. Az algebrák eldönthetők, és nem egymodulárisak. Egy egyszerűen összefüggő csoportnak van egy triviális középpontja és egy külső automorfizmuscsoportja, amely a nullától eltérő valós számok és egy 2-es rendű csoport szorzata. $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R}$ $M$
VI 0. típus: Ez a Lie algebra a félig közvetlen szorzata , ahol az M mátrixnak nem nullától eltérő valós nulla összegű sajátértékei vannak. Eldönthető és unimoduláris. Ez a 2-dimenziós Poincaré - csoport Lie-algebrája, a 2-dimenziós Minkowski-tér izometriacsoportja . Egy egyszerűen összefüggő csoportnak van egy triviális középpontja és egy külső automorfizmuscsoportja, a pozitív valós számok szorzata egy 8-as rendű diédercsoporttal . $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R}$
VII. típus : egy végtelen család: félig közvetlen szorzatok , ahol a mátrixnak összetett sajátértékei vannak, sem nem valós, sem nem képzeletbeli. Megoldható és nem unimoduláris. Egy egyszerűen összekapcsolt csoportnak van egy triviális középpontja, a külső automorfizmusok pedig nullától eltérő valós számokat csoportosítanak. $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R}$ $M$
VII 0 típus : félig közvetlen szorzata , ahol a mátrix nem nulla képzeletbeli sajátértékekkel rendelkezik. Megoldható és unimoduláris. Ez a sík izometria csoport Lie algebrája. Egy egyszerűen összefüggő csoportnak van egy Z középpontja és egy külső automorfizmuscsoportja, amely a nullától eltérő valós számok és egy 2-es rendű csoport szorzata. $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R}$ $M$
VIII. típus : 2×2 mátrixokból álló hazugság-algebra , a csoporthoz tartozó nulla nyomvonallal . Egyszerű és unimoduláris. Az egyszerűen összefüggő csoport nem mátrixcsoport; jelölésű , van egy Z középpontja és egy 2-es rendű külső automorfizmuscsoportja. $sl(2,\mathbb {R} ^{2})$ $SL(2,\mathbb {R} ^{2})$ ${\widetilde {\mbox{SL}}}(2,\mathbf {R} )$
IX. típus : Az ortogonális csoport hazugság-algebrája . Jelölése 𝖘𝖔 (3) , egyszerű és egymoduláris. A megfelelő egyszerűen összekapcsolt csoport az SU(2) ; van egy 2-es rendű középpontja és egy triviális külső automorfizmuscsoportja, és egy spin csoport . $O(3,\mathbb {R} )$

A háromdimenziós komplex Lie-algebrák osztályozása hasonló, azzal a különbséggel, hogy a VIII. és a IX. típus izomorf, míg a VI. és VII. típus egyetlen Lie algebra család részévé válik.

Az összefüggő 3-dimenziós Lie csoportok a következőképpen osztályozhatók: a középpont diszkrét alcsoportja által a megfelelő egyszerűen összekötött Lie csoport tényezői, tehát az adott listából kiolvashatók.

Thurston geometrizáló sejtésében a csoportok nyolcféle geometriához kapcsolódnak . Pontosabban, a 8 geometria közül hét megvalósítható baloldali invariáns metrikaként egy egyszerűen összefüggő csoporton (néha több módon is). A típusgeometria ilyen módon nem valósítható meg. $\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {R}$

Linkek

R. Borcherds (angol) , Hazugságcsoportok: Bianchi osztályozás a YouTube -on